泛函分析第2章 度量空間與賦范線性空間

1、第二章 度量空間與賦范線性空間第2章 度量空間與賦范線性空間 度量空間在泛函分析中是最基本的概念。事實(shí)上，它是維歐幾里得空間的推廣，它為統(tǒng)一處理分析學(xué)各分支的重要問(wèn)題提供了一個(gè)共同的基礎(chǔ)。它研究的范圍非常廣泛，包括了在工程技術(shù)、物理學(xué)、數(shù)學(xué)中遇到的許多很有用的函數(shù)空間。因而，度量空間理論已成為從事科學(xué)研究所不可缺少的知識(shí)。 2.1 度量空間的基本概念 2.1.1 距離（度量）空間的概念 在微積分中，我們研究了定義在實(shí)數(shù)空間上的函數(shù)，在研究函數(shù)的分析性質(zhì)，如連續(xù)性，可微性及可積性中，我們利用了上現(xiàn)有的距離函數(shù)，即對(duì)。度量是上述距離的一般化：用抽象集合代替實(shí)數(shù)集，并在上引入距離函數(shù)，滿足距離函數(shù)所

2、具備的幾條基本性質(zhì)。 【定義2.1】 設(shè)是一個(gè)非空集合，：是一個(gè)定義在直積上的二元函數(shù)，如果滿足如下性質(zhì)：（1） 非負(fù)性 ；（2） 對(duì)稱性 （3） 三角不等式 ；則稱是中兩個(gè)元素與的距離（或度量）。此時(shí)，稱按成為一個(gè)度量空間（或距離空間），記為。 注：中的非空子集，按照中的距離顯然也構(gòu)成一個(gè)度量空間，稱為的子空間。當(dāng)不致引起混淆時(shí)，可簡(jiǎn)記為,并且常稱中的元素為點(diǎn)。 例2.1 離散的距離空間 設(shè)是任意非空集合，對(duì)中任意兩點(diǎn)令 顯然，這樣定義的滿足距離的全部條件，我們稱是離散的距離空間。這種距離是最粗的。它只能區(qū)分中任意兩個(gè)元素是否相同，不能區(qū)分元素間的遠(yuǎn)近程度。此例說(shuō)明，在任何非空集合上總可以定

3、義距離，使它成為度量空間。例2.2 維歐幾里得空間表示維向量的全體組成的集合，也表示個(gè)實(shí)數(shù)組成的數(shù)組的全體形成的集合。對(duì)，定義 （2.1）下面來(lái)證滿足度量定義中的條件（1）（3）。由式（2.1）不難驗(yàn)證滿足條件（1），（2）。為證滿足條件（3），需利用時(shí)的離散型Minkowski不等式（見(jiàn)1.5節(jié)）。 取，則有因此，是一距離空間。稱為維歐氏空間。注：若在中規(guī)定 （2.1）則也是距離空間（讀者自己驗(yàn)證）例2.3 所有數(shù)列組成的集合，對(duì)定義 （2.2） 那么是上的度量。式（2.2）通常稱為Fréchet組合。顯然滿足度量條件（1）（2），我們來(lái)證也滿足條件（3）。事實(shí)上，對(duì)及由于函數(shù)是單

4、調(diào)增函數(shù)，因此由得在上市不等式兩邊同乘再求和，便得因此是距離空間。例2.4 連續(xù)函數(shù)空間對(duì)定義 （2.3）則是上的一個(gè)度量。 顯然滿足度量條件（1）（2）。對(duì)另一連續(xù)函數(shù)由所以例2.5 函數(shù)類（參見(jiàn)1.6節(jié)）,對(duì)定義 （2.4）則是上的一個(gè)度量，是度量空間。由 根據(jù)Lebesgue積分的性質(zhì)有。反之，若， 則。所以，滿足度量定義2.1中條件（1）；條件（2）顯然滿足；對(duì)另一函數(shù)，根據(jù)1.6節(jié)Minkowski不等式有 即滿足度量定義條件（3），所以是上的一個(gè)度量，是度量空間。 例2.6 是本性有界可測(cè)函數(shù)的全體，即上除某個(gè)零測(cè)度外，在它的補(bǔ)集上是有界的可測(cè)函數(shù)全體。對(duì)定義 （2.5） 則是上的

