立體幾何復(fù)習(xí)專題(空間角)(學(xué)生卷)

1、專題一：空間角一、基礎(chǔ)梳理1. 兩條異面直線所成的角（ 1）異面直線所成的角的范圍：(0, 。2（ 2）異面直線垂直： 如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直。兩條異面直線 a,b 垂直，記作 a b 。（ 3）求異面直線所成的角的方法：（ 1）通過(guò)平移，在一條直線上（或空間）找一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作另一（或兩條）直線的平行線；（ 2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求。平移技巧有：平行四邊形對(duì)邊平移、三角形中位線平移、補(bǔ)形平移技巧等。2直線和平面所成的角（簡(jiǎn)稱“線面角”）（ 1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平

2、面所成的角。一直線垂直于平面，所成的角是直角；一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0 角。直線和平面所成角范圍：0，。2（ 2）最小角定理： 斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角。（ 3）公式： 已知平面的斜線 a 與內(nèi)一直線b 相交成角，P且 a 與相交成1 角， a 在上的射影c 與 b 相交成2 角，a則有 cos 1 cos2cos。由（ 3）中的公式同樣可以得到：平面的斜線和它在平面A內(nèi)的射影所成角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線所成角中最小的角。3二面角12cOBb（ 1）二面角的概念： 平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半

3、平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。若棱為l ，兩個(gè)面分別為 ,的二面角記為l。（ 2）二面角的平面角：Ol過(guò)二面角的棱上的一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的兩條垂線OA, OB ，則AOB 叫做二面角l 的平面角。說(shuō)明： 二面角的平面角范圍是0,，因此二面角有銳二面角、直二面角與鈍二面角之分。二面角的平面角為直角時(shí)，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直。OA BOAB（ 3）二面角的求法： （一）直接法：作二面角的平面角的作法：定義法；棱的垂面法；三垂線定理或逆定理法； （注意一些常見(jiàn)模型的二面角的平面角的作法）（二）

4、間接法： 面積射影定理的方法。（ 4）面積射影定理：面積射影定理： 已知ABC 的邊 BC 在平面內(nèi)，頂點(diǎn) A。設(shè)ABC 的面積為 S ，它在平面內(nèi)的射影面積為 S1 ，且平面與 ABC 所在平面所成的二面角為(00900 ) ，則cosS1 。AS注：面積射影定理反映了斜面面積、射影面積S和這兩個(gè)平面所成二面角的平面角間的關(guān)系；ABC 可以推廣到任意的多邊形。A1在二面角的平面角不易作時(shí)，經(jīng)常采用“面積射影定理法” 。BDS1二、能力鞏固C考點(diǎn)一：異面直線所成的角例 1.如圖所示， A1 B1C1ABC 是直三棱柱，B1D1A1BCA 900 ，點(diǎn) D1、 F1 分別是 A1B1 和 A1C

5、1F1的中點(diǎn)，若 BC CA CC1 ，求 BD1 與 AF1 所C1成角的余弦值。 （答案：30 ）10BA變式訓(xùn)練1：C三棱柱 OAB O1 A1 B1 ，平面 OBB1O1 平面 OAB ，O1B1O1OB 60 , AOB90 ，且 OB OO1 2,A1OA3 ，求異面直線A1 B 與 AO1 所成角的余弦。OB考點(diǎn)二：直線和平面所成的角例 2. 如圖，在三棱柱 ABC A B C 邊形 A ABB 是菱形，四邊形 BCC BA中，四是矩形，CCB AB, CB 2,AB 4, ABB 600， AB求 AC 與平面 BCC B 所成角的正切。CAB變式訓(xùn)練2：（ 1）在 1200

6、的二面角 P a Q 的兩個(gè)面 P 與 Q 內(nèi)分別有兩點(diǎn) A、B ，已知點(diǎn) A 和點(diǎn) B 到棱的距離分別為 2cm,4 cm ，且線段 AB 10cm。求：直線 AB 和棱 a 所成角的正弦值；直線AB 和平面 Q 所成角的正弦值。（ 2）（ 08 全國(guó) 11）已知三棱柱 ABCA1 B1C1 的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1 在底面 ABC 內(nèi)的射影為 ABC 的中心，則 AB1 與底面 ABC 所成角的正弦值等于（）A 1B 2C 3D 23333（ 3）如圖，在矩形 ABCD 中， AB 3 3, BC 3 ，沿對(duì)角線BD 將 BCD 折起，使點(diǎn) C 移到C 點(diǎn)，且 C 點(diǎn)在平面 ABD 上

