線性代數(shù)各章學習要點3

1、第 3章n 維向量和線性方程組向量是線性代數(shù)的重點內(nèi)容之一，也是難點，對邏輯推理有較高的要求。 本章從研究向量的線性關(guān)系（線性組合、 線性相關(guān)與線性無關(guān)）出發(fā)， 然后討論向量組含最 多的線性無關(guān)向量的個數(shù)，即引出向量組的秩和最大無關(guān)組，最后,應(yīng)用向量空間的理論研究線性方程組的解的結(jié)構(gòu)。 無論是證明、判斷、還是計算，關(guān)鍵在于深刻理解本章的基本概念，搞清楚其相互關(guān)系，并 會靈活應(yīng)用。31 n 維向量及其運算定義 （n 維向量）由數(shù)域 F 中的 n 個數(shù) a1,a2 , ,an 組成的有序數(shù)組（ a1,a2, ,an ）或a1a2稱為數(shù)域 F 上的一個 n 維向量，前者稱為行向量，后者稱為列向量，其

2、中a1,a2, ,an 稱為 向量的分量（或坐標 ）。分量是實（復）數(shù)的向量稱為實（復）向量。如果沒有特殊的聲明， 以下所討論指數(shù)域 F 上的向量 .行向量可以看成行矩陣， 列向量看成列矩陣， 向量的運算規(guī)定按矩陣的運算法則進行 以下討論的向量，再沒有指明是行向量還是列向量時，都當作列向量。設(shè)有向量（ a1,a2, ,an） T ，（b1,b2, ,bn）T則向量相等的定義為ai = bi (i=1 , 2,n)向量的加法定義為數(shù)乘向量的定義為= a1b1 a2b2anbnk ( k)ka1,ka2,kan)向量的加法以及數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算， 它滿足下列 8 條運算規(guī)律 （其中 ,

3、, 為 n 維向量， k,l 為常數(shù)）：（1 ） + = + ;(3)存在零向量 0=( 0,0,0)T，使得+0= ；4) 存在 的負向量=(a1, a2,an) T，使得 +()=0 ；( 5 ) 1 = ；(6) k( l ) =(kl)7)k(+) =k+k8)(k+l)=k +l如果記矩陣A (aj)m n的第j列向量為:a1ja2j,(j=1,2 ,n)anj則由向量的線性運算，可將方程組Ax=b 寫成下列形式 :x11 x2 2xnnb而齊次線性方程組 Ax=0 則可寫成向量形式：x1 1 x2 2xnn03 2 向量組的線性相關(guān)性定義(線性組合)1, 2 ,m是一組 n維向量

4、,k,k2, ,km是一組常數(shù),則稱向量為向量12定義(線性表示)有解，其中矩陣k1 1k2kmmm 的一個線性組合，對于A=則稱向量 可由向量組并稱匕*2 , km為該線性組合的系數(shù)。n 維向量12，如果存在一組常數(shù) k1,k2,km。使k1k2 2kmm12Ax=m 線性表示。:1, 2, m的秩等于矩陣A=1, 2, m，】的秩。由于非齊次線性方程組解的情況只有3種:無解，有唯一解，有無窮解。所以，線性表小問題對應(yīng)的只有3種情況：不冃匕表小，唯 表小，無窮多種表小法。120例如，對于向量組11 , 23 ,0 ,則不能由1 ,2線性表示。001又如，對于向量組 111 , 212，2，貝

5、U可由1 , 2唯一的線性表3示為： =i +可見,可由1,2，3線性表示,但表示法是無窮的。1102再如，對于向量組1，則有1 22 31，3=(1+c)1+ (1-c)2 +C 3(c為任意常數(shù))定義(線性相關(guān)與線性無關(guān) )設(shè)1, 2, , m是一組n維向量，如果存在一組不全為零的常數(shù)k1, k2, ,km,使得k1 1 k2 2km m=0則稱向量組 1, 2, m線性相關(guān)。否則，稱向量組線性無關(guān)。也就是說，僅在kjk2km 0時才成立，則稱1, 2, m線性無關(guān)。由定義知，向量組1, 2, m線性相關(guān)，也就是齊次線性方程組X1 1 X2 2Xm m 0或Ax=0有非零解，其中矩陣 A=

6、1, 2, m 。定理 向量組1, 2, , m線性相關(guān)的充分必要條件是矩陣A= : 1, 2, , m的秩小于m; 1, 2, , m線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣A= : 1, 2, , m的秩等于m。定理向量組以下是有關(guān)向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的其他一些常用性質(zhì)及判別法。m ( m>1 )線性相關(guān)的充分必要條件是該組中至少有一個向量可由其他m-1個向量線性表出換言之，向量組線性無關(guān)的充分必要條件是該組中任何一向量都不能由其他m 1個，向量線性表示定理設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則可由1, 2, m線性表出，且表示法唯一。定理 如果向量組U的一個部分組線性相關(guān)，則向量組U線性相