5、一個(gè)度量，是度量空間。 由式（2.5）顯然可知，滿足度量條件（1）（2）?，F(xiàn)證滿足度量條件（3），對(duì)及存在且使從而有令得。所以是上的一個(gè)度量，是度量空間。2.1.2 距離空間中點(diǎn)列的收斂性非空集合引入距離（度量）后，就可以在其上定義點(diǎn)列的收斂概念?！径x2.2】設(shè)是一個(gè)度量空間，稱點(diǎn)列收斂于，是指叫做點(diǎn)列的極限，記作或。度量空間中點(diǎn)列收斂性質(zhì)與數(shù)列的收斂性質(zhì)有許多共同之處。【定理2.1】 度量空間中的收斂點(diǎn)列的極限是唯一的，且若收斂于則的任意子列也收斂于。證明：首先證明定理的第一部分。設(shè)都是的極限，則對(duì)有令有必然有因此這說(shuō)明最多有一個(gè)極限。其次證明定理的第二部分。設(shè)收斂于，于是，存在自然數(shù)，當(dāng)

6、時(shí)，。由于，從而當(dāng)時(shí)，也有故收斂于。證畢。下面討論某些具體空間中點(diǎn)列收斂的具體含義。例2.7 空間中點(diǎn)列按度量式（2.1）收斂于的充分必要條件是對(duì)每個(gè)有，即按坐標(biāo)收斂。 證明：對(duì)，由于因此，當(dāng)時(shí)，一定有，。 由于所以，對(duì)，當(dāng)時(shí)。證畢。 同樣我們也可以證明中點(diǎn)列按距離式（2.1）收斂于的充要條件是對(duì)于每個(gè)，有。 例2.8 空間中點(diǎn)列按式（2.3）度量收斂于的充分必要條件是在上一致收斂于。 證明：由知對(duì)當(dāng)時(shí)，即對(duì)任意當(dāng)時(shí)，所以在上一致收斂于。 若在上一致收斂于，則對(duì)當(dāng)時(shí)，對(duì)于恒有從而即。證畢。若按式（2.4）定義度量，則就構(gòu)成的子空間，令由勒貝格控制收斂定理，在中收斂于顯然但不一致收斂于。例2.7

7、，例2.8表明，如果在一個(gè)非空集合上定義了兩個(gè)度量，那么，由它們導(dǎo)出的收斂概念可以是一致的，也可以是不一致的。但當(dāng)我們引入了適當(dāng)?shù)木嚯x后，都可以統(tǒng)一在距離空間中考慮收斂概念，這就為統(tǒng)一處理各個(gè)具體空間提供了方便。 習(xí)題2.11 對(duì)，定義是上的距離嗎？若是，給出證明，若不是，為什么？2 對(duì)，規(guī)定證明是距離空間。3 把所有收斂數(shù)列的集合記為，對(duì)定義證明是距離空間。4 設(shè)是度量空間，在中若。證明：。5 設(shè)及，證明點(diǎn)列收斂于的充分必要條件是依坐標(biāo)收斂于，即對(duì)每個(gè)自然數(shù)2.2 度量空間中的開(kāi)、閉集與連續(xù)映射在第1章中,我們對(duì)空間中的點(diǎn)集進(jìn)行了詳細(xì)討論,介紹了開(kāi)集、閉集等一系列概念，為了更深入研究度量空間

8、中集合的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，本節(jié)我們將把這些概念推廣到一般度量空間中，其中大多數(shù)定義的敘述和定理的證明與以前的行文相似。2.2.1 度量空間中的開(kāi)、閉集【定義2.3】 設(shè)是度量空間，是一個(gè)正數(shù)，點(diǎn)集稱為以為中心、以為半徑的開(kāi)球，或的鄰域，記為或；點(diǎn)集稱為以為中心、以為半徑的閉球，記為或。中的點(diǎn)列收斂于，用鄰域的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，就是：對(duì)于的任意鄰域，存在自然數(shù)，使當(dāng)時(shí)，。例2.9 設(shè)是離散距離空間，則，。例2.10 設(shè)，是的子空間，則，。設(shè)是的子集，是中的一個(gè)定點(diǎn)，則與的關(guān)系只能有如下三種情況：（1）在“附近”全是的點(diǎn)；（2）在“附近”根本沒(méi)有的點(diǎn)；（3）在“附近”既有的點(diǎn)，又有不屬于的點(diǎn)。根據(jù)以上情況，我們給

