第五節(jié)條件概率

1、第五節(jié) 條件概率、全概率公式與貝葉斯公式一、背景一個(gè)隨機(jī)事件的概率,確切地說(shuō),是指在某些給定的條件下,事件發(fā)生的可能性大小的度量.但如果給定的條件發(fā)生變化之后,該事件的概率一般也隨之變化.于是,人們自然提出:如果增加某個(gè)條件之后,事件的概率會(huì)怎樣變化的?它與原來(lái)的概率之間有什么關(guān)系?顯然這類現(xiàn)象是常有的.例1 設(shè)有一群共人,其中個(gè)女性,個(gè)是色盲患者. 個(gè)色盲患者中女性占個(gè). 如果=從中任選一個(gè)是色盲, =從中任選一個(gè)是女性,此時(shí), .如果對(duì)選取規(guī)則附加條件:只在女性中任選一位,換一句話說(shuō),發(fā)生之后,發(fā)生的概率(暫且記為) 自然是.例2 將一枚硬幣拋擲,觀察其出現(xiàn)正反面的情況.設(shè)事件為“兩次擲出

2、同一面”,事件為“至少有一次為正面H”.現(xiàn)在來(lái)求已知事件已經(jīng)發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率.這里,樣本空間.易知此屬于古典概型問(wèn)題.已知事件已發(fā)生,有了這一信息,知道不可能發(fā)生,即知試驗(yàn)所有可能結(jié)果所成的集合就是.中共有3個(gè)元素,其中只有屬于.于是,在發(fā)生的條件下,發(fā)生的概率為對(duì)于例1,已知容易驗(yàn)證在發(fā)生的條件下,發(fā)生的概率對(duì)于例2,已知容易驗(yàn)證發(fā)生的條件下,發(fā)生的概率對(duì)一般古典概型, 容易驗(yàn)證:只要,則在發(fā)生的條件下, 發(fā)生的概率,總是成立的.在幾何概率場(chǎng)合,如果向平面上單位正方形內(nèi)等可能任投一點(diǎn),則當(dāng)發(fā)生的條件下, 這時(shí)發(fā)生的概率為由此可知對(duì)上述的兩個(gè)等可能性的概率模型,總有成立. 其實(shí),還可

3、以驗(yàn)證, 這個(gè)關(guān)系式對(duì)頻率也是成立的.于是,從這些共性中得到啟發(fā),引入下面的一般定義.二、條件概率若是一個(gè)概率空間,若,則對(duì)于任意的,稱為已知事件發(fā)生的條件下, 事件發(fā)生的條件概率.例3 一盒子中裝有4只產(chǎn)品,其中有3只是一等品,1只是二等品.從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣,設(shè)事件為“第二次取到的是一等品”,事件為“第一次取到的是一等品”,試求條件概率解:易知此屬古典概型問(wèn)題.將產(chǎn)品編號(hào)：1,2,3號(hào)為一等品,4號(hào)為二等品.以表示第一次、第二次分別取到第號(hào)、第號(hào)產(chǎn)品.試驗(yàn)E (取產(chǎn)品兩次,記錄其號(hào)碼)的樣本空間為=(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,

4、4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)=(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)=(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)由條件概率公式得,例4 一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩,已知其中有一個(gè)是女孩,問(wèn)這時(shí)另一個(gè)小孩也是女孩的概率?(假定一個(gè)小孩是女孩還是男孩是等可能的)解:據(jù)題意樣本空間為=(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)=已知有一個(gè)是女孩=(男,女),(女,女),(女,男)=另一個(gè)小孩也是女孩=(女,女)于是,所求概率為三、條件概率的性質(zhì)(1

5、)非負(fù)性:對(duì)任意的(2)規(guī)范性: (3)可列可加性:若為一列兩兩不相交的事件,有證明:(1) 因?yàn)樗?2)由于,所以(3)由于兩兩不相交,所以也必然兩兩不相交,所以四、乘法公式由條件概率的定義知: 設(shè),則.于是,這就是概率的乘法公式.如果,同樣有設(shè)且則證明 因?yàn)?依條件概率的定義,上式的右邊五、乘法公式的應(yīng)用例子例5 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下時(shí)未打破, 第二次落下時(shí)打破的概率為7/10, 若前兩次時(shí)未打破, 第三次落下時(shí)打破的概率為9/10,試求透鏡落下三次而未打破的概率.解:以表示事件“透鏡第次落下時(shí)打破”,以表示事件“透鏡三次落下而未打破”.