7、的射影 O 恰在 AB 上。求直線AB 與平面 BC D 所成角的大小。33BA3CD（ 4） AB 為平面的斜線，則平面內(nèi)過(guò) A點(diǎn)的直線 l 與 AB 所成的最小角為 _ ，最大角為 _ 。平面內(nèi)過(guò)A 點(diǎn)的直線 l 與 AB 所成角的范圍為 _ 。 AB 與平面內(nèi)不過(guò) A 點(diǎn)的直線所成的角的范圍為 _ 。C (C)OABDBA Bl直線 l1 與平面所成的角為300 ，直線 l2 與 l1 所成角為 600 ，則 l 2 與平面所成角的取值范圍是 _ 。（ 08 四川卷）設(shè)直線 l 平面 ，過(guò)平面 外一點(diǎn) A 與 l , 都成 300 角的直線有且只有 ( )（）條（）條（）條（）條過(guò)正方體

8、的頂點(diǎn) A 作截面，使正方體的 12 條棱所在直線與截面所成的角皆相等。試寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)截面_ （注：只須任意寫(xiě)出一個(gè)），并證明?？键c(diǎn)三：平面和平面所成的角二面角的求法例 3（ 07 全國(guó)）如圖，在四棱錐 S ABCD 中，底面 ABCD 為正方形，側(cè)棱 SD 底面 ABCD，E，F(xiàn) 分別為 AB， SC 的中點(diǎn)。SFDCAEB（ 1）證明 EF 平面 SAD；（ 2）設(shè) SD2DC ，求二面角AEFD 的大小。變式訓(xùn)練 3:C1（ 2008 海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱 ABCA1 B1C1 中， ACB 900,CB 1,B1A1CA3, AA16 ， M 為側(cè)

9、棱 CC1 上一點(diǎn)，AMBA1 。M（ 1）求證： AM平面 A1BC ；（ 2）求二面角 BAM C 的大??；（ 3）求點(diǎn) C 到平面 ABM 的距離。CAB變式訓(xùn)練 4:ABCDE 中，底面BCDE 為矩形，側(cè)面A（ 1 ）（ 08 全國(guó) 18）四棱錐ABC 底面 BCDE ， BC2， CD2，ABAC 。證明： AD CE ；B設(shè) CE 與平面 ABE 所成的角為45 ，求二面角 CAD E 的大小。ECD（ 2） S 為直角梯形 ABCD 所在平面外一點(diǎn), ABC 900 , SA1S面 ABCD , SA AB BC1，求平面 SCD 與平面， AD2BSAB所成二面角的大小。（

10、3）（08 全國(guó) 16）等邊三角形 ABC 與正方形 ABDE 有一公共邊 AB ，二面角 CAB D的余弦值為3 ， M， N 分別是 AC，BC 的中點(diǎn)，則 EM ，AN 所成角的余弦值等于。34A BCD中， ACBD,ADBC , AB CD ，三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角分（ ）三棱錐別為、 、，則 coscoscos_ 。例 4如圖所示，已知平行六面體ABCDA1B1C1 D1 的底面 ABCD是矩形，且側(cè)面 ABB1 A1底面D1C1ABCD ， AB1BB1, AN3NB,M 、 E 分別是 B1C 、 AB 的中點(diǎn)，A1B1F 是 EC 的中點(diǎn)， AB 4,MN2M，側(cè)棱與底面

11、 ABCD 成 450 的角。DC（ 1）求證： MF底面 ABCD ；（ 2）求二面角 MABC 的大??；F（ 3）求 MN 與平面 B1CE 所成角的大小。AENB課后作業(yè)（一）：C1（ 1）已知正三棱柱ABC A 1B1C1 中， A 1B CB 1，則ABC 1A 1B 與 AC 1 所成的角為（）（ A） 450（ B） 600（ C）900（ D） 1200（ 2）（ 08 全國(guó) 10）已知正四棱錐 SABCD 的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E 是 SB的中點(diǎn)，則 AE，SD 所成的角的余弦值為（）A 1B2C3D 23333（ 3） Rt ABC 的斜邊在平面內(nèi)，頂點(diǎn) A在外， BA