9、出如下定義：【定義2.4】 設(shè)是距離空間，如果存在的鄰域，則稱是的內(nèi)點(diǎn)；如果是的內(nèi)點(diǎn)，則稱是的外點(diǎn)；如果既非的內(nèi)點(diǎn)，有非的外點(diǎn)，即的任何鄰域內(nèi)既有屬于的點(diǎn)，也有不屬于的點(diǎn)，則稱為的界點(diǎn)或邊界點(diǎn)；如果的任意鄰域都含有中的點(diǎn)，即，則稱是的聚點(diǎn)。注：的聚點(diǎn)不一定是的內(nèi)點(diǎn)，還可能是的界點(diǎn)；其次，的內(nèi)點(diǎn)必屬于，但的聚點(diǎn)則可以屬于，也可以不屬于。由此可知的界點(diǎn)不是聚點(diǎn)，便是孤立點(diǎn)。中的點(diǎn)，對(duì)來(lái)說(shuō)可分為內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)、外點(diǎn)或聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、外點(diǎn)三種。例2.11 若為離散距離空間，則中均為內(nèi)點(diǎn)且為的孤立點(diǎn)，中的點(diǎn)均為的外點(diǎn)?！径x2.5】 設(shè)是距離空間，如果中每一點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，則稱是開(kāi)集。例2.12 任何開(kāi)球是開(kāi)集

10、。證明：設(shè)，則，令，那么，事實(shí)上，若，則，由于所以。 【定理2.2】 設(shè)是度量空間，中開(kāi)集有如下性質(zhì)： （1）空間及空集是開(kāi)集； （2）任意多個(gè)開(kāi)集的并是開(kāi)集； （3）有限多個(gè)開(kāi)集的交是開(kāi)集。證明： 性質(zhì)（1）、（2）顯而易見(jiàn)，現(xiàn)證性質(zhì)（3）。設(shè)是中的有限個(gè)開(kāi)集，即 對(duì)，及一切，有，由于是開(kāi)集，所以存在，使，取，則對(duì)，有，可見(jiàn)，所以是的內(nèi)點(diǎn)，有的任意性知，是開(kāi)集。證畢。注：任意多個(gè)開(kāi)集的交不一定是開(kāi)集，例如，并不是的開(kāi)集。對(duì)于度量空間的子集，的聚點(diǎn)全體記為，稱為的導(dǎo)集，集合稱為的閉包。例2.13 設(shè)，則，。 【定義2.6】 設(shè)是距離空間，是的子集，如果的每一個(gè)聚點(diǎn)屬于，則稱為閉集。顯然，為閉集

11、的充要條件是?！径ɡ?.3】 （開(kāi)集與閉集的對(duì)偶性）設(shè)是距離空間，若是的開(kāi)集，則是的閉集；若是中的閉集，則是開(kāi)集。證明：設(shè)為開(kāi)集，是的聚點(diǎn)，則的任一鄰域都有不屬于的點(diǎn)，這樣不可能是的內(nèi)點(diǎn)，從而，即，由于的任意性，知是閉集。反之，設(shè)為閉集，若不是的內(nèi)點(diǎn)，則的任意鄰域至少有一個(gè)點(diǎn)屬于的點(diǎn)，而且異于，這樣是的聚點(diǎn)，從而，和假設(shè)矛盾。證畢。正是由于開(kāi)集和閉集有這樣的對(duì)偶關(guān)系，我們常將閉集看成是由開(kāi)集派生出來(lái)的一個(gè)概念。由定理2.1與定理2.2得閉集的性質(zhì)：【定理2.4】 設(shè)是距離空間，中的閉集具有如下性質(zhì)：（1）及是閉集；（2）任意多個(gè)閉集的交是閉集；（3）有限多個(gè)閉集的并是閉集。注：任意多個(gè)閉集的并