6、 因?yàn)?故有例6 設(shè)袋中裝有只紅球,只白球.每次自袋中任取一只球,觀察其顏色后放回,并再放入只與所取出的那個(gè)球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次,試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.解:以表示事件“第次取到紅球”,分別表示事件第三、四次取到白球.所求概率為例7 (卜里耶模型)罐中有只黑球,只紅球,隨機(jī)地取一只之后,把原球放回,并加進(jìn)與抽出的球同色之球只,再摸第二次,這樣下去共摸次.問(wèn)前次出現(xiàn)黑球,后面次出現(xiàn)紅球概率是多少?解:以表示事件“第k次取到黑球”, 表示事件“第次取到紅球”,則由一般乘法公式,1. 在例7中,最后答案與黑球和紅球出現(xiàn)的次數(shù)有關(guān),而與出現(xiàn)的順序無(wú)關(guān).2.卜里耶模

7、型被卜里耶用來(lái)描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.當(dāng)時(shí),它是有放回的摸球模型. 當(dāng)時(shí),它是不放回的摸球模型.思考題: 在卜里耶模型中,取次,問(wèn)正好出現(xiàn)次紅球概率是多少?例8 一批產(chǎn)品共100件,對(duì)其進(jìn)行抽樣調(diào)查,整批產(chǎn)品看作不合格的規(guī)定是:在被檢查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢品.如果在該批產(chǎn)品中有5%是廢品,試問(wèn)該批產(chǎn)品被拒絕接收的概率是多少?解:設(shè)表示被檢查的第件產(chǎn)品是正品.表示該批產(chǎn)品被接收.則且因此, 該批產(chǎn)品被拒絕接收的概率是0.23。作業(yè):P55 EX 29,30,31六、全概率公式設(shè)是兩個(gè)事件,那么可以表示為顯然,如果則例1 1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球,2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球,現(xiàn)隨機(jī)地從1

8、號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱,然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球,問(wèn)從2號(hào)箱取出的紅球的概率是多少?解:令 :最后從2號(hào)箱中取出的是紅球;:從1號(hào)箱中取出的是紅球.則 由上面的公式,上例采用的方法是概率論中頗為常用的方法,為了求復(fù)雜事件的概率,往往可以把它分解成若干個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件之并,然后利用條件概率和乘法公式,求出這些簡(jiǎn)單事件的概率,最后利用概率可加性,得到最終結(jié)果,這一方法的一般化就是所謂的全概率公式.設(shè)為試驗(yàn)的樣本空間,為的事件,為的一組事件.若(1) (2) 則稱為樣本空間的一個(gè)分割.若為樣本空間的一個(gè)分割,那么,對(duì)每一次試驗(yàn),事件必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生.例2 設(shè)試驗(yàn)為“擲一顆骰子觀察其點(diǎn)數(shù)”

9、.它的樣本空間.的一組事件是樣本空間的一個(gè)分割.而事件組不是樣本空間的一個(gè)分割,因?yàn)槔? 甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊.設(shè)樣本空間=無(wú)人命中飛機(jī),一人命中飛機(jī),二人命中飛機(jī),全命中.的一組事件=三人以下命中飛機(jī),=全命中飛機(jī)是樣本空間的一個(gè)分割.設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間,為的事件, 為的一個(gè)分割,且 ,則上式被稱為全概率公式.證明: ,所以由假設(shè),且所以由條件概率公式,得代入上式,即得例4 甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊.設(shè)甲、乙、丙射中的概率分別為0.4,0.5,0.7.又設(shè)若只有一人射中,飛機(jī)墜落的概率為0.2,若有二人射中,飛機(jī)墜落的概率為0.6,若有三人射中, 飛機(jī)必墜落.求飛機(jī)墜落的概率.解

10、:記=飛機(jī)墜落,=個(gè)人射中飛機(jī),=(甲射中,乙丙未射中)+(乙射中,甲丙未射中)+(丙射中,甲乙未射中)再由題設(shè),利用全概率公式,例5 播種用的小麥種子混有2%的二等種子,1.5%的三等種子,1%的四等種子,用一等、二等、三等、四等種子長(zhǎng)出的麥穗含有50顆麥粒以上的概率為0.5,0.15,0.1,0.05,求這批所結(jié)出的麥穗含有50顆麥粒以上的概率.解: 設(shè)=從這批種子任選一顆種子是等種子, .=從這批種子任選一顆,所結(jié)出的麥穗含有50顆麥粒以上則由全概率公式在例題5中, ,這對(duì)于農(nóng)業(yè)技術(shù)人員來(lái)說(shuō),這個(gè)數(shù)據(jù)是重要的,但對(duì)育種專家來(lái)說(shuō),僅有這個(gè)數(shù)據(jù)是不夠的.因?yàn)樗麄兏信d趣的是下面的問(wèn)題.例6