7、關(guān)（特別的，含有零向量的向量組線性無關(guān)）。換言之，線性無關(guān)組的任何一個部分組必線性無關(guān)。定理設(shè)有r維向量組a2a1ma2mma11a211 ， 2ar 1ar2arm給1, 2, m分別添加一個分量，得葉1維向量組a1m2a1ar2ma rmar 1,1ar 12ar 1,mm也線性無關(guān)，換言之，若向量組m線性相關(guān)，則1, 2, m也線性相關(guān)。如果1, 2, m線性無關(guān)，則任意添加分量后所得的向量組存在k1,k2, km不全為零，使得僅當k1k2k1 1k2 2km m=°k1k2km 0時才有km m=0向量組的部分向量組線性相關(guān) ，則整線性無關(guān)向量組的一部分向量組也個向量組也線性

8、相關(guān)線性無關(guān)定義（等價向量租）設(shè)有向量組（I）和（II），如果（I）中每一個向量都可由（II） 線性表示，則稱（I）可由（II）線性表示；如果（|）和（II）可以互相線性表示，則稱（I）和 （II）等價?？偵?，有下表線性相關(guān)線性無關(guān)m=1 時， 1 =0m=1 時，10m=2時，1與2對應(yīng)分量成比例m=2時，1與2對應(yīng)分量不成比例R(A) mR (A)=m當 m=n, |A|=0當 m=n , |A|0m>n時，1, 2, m必線性相關(guān)線性相關(guān)向量組減少對應(yīng)位置的分線性無關(guān)向量組在對應(yīng)位置上增加分量得到的向量組仍線性相關(guān)量得到的向量組仍線性無關(guān)定理 設(shè)向量組(I) :1, 2, r可由向

9、量組(II)：1, 2, r線性表示,(1) 若rs,則(I)線性相關(guān)。(2) 若(I)線性無關(guān)，貝y r s。推論1等價的線性無關(guān)向量組所含有的向量的個數(shù)相同。推論2若m> n則m個n維向量必線性無關(guān)特別的,n+l個n維向量線性相關(guān)3. 3向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩定義(向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩)設(shè)向量組U中的向量1, 2, , r滿足：(1 )1, 2, r線性無關(guān)(2)對于U中的任意向量 可由1, 2, r線性表示。則稱1, 2, r為向量組U的一個極大無關(guān)組(或最大無關(guān)組)；極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)r成為向量組的秩。只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為零。向量

10、組的秩記作r (1, 2 定理 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。定理 設(shè)向量組（I）可由向量組（II）線性表示，則（I）的秩不大于（II）的秩。推論 1 等價的向量組的秩相等。推論2設(shè)CmnAm sBs n,則r（C） r（A）,r（C） r（B），即：乘積矩陣的秩不大于每個因子矩陣的秩。關(guān)于滿秩方陣的等價條件的小結(jié) ：設(shè) A 為 n 階方陣，則下列條件相互等價：1)| A|0；2)A 可逆；3)r( A)=n；4)齊次線性方程組 Ax=0 只有零解；5)對任何 n 維列向量 b ,線性方程組Ax=b 有唯一解6)A 的行（列）等價于同階單位矩陣E。7)A 可以寫成若干個

11、初等矩陣的乘積；8)A 的行（列）向量組線性無關(guān)。由以上條件中的（ 1）與（ 8）等價，提供了判定 n 個 n 維向量線性相關(guān)的常用方法：以這 n 個n維向量組成的n階方陣A （A的行（或列）向量組為給定向量組）若| A| =0，則該向 量組線性相關(guān)；若丨A | 0,則該向量組線性無關(guān)。求向量組的秩一般方法是：一給定的向量組組成的矩陣 A（A 的列（行）向量組為給定的向 量組），用初等變換將 A化成階梯形矩陣B,則B中非零行的個數(shù)就是給定的向量組的秩 求向量組1, 2, m的極大無關(guān)組的一般方法是：以1,2, , m為列向量組構(gòu)成的矩陣 A , 即 令 A=1, 2, , m （ 如 果 1,