12、不一定是閉集，例如 ，則是中閉集，但，不是中的閉集。2.2.2 度量空間上的連續(xù)映射 【定義2.7】 設(shè)與是兩個(gè)度量空間，是到的一個(gè)映射，若對(duì)，存在，當(dāng)時(shí)，有，則稱在點(diǎn)連續(xù)；若在中每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱為上的連續(xù)映射。度量空間之間的連續(xù)映射是數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)概念的推廣，特別，當(dāng)映射是值域空間時(shí)，映射就是度量空間上的函數(shù)。例2.14 設(shè)是距離空間，是上一定點(diǎn)，對(duì)，是到上的連續(xù)映射（函數(shù)）。事實(shí)上，對(duì)，由下式即可證明是連續(xù)映射。【定理2.5】 設(shè)，是兩個(gè)度量空間，：，則下列命題等價(jià)：（1）在點(diǎn)連續(xù)；（2）對(duì)，存在，當(dāng)時(shí)，有；（3）對(duì)于中任意點(diǎn)列，若，則。證明： 顯然； 由于，對(duì)存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，

13、即，因此，即； 反證法，若在點(diǎn)不連續(xù)，則存在，使對(duì)任意，存在，且，但，特別取，則有，但，這意味著，但不成立，矛盾。證畢。下面定理是通過(guò)開(kāi)集與閉集來(lái)刻畫(huà)連續(xù)映射的。【定理2.6】 設(shè)，是兩個(gè)度量空間，：是一個(gè)映射，則下述命題等價(jià)： （1）是連續(xù)映射； （2）對(duì)于中任何開(kāi)集，是中的開(kāi)集； （3）對(duì)于中任何閉集，是中的閉集。 證明：命題設(shè)，則。因是中開(kāi)集，所以存在，使，由在點(diǎn)連續(xù)，所以對(duì)于上述，存在，當(dāng)時(shí)，有，即，故。所以是的內(nèi)點(diǎn)，由的任意性，是開(kāi)集。 命題對(duì)，及，取，那么是中開(kāi)集，而，所以存在，使得，即,這說(shuō)明在點(diǎn)連續(xù)。由的任意性知，在的每一點(diǎn)都連續(xù)。 命題對(duì)于任何閉集，的余集是開(kāi)集。根據(jù)映射像也

14、原像的性質(zhì)有。命題對(duì)于任何開(kāi)集，是閉集，同樣。證畢。 注：關(guān)于映射的性質(zhì)留作習(xí)題。 下面介紹一個(gè)十分有用的特殊映射同胚映射。 【定義2.8】 設(shè)，是兩個(gè)距離空間，是上的一一映射，是的逆映射，若及都是連續(xù)映射，則稱是到上的同胚映射；若從到上存在某一同胚映射，則稱與是同胚的。例2.15 是到上的同胚映射，與是同胚的。由于兩個(gè)同胚的距離空間點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)，所有鄰域也是一一對(duì)應(yīng)的，而且連續(xù)概念只依賴于鄰域的概念，因此，在只討論與連續(xù)性有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以把兩個(gè)距離空間看成一個(gè)。習(xí)題2.21.證明閉球是閉集。2.設(shè)是距離空間，表示全體內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合，稱為的內(nèi)部，證明是開(kāi)集。3.設(shè)是距離空間，證明是閉集的充要

15、條件是對(duì)于任意，若，則。4.證明從離散距離空間到任意距離空間的映射：是連續(xù)映射。5.設(shè)是一度量空間，證明是上的連續(xù)函數(shù)。6.設(shè)是度量空間，是一個(gè)非空閉集，對(duì)，記作，證明：對(duì)任意，集合是開(kāi)集。7.設(shè)與是度量空間中的閉集，且，證明存在開(kāi)集,，使,且。8.設(shè)是度量空間，若，證明對(duì)任意，集是無(wú)限集。9.設(shè)是度量空間，,證明：（1）若，則；（2）；（3）；（4），并舉例說(shuō)明等號(hào)未必成立。10.設(shè)是度量空間，證明：（1）中每個(gè)非空閉集必為可列個(gè)開(kāi)集的交；（2）中每個(gè)非空開(kāi)集必為可列個(gè)閉集的并。11.設(shè)，是兩個(gè)非空集合。：是一個(gè)映射，證明：。2.3 度量空間中的可分性、完備性與，列緊性2.3.1 度量空間中