12、C 在平面內(nèi)的射影是BAC ，則BA C 的范圍是 _ 。（ 4）從平面外一點(diǎn) P 向平面引垂線和斜線，A 為垂足， B 為斜足，射線BC，這時(shí)PBC 為鈍角，設(shè)PBCx,ABCy ，則（）A. x yB.xyC.x yD.x, y 的大小關(guān)系不確定（ 5）相交成 60的兩條直線與一個(gè)平面所成的角都是45，那么這兩條直線在平面內(nèi)的射影所成的角是（）A 30B 45C 60D 90（ 6）一條與平面相交的線段，其長(zhǎng)度為10cm，兩端點(diǎn)到平面的距離分別是2cm， 3cm，這條線段與平面所成的角是；若一條線段與平面不相交，兩端點(diǎn)到平面的距離分別是 2cm， 3cm，則線段所在直線與平面所成的角是。（

13、 7） PA、 PB、 PC是從 P 點(diǎn)引出的三條射線，每?jī)蓷l夾角都是60，那么直線PC與平面 PAB所成角的余弦值是（）A 1B2C6D3223D13C1（ 8）如圖，在正方體ABCDA1 B1C1D1 中，M , N 分別是 A1 A, AB 上的點(diǎn)，若NMC1900 ，AB1那么 NMB1 的大小是（）1A. 大于 900B.小于 900MDCC. 900D.不能確定（ 9）已知 SOANABC 所在平面于 O 點(diǎn)，且 S 到 A, B, C 三點(diǎn)等距離，若cos A cosBsin A sin B ，則 O 點(diǎn)（）A. 必在ABC 的某一邊上B.必在 ABC 外部（不含邊界）C. 必在

14、ABC 內(nèi)部（不含邊界）D.以上都不對(duì)（ 10）如果直角三角形的斜邊與平面平行，兩條直角邊所在直線與平面1 和 2，則（）A sin21sin 221B sin 21sin 221C sin 21sin 221D sin 21sin 221（ 11）（ 08 陜西卷9）如圖，l， A， B，A，B 到 l 的距離分別是 a 和 b ， AB 與， 所成的角分別是和，AB在，內(nèi)的射影分別是m 和 n ，若 ab ，AalBABC 中，有所成的角分別為bB則（）A， mnC， mnB， mnD， mn（ 12）與正方形各面成相等的角且過(guò)正方體三個(gè)頂點(diǎn)的截面的個(gè)數(shù)是_。2. 已知直三棱柱ABC A1

15、 B1C1 , AB AC , F 為 BB1 上一點(diǎn)， BF BC2a, FB1 a 。（ 1）若 D 為 BC 的中點(diǎn)， E 為 AD 上不同于 A、 D 的任意一點(diǎn)，證明：EF FC1 ；（ 2）若 A1B13a ，求 FC1 與平面 AA1B1B 所成角的正弦值。DBCEAFB1C1A13. 已知直角三角形ABC 的兩直角邊 AC 2, BC 3 ， P 為斜邊 AB 上的一點(diǎn)，現(xiàn)沿CP 將ACP 折起，使 A 點(diǎn)到 A 點(diǎn)，且 A 在面 BCP 內(nèi)的射影在 CP 上。當(dāng) A B7 時(shí)，求二面角PAC B的大小。A (A)APP2C3BCBC1DA14如圖正三棱柱ABCA1B1C1 中

16、，底面邊長(zhǎng)為a ，側(cè)棱FB12 a ，若經(jīng)過(guò)對(duì)角線長(zhǎng)為AB1且與對(duì)角線 BC1平E G2行的平C面交上底面于DB1 。（ 1）試確定 D 點(diǎn)的位置，并證明你AB的結(jié)論；（ 2）求平面 AB1D 與側(cè)面 AB1 所成的角及平面AB1 D 與底面所成的角； （ 3）求 A1 到平面 AB1D 的距離。5如圖 , 在直四棱柱ABCD A 1B1C1D 1 中， AB 3 ，AA1AD 2， DC 23 ，AD DC， AC BD, 垂足為 E。（ I）求證： BD A 1C；（ II ）求二面角 A 1 BD C 1 的大??；（ III ）求異面直線 AD 與 BC 1 所成角的大小。6. （ 08

17、 四川卷 19）如圖，平面 ABEF平面 ABCD ，四邊形 ABEF 與 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BC1AD，BE1AF 。22（）證明： C， D，F(xiàn)，E 四點(diǎn)共面；（）設(shè) AB BCBE ，求二面角 AEDB 的大小。FEBADC7（ 08 江西 20）如圖，正三棱錐 OABC 的三條側(cè)棱 OA，OB，OC 兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為2。 E， F 分別是 AB，AC 的中點(diǎn)， H是 EF 的中點(diǎn)，過(guò) EF 的一個(gè)平面與側(cè)棱OA，OB，OC3或其延長(zhǎng)線分別相交于A1， B1， C1 ，已知 OA1。2（ 1）證明： B1C1 平面 OAH ；（ 2）求二面角 O A1 B1