12、 2 , , m 均 為 行 向 量 , 則 令A= 1T, 2T, , mT ） ,并用初等變換將 A 化成階梯形矩陣 ,設(shè)階梯形矩陣的首非零元所在 列的序號為ji,j2, ,jr,則j2， , jr為向量組1, 2, m的一個極大無關(guān)組。34 線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的性質(zhì)：2 也是方程組 Ax=0 的解 .性質(zhì) 1 若 1, 2 是方程組 Ax=0 的解，則 x性質(zhì) 2 若 x 1 為方程組 Ax=0 的解， k 為常數(shù)，則 x k 1也是方程組的解。由齊次線性方程組的解的性質(zhì)知道 ,Ax=0 的解集合 S 對向量的線性運算封閉， 因此 S 構(gòu)成線 性空間，稱 S 為方程組 A

13、x=0 的解空間。定理 n 元齊次線性方程組 Ax=0 的全體解向量所構(gòu)成的集合 S 是一個向量空間 ,當系數(shù)矩陣 的秩 r（ A）=r 時，解空間 S 的維數(shù)為 nr。方程組 Ax=0 的解空間的基又稱為 Ax=0 的基礎(chǔ)解系 .由上述定理知，當 r（ A）=r<n 時 ,n 元齊次線性方程組 Ax=0 存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含有向量的個數(shù)為n-r。設(shè)向量組1, 2, n r 為方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系,則 Ax=0 的通解（或一般解）為 :x= k1 1 k2 2knr n r （ ki 為任意常數(shù),i=1,2 ,，n-r)亦稱上式為方程組Ax=0的結(jié)構(gòu)式通解。求解齊次方程組

14、的基礎(chǔ)解系的一般步驟如下：第1步：用初等變換將 A化成階梯形矩陣，并求出 r （ A）.若r（A） =n，則Ax=O沒有基礎(chǔ)解 系；若r（A）=rn,則繼續(xù)進行下面的步驟；第 2 步：將 A 用行變換化為規(guī)范的階梯形矩陣 B。第 3 步：以 B 為系數(shù)陣的同解方程組 Bx=0 并移項添項得到通解及基礎(chǔ)解系 非齊次線性方程組的性質(zhì)如下性質(zhì) 1 設(shè) x1及 x2 都是非齊次方程組 Ax=b 的解,則 x12為對應(yīng)的齊次方程組 Ax=0 的解。性質(zhì) 2 設(shè) x是 Ax=b的解, x 為方程組 Ax=0 的解,則 x是 Ax=b 的解。定理（非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理）設(shè) x 為非齊次方程組 Ax

15、=b 的一個特解,則Ax=b 的任意解可以表示為：其中為方程組Ax=0的解。由上述定理可知道,如果1, 2, , n r為方程組 Ax=0的基礎(chǔ)解系，為為非齊次方程組Ax=b的一個特解，則方程組Ax=b的通解為：x= ki 1k2 2kn r n r （匕為任意常數(shù)，i=1 , 2,，n-r）求解n元齊次方程組 Ax=b的一般步驟如下第1步：用初等變換將增廣矩陣 A A b化成階梯形矩陣，并求出r (A)及r( A ) 若r( A)r( A),則無解；若r(A)=r( A ) =n,則有唯一解，這時可從階梯形方程組的最后一個方程開始由上往下回代求出這個解，也可通過將增廣矩陣進行一步化成最簡形矩

16、陣而求出這個解， 若r (A)=r ( A ) =r<n ,則方程組有無窮多個解，繼續(xù)進行下面的步驟第2步:求出導出組 Ax=0的基礎(chǔ)解系第3步：求出Ax=b的一個特解第4步：寫出通解：k1 1 k2 2kn r n r3. 5 重點與難點本章的重點是向量組的線性相關(guān)性、線性方程組的解的理論與求解方法，難點是向 量組的線性相關(guān)性。1. 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)是兩個基本概念，有一定的抽象性，理論多，方法多，定義多，因而他們既是本章的重點 ，也是難點，讀者需注意以下幾點：(1) 徹底弄清楚向量線性相關(guān)和無關(guān)的定義向量組1, 2, , m線性相關(guān)，是指存在存在一組不全為零

17、的常數(shù)人飛2, ,km ,使得k1 1 k2 2km m=0這里“不全為零 " 不同于“全不為零” 。向量組1, 2, , m (m> 1)線性相關(guān)該組中至少有一個向量可由其他 m-1個向量線性表出 .注意：“存在一個”不同于“其中每一個” 。向 量 組 1, 2, , m 線 性 無 關(guān) ， 是 指 若 有 一 組 常 數(shù) k1,k2,km ， 使 得k1 1k2 2km m =0，則有 k1 k2km 0 。換句話說，所謂向量組12線 性 無 關(guān) , 是 指 對 于 任 意 一 組 不 全 為 零 的 常 數(shù) ，都有k1 1k2kmm0。向量組 1, 2, , m(m>