16、的可分性 有理數(shù)集在實(shí)數(shù)集中的稠密性，實(shí)數(shù)集的完備性及有界數(shù)列必有收斂子列是數(shù)學(xué)分析的理論源泉。本節(jié)將把實(shí)數(shù)空間這幾個(gè)重要性質(zhì)推廣到一般的距離空間中?！径x2.9】 設(shè)是一度量空間，與都是的子集，若，則稱在中稠密。由定義2.9及2.2節(jié)有關(guān)定義、定理易證如下定理?！径ɡ?.7】 設(shè)是度量空間， ，則如下說(shuō)法等價(jià)：（1）在中稠密；（2）對(duì)，存在，使；（3），有；（4）對(duì)，存在點(diǎn)列，使。例2.16 有理數(shù)在實(shí)數(shù)中稠密，有理數(shù)也在無(wú)理數(shù)中稠密。注：稠密概念在數(shù)學(xué)分析中學(xué)中是很有用的，當(dāng)考察距離空間是否具有某種性質(zhì)時(shí)，往往先是在它的稠密子集上考察，然后通過(guò)極限過(guò)程得出上相應(yīng)的結(jié)論。【定義2.10】 稱

17、度量空間是可分的，是指存在中一可列集，使在中稠密。例2.17 歐氏空間是可分的。 證明： 取是有理數(shù)，則是可列集。對(duì)及，記，取有理數(shù)滿足 ，令，則 ，由于 所以在中稠密。例2.18 連續(xù)函數(shù)空間是可分的。證明：設(shè)為系數(shù)是有理數(shù)的多項(xiàng)式組成的集合，為可數(shù)集。對(duì)任一連續(xù)函數(shù)，由Weierstrass定理對(duì)上任一連續(xù)函數(shù)，必存在一列多項(xiàng)式，在上一致收斂于。則對(duì)，存在多項(xiàng)式且滿足,取多項(xiàng)式，滿足,于是，從而在中稠密。例2.19 是可分的度量空間。證明：由勒貝格積分的絕對(duì)連續(xù)性可證上的有界可測(cè)函數(shù)全體中稠密，例2.18中的集合在中稠密，所以是可分的。下面舉一個(gè)不可分度量空間的例子。例2.19 有界數(shù)列空

18、間，在上定義度量 ，則在度量下是不可分的。證明：用反證法，若是可分的，則存在可列稠密集。取的一個(gè)子集或，與區(qū)間可以通過(guò)二進(jìn)制小數(shù)建立如下對(duì)應(yīng)：，該對(duì)應(yīng)是一一映射，因此是不可數(shù)集。以中的所有點(diǎn)為中心，為半徑的開(kāi)球滿足。因此。由于可數(shù)，不可數(shù)，所以至少存在中兩個(gè)不同點(diǎn)落入某個(gè)開(kāi)球。直接計(jì)算，顯然，但，矛盾，故不可數(shù)。2.3.2 度量空間中的完備性我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)列收斂時(shí)，已經(jīng)知道數(shù)列收斂的準(zhǔn)則是該數(shù)列是否為Cauchy列，因?yàn)閿?shù)列收斂的充要條件是數(shù)列是Cauchy列，這完全是由實(shí)數(shù)的完備性所致。在度量空間中，這一結(jié)果未必成立。為此，我們引入一個(gè)重要的概念度量空間的完備性?！径x2.11】 度量空間中的

19、點(diǎn)列稱為Cauchy列，是指對(duì)任意，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，有；度量空間稱為完備的，是指中任何Cauchy列都是收斂的。由定義易知中的收斂點(diǎn)列是Cauchy列。中的Cauchy列若有子列收斂，則Cauchy列也收斂。例2.21 歐氏空間是完備的。證明：設(shè)是中任一Cauchy列，則對(duì)，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，于是，對(duì)每個(gè)坐標(biāo)所形成的數(shù)列,這說(shuō)明是Cauchy列，因此，存在實(shí)數(shù)，滿足，記作，則。這樣有。例2.22 空間是完備的。證明：設(shè)是中任一Cauchy列，則對(duì)，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，即對(duì)任意，必有，令，有，則一致收斂于。而，所以，且，故空間是完備的。例2.23 空間是完備的。證明：設(shè)是中的Cauchy