18、C1 的大小。OA1FCC1AHEBB18如圖，已知平行六面體 ABCD A1B1C1D1 的底面為正方形，O1 、 O 分別為上、下底面的中心，且 A1在底面 ABCD 上的射影是 O 。（ 1）求證：平面 O1 DC平面 ABCD ；（ 2）若點(diǎn) E, F 分別在棱 AA1, BC 上，且 AE2EA1 ，問(wèn)點(diǎn) F 在何處時(shí)， EFAD ？（ 3）若 A1 AB600 ，求二面角 C AA1B 的大小（用反三角函數(shù)表示） 。D 1A 1O1C1EB 1DCAOFB9如圖，正四棱柱ABCD A1B1C1 D1 ，側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面邊長(zhǎng)為2， E 是棱 BC 的中點(diǎn)。（ 1）求證： BD1 /

19、平面 C1DE ；（ 2）求二面角 C1DEC 的大?。唬?3）在側(cè)棱 BB1 上是否存在點(diǎn) P ，使得 CP平面 C1 DE ？證明你的結(jié)論。D1C1A 1B1DCEAB10. （ 08 山東卷20) 如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形， PA平面 ABCD，ABC60 ,E ，F(xiàn) 分別是 BC, PC的中點(diǎn)。（）證明：AE PD；（）若 H 為 PD上的動(dòng)點(diǎn)， EH與平面 PAD所成最大角的正切值為6 ，求二面角E AF C 的余弦值。2課后作業(yè)（一）答案：1（ 1） C；（2）C；（ 3） (900 ,1800 ； （ 4） C； （ 5）D； （ 6）略； （ 7） D；

20、（8） C； （ 9）B； （10）B；（11） D；（ 12）解：如圖中，截面ACD1和截面 ACB1 均符D 1C 1合題意要求，這樣的截面共有8 個(gè)。A1B12. （ 1）轉(zhuǎn)證線面垂直； （ 2） sin410DC。156 ,arccos3 ）。AB3. arctan2 （或 arcsin334. （ 1） D 為 AC11 的中點(diǎn)；（ 2） 450 ;arctan2 ；（3）6 a 。65. （ 1）三垂線定理； （ 2） 900 ；（ 3） arccos15 。56解：（）延長(zhǎng) DC 交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G ，由 BC 1 AD 得FGBGCBC12，延長(zhǎng) FE 交交 AB 的延

21、長(zhǎng)線于點(diǎn) G ，GAGDAD2E N同理可得 G EG BBE1故 GBGB ，即 G 與G重合，MDAGFGAAF2GA GABC因此直線 CD，EF 相交于點(diǎn) G ，即 C，D，F(xiàn)，E 四點(diǎn)共面。G(G )（）設(shè) AB1，則 BCBE1， AD2取 AE中點(diǎn) M ，則 BMAE ，又由已知得，AD平面 ABEF ，故 ADBM ， BM 與平面 ADE 內(nèi)兩相交直線AD，AE 都垂直，所以 BM平面 ADE ，作 MNDE ，垂足為 N ，連結(jié) BN ，由三垂線定理知BNED ，BNM 為二面角 AEDB 的平面角， BM2 ，MN1 ADAE3，22DE3故 tanBNMBM6，所以二面

22、角 ADE B 的大小為 arctan6 。MN2 ABCEFBC2OBC7解：（ 1 ）依題設(shè)，EF是的中位線，所以，則EFO，所以平面EF B1C1 又 H 是 EF 的中點(diǎn)，所以AHEF ，則 AHB1C1 因?yàn)?OAOB，OAOC ，A1FMC所以 OA平面 OBC ，則 OAB1C1 ，C1ANH因此 B1C1平面 OAH 。（ 2）作 ONA1B1 于 N ，連 C1 N 因?yàn)?OC1平面 OA1 B1 ，EB根據(jù)三垂線定理知，C1 NA1B1 ，ONC1 就是二面角B1O A1B1C1 的平面角，作EMOB1于 M ，則 EM OA ，則 M 是 OB 的中點(diǎn)，則EMOM1OB1xOB1OA1x3 ，解得x3，由得，設(shè)MB1EM2x 1即 OB1 OC13 ，在 Rt OA1B1 中， A1 B1OA12OB12 35，則ONOA1 OB13，2A1 B15