18、; 1)線性無關(guān)該組中任意一個向量都不能由其余 m-1 個向量線性表示，注意這里的“任意一個”不同于“存在一個” 。( 2) 正確理解有關(guān)線性相關(guān)、 線性無關(guān)的性質(zhì)， 正確區(qū)分充分條件、 必要條件及充 要條件 .命題“部分組線性相關(guān)，則整體組線性相關(guān)”與命題“整體線性無關(guān)，則任何 部分無關(guān)”二者是等價的。命題“給線性無關(guān)向量組中每個向量在相同位置上任意添加分量,則所得向量仍線性無關(guān)” 與命題“給線性相關(guān)向量組中每個向量去掉相同位置上的分量去 掉相同位置上的分量，則所得的向量組仍線性相關(guān) "互為逆命題，二者是等價 的。( 3) 弄清向量組的線性相關(guān)性與齊次線性方程組及矩陣的秩的關(guān)系 .

19、向 量 組 1, 2,m線性相關(guān)齊次線性方程組x11x22xm m0 有非零解矩陣A=1,2,Jm 的秩小于m。向 量 組 1, 2,m 線 性 無關(guān)齊次線性方程組x11x22xm m0 只有零解矩陣A=1,2,Jm 的秩等于 m. 。4) 掌握判別向量組的線性相關(guān)性的常用方法如果向量12的分量都已經(jīng)給出， 一般可由矩陣 A= 1, 2m的秩來判別向量組的線性相關(guān)性。 特別的，對于m個m維向量1, 2, , m , 則可由矩陣A= : 1, 2, ,的行列式是否為零，來判別1, 2, , m的線性相關(guān)性，即當丨A|=0時，1, 2, m線性相關(guān)；而當丨A I 0時，12m 線性無關(guān) .如果向量

20、1, 2, m的分量沒有具體給出，則常用以下方法判別其線性相關(guān)性：(1) 利用定義。即從 k11 k22km m=0 出發(fā)，根據(jù)已知條件或化為齊次線性方 程組， 或通過對該式作變換等方 法， 要么推出 存在不全為零的ki,k2, ,km使得該式子成立 此時向量組線性相關(guān)；要么推出此式僅在k1 k2km 0時才成立，此時向量組線性無關(guān)。(2) 利用有關(guān)結(jié)論 .例如：單個向量 線性相關(guān)，就是 =0,一個向量線性無關(guān)，就是0;兩個向量 與 線性相(無)關(guān)，當且近當 與 的對應(yīng)分量成正比(不成 比例)。多于 n 個的 n 維向量必線性相關(guān) . 部分組線性相關(guān)，則整體組線性相關(guān)；整體無關(guān),部分無關(guān)。1,

21、 2, , r可由仆2, , r線性表示，且r>s，則仆2, , r線性相關(guān)(3) 禾U用向量組的秩。即當r ( 1, 2, , m)<m時，向量組1, 2, , m線性相關(guān)；當r (1,2, m)=m時,，向量組1, 2, m線性無關(guān)(4) 利用矩陣的秩。例如，若向量組1, 2, , r線性無關(guān)，且有矩陣 A，使得 1, 2,s =1,2,r A則向量組1, 2, , s線性無關(guān)矩陣A的秩等于s.2. 線性方程組的解的理論與求解方法線性代數(shù)主要研究對象是有限維線性問題，而線性方程組是最簡單的線性問題，所以,研究線性方程組的解的理論即求解方法是線性代數(shù)的基本任務(wù)之一，應(yīng)給與足夠的重

22、視3. 齊次線性方程組設(shè)A為m n矩陣，n元齊次線性方程組 Ax=O的解的情況只有以下兩種：當r (A)<n時，Ax=0有非零解，由齊次線性方程組的解的性質(zhì)(解的線性組合 仍是解)，知此時Ax=0有無窮多組解.而方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系可用來表示 這無窮多組解。關(guān)于基礎(chǔ)解系，必須注意以下幾點：(1) 何謂方程組的基礎(chǔ)解系？(2) 何時存在基礎(chǔ)解系？(當 r(A) <n時)(3) 存在基礎(chǔ)解系時，基礎(chǔ)解系含有多少個解向量？ (nr(A )個)(4) 基礎(chǔ)解系有什么性質(zhì)？(基礎(chǔ)解系不是唯一的，但所含向量的個數(shù)是維一的；方程組Ax=0的任何n r (A )個線性無關(guān)得解向量的組成的相 量