20、列，其中，則對(duì)，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，下式成立對(duì)每個(gè)，也有成立，這樣對(duì)每個(gè)存在，有。令，則且。事實(shí)上，在中令，得到對(duì)一切，成立。又因?yàn)?，因而存在?shí)數(shù)，使得對(duì)所有，成立。這樣就有。這就證明了，由，可知對(duì)一切，下式成立所以，因而是完備的。注：不完備距離空間是存在的。例如有理數(shù)域就是不完備的，再如按空間的距離構(gòu)成的度量空間是不完備的。事實(shí)上，是的子空間。在中取一點(diǎn)，如取，令則且，由勒貝格控制收斂定理可以證明收斂于中的函數(shù)，因而是Cauchy列，而，所以是中的Cauchy列，但不可能對(duì)等于一個(gè)連續(xù)函數(shù)，故不收斂于中某個(gè)元，所以作為的子空間是不完備的。從以上例子可以看出，同一集合由于距離定義不同會(huì)得到本質(zhì)上

21、不同的結(jié)果?！径ɡ?.8】 度量空間的完備子空間是閉集；一個(gè)完備度量空間的閉子空間是完備的。證明：設(shè)是距離空間的完備子空間，設(shè)，則存在，因?yàn)槭鞘諗康?，所以它是中一Cauchy列，又因?yàn)槭峭陚涞?，所以，即是閉的。設(shè)是完備的距離空間，是的閉子空間，設(shè)是中的Cauchy列，則必是中的Cauchy列，因完備，故，所以，而是閉的，故，這就證明了是完備的。類似于空間上的閉區(qū)間套定理 ，我們?cè)诰嚯x空間中可得到閉球套定理?！径ɡ?.9】 設(shè)是度量空間，是中一列以為中心，以為半徑的閉球，則是完備的充要條件是若且，則必有惟一點(diǎn)。證明：對(duì)，由，知,由于，從而，因此，是中的基本列，由于是完備的，所以必有，使。再在式中

22、令，由距離函數(shù)的連續(xù)性得到因此，從而。如果又有中點(diǎn)，從而，令，即得。所以，即中只有一點(diǎn)。設(shè)是中的基本列，由基本列定義知，對(duì)存在，當(dāng)時(shí)，有 在中作一列閉球。當(dāng)時(shí)，由于得知 所以 另一方面，的半徑，則有惟一點(diǎn) 從而，所以。即是完備的。一般的度量空間，如果不是完備的，應(yīng)用起來(lái)往往很困難。例如，方程解的存在問(wèn)題，在不完備的度量空間中解方程，即使近似解的序列時(shí)基本列，也不能保證這個(gè)序列有極限，從而也就不能保證方程在該解空間內(nèi)有解，因此研究能否在任意度量空間中通過(guò)“添加”一些“點(diǎn)”，使之成為完備化的距離空間是很有意義的?？低袑⒂欣頂?shù)域完備化成實(shí)數(shù)域的方法為解決此問(wèn)題提供了重要借鑒。用他的思想方法解決了度量

23、空間的完備化問(wèn)題?！径x2.12】 設(shè)，是兩個(gè)度量空間，如果存在滿影射，使得對(duì)一切，都有，則稱是到的等距映射，稱與是等距的。注：等距影射一定是同胚映射。顯然，凡是等距的度量空間，由度量導(dǎo)出的性質(zhì)全是一樣的，因此，當(dāng)只限于討論與度量空間有關(guān)的性質(zhì)時(shí)，對(duì)彼此等距的度量空間可以不加區(qū)分。【定理2.10】 （度量空間的完備化定理）對(duì)于每個(gè)度量空間，必存在一個(gè)完備的度量空間，使得等距一個(gè)在中稠密的子空間，如除去等距不計(jì)，是惟一的。由于這個(gè)定理證明冗長(zhǎng)，且一般泛函分析教材均有證明過(guò)程，這里從略。例2.24 有理數(shù)全體按距離所成度量空間是不完備的，它的完備化空間就是全體實(shí)數(shù)按距離所成的距離空間；是上全體多項(xiàng)