11、在例題5中,問(wèn)由這批所結(jié)出的含有50顆麥粒以上麥穗中是一等、二等種子長(zhǎng)出的概率.解:在上面的計(jì)算中,事實(shí)上建立了一個(gè)著名的公式Bayes公式.七、貝葉斯公式設(shè)試驗(yàn)的樣本空間,為的事件, 為的一個(gè)分割,且 ,則上式稱為貝葉斯公式.證明:由條件概率,知和全概率公式例7 某電子設(shè)備廠所用的元件是由三家元件廠提供的,根據(jù)以往的記錄,這三個(gè)廠家的次品率分別為0.02,0.01,0.03,提供元件的份額分別為0.15,0.8,0.05,設(shè)這三個(gè)廠家的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)是均勻混合的,且無(wú)區(qū)別的標(biāo)志.(1)在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一個(gè)元件,求它是次品的概率.(2) 在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一個(gè)元件,若已知它是次品,為分析此次品出自何

12、廠,需求出此品由三個(gè)廠家生產(chǎn)的概率是多少?解:設(shè)取到的元件是次品,表示取到的元件是由第個(gè)廠家生產(chǎn)的.(1)由全概率公式,(2) 由貝葉斯公式,以上結(jié)果表明,這只產(chǎn)品來(lái)自第2家工廠的可能性最大.八、貝葉斯方法從這道題中我們看出，“取一個(gè)元件”是進(jìn)行一個(gè)試驗(yàn),那么是在試驗(yàn)以前就已經(jīng)知道的,所以習(xí)慣地稱它們?yōu)橄闰?yàn)概率.實(shí)際上它是過(guò)去已經(jīng)掌握的生產(chǎn)情況的反映,對(duì)試驗(yàn)要出現(xiàn)的結(jié)果提供了一定的信息.在這個(gè)例子中,試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)次品,這時(shí)條件概率反映了在試驗(yàn)以后,對(duì)A發(fā)生的來(lái)源的各種可能性的大小,通常稱為后驗(yàn)概率.如果是病人可能患的n種疾病,在診斷以前先檢驗(yàn)與這些疾病有關(guān)的某些指標(biāo)(如體溫,血壓,白血球等),

13、若病人的某些指標(biāo)偏離正常值,要問(wèn)病人患的是哪一種疾病,從概率論的角度考慮,若較大,而為了計(jì)算 ,就可以利用上述的貝葉斯公式,并把由過(guò)去的病例中得到的先驗(yàn)概率值代入,也就是醫(yī)學(xué)上所說(shuō)的發(fā)病率,人們常常喜歡找有經(jīng)驗(yàn)的醫(yī)生給自己治病,因?yàn)檫^(guò)去的經(jīng)驗(yàn)?zāi)軒椭t(yī)生作出比較準(zhǔn)確的診斷,能夠更好地做到對(duì)癥下藥,而貝葉斯公式正是利用了經(jīng)驗(yàn)的知識(shí),由此,讀者可以直覺(jué)地認(rèn)識(shí)到這個(gè)公式的意義.也正因如此,這類方法在過(guò)去和現(xiàn)在,都受到人們的普遍重視,并稱為貝葉斯方法.例8 用甲胎蛋白法普查肝癌,令=被檢驗(yàn)者患肝癌=甲胎蛋白檢驗(yàn)呈陽(yáng)性被檢驗(yàn)者未患肝癌甲胎蛋白檢驗(yàn)呈陰性由資料已知,又已知某地居民的肝癌發(fā)病率,在普查中查出一批甲胎蛋白檢驗(yàn)呈陽(yáng)性的人,求這批人中真的患肝癌的概率.解:由貝葉斯公式可得,由此可見(jiàn),經(jīng)甲胎蛋白檢驗(yàn)呈陽(yáng)性的人群中,其中真正患肝癌的人還是很少的,只占0.0038,把與對(duì)比一下是很有意思的.當(dāng)已知病人患肝癌或未患肝癌時(shí), 甲胎蛋白檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性應(yīng)該說(shuō)是比較高的,這從可以肯定這一點(diǎn).但如果病人患肝癌或未患肝癌時(shí),而要從甲胎蛋白檢驗(yàn)結(jié)果是否為陽(yáng)性這一事件出發(fā),來(lái)判斷病人是否患肝癌,那么它的準(zhǔn)確性還是很低的,因?yàn)?.這個(gè)問(wèn)題看來(lái)似乎有點(diǎn)矛盾.一種檢驗(yàn)方