24、式函數(shù)，按度量所成度量空間是不完備的，它的完備化空間是；按空間的度量構(gòu)成的度量空間是不完備的，它的完備化空間是。2.3.3 度量空間中的列緊性在實(shí)數(shù)集中，有界數(shù)列一定存在收斂子列，但這個(gè)結(jié)論不能推廣到一般的度量空間中。例如，在上的三角函數(shù)系是空間中的一個(gè)有界集，但其中任意兩個(gè)不同元素距離等于，不可能存在收斂子列。因此，有必要引入下面的概念?！径x2.13】 設(shè)是度量空間，如果中的每一點(diǎn)列都存在一個(gè)子列收斂于中某一點(diǎn)，則稱為列緊集；如果中的每一點(diǎn)列都存在一個(gè)子列收斂于中某一點(diǎn)，則稱是緊集。由此可見(jiàn)，一個(gè)集合是緊集則必是列緊集，但反之不然。例2.25 ，但。因此，是列緊集，但不是緊集。由定義我們可

25、以得出結(jié)論：列緊集的子集也是列緊集；有限個(gè)列緊集的并一定是列緊集；列緊的閉集一定是緊集。例2.26 ，是有界集，則是列緊集。證明：，記，由有界知存在，使。對(duì)個(gè)數(shù)列是有界的，對(duì)有子列收斂，仍是有界的，故又存在收斂子序列，是的子集。依次類推，得到自然數(shù)集的子列，使都收斂，因此在中收斂，即為列緊集。根據(jù)定以來(lái)直接判斷一個(gè)集合是否列緊往往比較困難，為了便于刻畫(huà)和判斷一個(gè)集合的列緊性，我們引入全有界集概念?！径x2.14】 設(shè)是度量空間，是全有界的，如果對(duì)，存在中有限個(gè)點(diǎn)滿足?！径ɡ?.11】 全有界集是有界的，且是可分的。證明：設(shè)是度量空間，是全有界的，則對(duì)存在，使，因此對(duì)一切，有，使，所以（是有限數(shù)

26、）故有界。另一方面，若全有界，對(duì)，存在有限集使，令，則是可列集。任取，存在某個(gè)，使，且，說(shuō)明在中稠密，故可分。注：定理2.11逆命題不真?！径ɡ?.12】 如果是度量空間中的列緊集，則是全有界集。證明：若不是全有界集，那么存在，使得中任意有限個(gè)點(diǎn)為中心，半徑為的球并不能蓋住。取，球不能蓋住，于是存在且即有，同樣也不能蓋住，存在且，既有，如此繼續(xù)下去，得到中點(diǎn)列滿足?？梢?jiàn)點(diǎn)列的任何子列均不能收斂，這與是列緊集矛盾?！径ɡ?.13】 如果是完備的度量空間，則是列緊集的充要條件是為全有界的。證明：必要性由定理2.12即得。現(xiàn)證充分性：設(shè)是全有界集，取，對(duì)存在以中有限個(gè)點(diǎn)為中心，1為半徑的球的并蓋住，

27、所以必有某個(gè)球中含有的某子列，該子列記為；取，同樣存在以中有限個(gè)點(diǎn)為中心，為半徑的球蓋住，所以必有某個(gè)球含有子列的子列，記為，如此進(jìn)行下去，可得子列串為，其中后一個(gè)是前一個(gè)的子列，且。從這一個(gè)子列串中重新選擇一個(gè)子列，即將子列串排成下面的表，選取對(duì)角線元素而得 我們來(lái)證明是Cauchy列.事實(shí)上,對(duì)任意,取自然數(shù)，使，則對(duì)任何，有，所以即是Cauchy列。由完備，可知是收斂列，證得為列緊集。注：在完備的度量空間中，集的列緊性和全有界性是一致的；在一般的度量空間中，列緊性強(qiáng)于全有界性，全有界性強(qiáng)于有界性；在空間中三者是一致的?，F(xiàn)在我們將古典分析中閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的某些性質(zhì)推廣到度量空間的緊集上。

28、【定理2.14】 設(shè)是度量空間中的一個(gè)緊集，是定義在上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，那么是有界的，且上下確界可達(dá)。證明：先證有界。若不然，則存在，使，由于是緊的，有子列在中收斂，即有，使。由于在點(diǎn)連續(xù)，有，從而，這是不可能的。所以在上是有界的。記，由上確界定義，同樣可以找到中點(diǎn)列，滿足，由緊性，存在子列及，使，由在點(diǎn)連續(xù)，得，顯然，于是。同理可證下確界可達(dá)。關(guān)于判斷重要空間中子集的列緊性有下述著名的Arzela-Asccoli定理?！径ɡ?.15】 集合是列緊的充要條件是下面兩個(gè)條件成立： （1）是一致有界的，即存在常數(shù)，使得每個(gè)，： （2）是等度連續(xù)的，即對(duì)，存在，使對(duì)任意，當(dāng)及時(shí)，成立。該定理證明較為繁

29、雜，這里從略。習(xí)題2.31.設(shè)，對(duì)，問(wèn)：（1）是否完備； （2）是否可分；（3） 是否全有界； （4）是否列緊。2.證明稠密性具有傳遞性即若在中稠密，在中稠密，則在中也稠密。3.證明列緊集中的Cauchy列必是收斂列。4.舉例說(shuō)明完備度量空間的連續(xù)像未必是完備的。5.設(shè)是度量空間，證明在中稠密的充要條件是無(wú)內(nèi)點(diǎn)。6.記，在上定義度量為，證明: 是可分的且是完備的。7.設(shè)是列緊集且是閉集，證明是緊集。8.設(shè)是一列非空緊集，若滿足，則。9.設(shè)是度量空間，是中緊集，記證明：當(dāng)，那么；如果將換為列緊集，結(jié)論是否成立？10.證明緊集的連續(xù)像是緊集。11.設(shè)是度量空間，是緊集，是閉集，記若，證明。12.試

30、證空間不是列緊的。13.證明空間是不可分的。2.4 Banach壓縮映像原理作為完備度量空間概念的應(yīng)用，我們介紹壓縮映像原理。壓縮映像原理是求解代數(shù)方程、微分方程、積分方程，以及數(shù)值分析中迭代算法收斂性的理論依據(jù)，是數(shù)學(xué)和工程計(jì)算中最常用的方法之一。2.4.1 壓縮映像原理在眾多情況下，求解各種方程的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求其某一映射的不動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)在以大家熟悉的一階常微分方程 （2.7）為例來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。求微分方程（2.7）滿足初始條件的解與求積分方程 （2.8）等價(jià)。我們做映射 則方程（2.8）的解就轉(zhuǎn)化為求，使之滿足。也就是求這樣的，它經(jīng)映射作用后仍變?yōu)椤Ｒ虼?，求解方程?.7）就變?yōu)榍笥成涞牟粍?dòng)點(diǎn)

31、。這種求解方程變?yōu)榍蠼庥成涞牟粍?dòng)點(diǎn)的做法在數(shù)學(xué)中是常用的。那么如何求解映射的不動(dòng)點(diǎn)呢？在中求方程解的逐次逼近法給了我們啟示。例2.27 求Kepler方程的解，其中,為已知常數(shù)，。解:做映射，使，求方程的解就轉(zhuǎn)化為求映射的不動(dòng)點(diǎn)，即求一點(diǎn)，使。任取一實(shí)數(shù)，做如下迭代序列，得 由于 所以 因而，對(duì)任何自然數(shù)、，有因，故當(dāng)時(shí)，上式后部分極限為0，因此是中的Cauchy列，所以，使。又是連續(xù)映射，對(duì)，令，有，故為映射的不動(dòng)點(diǎn)，即為所求Kepler方程的根。這個(gè)根是惟一的，與選取無(wú)關(guān)。事實(shí)上，如果方程還有另一根，則有這是不可能的，故。這種迭代原理是解決映射不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最基本的方法。在解決上述問(wèn)題中，看到

32、實(shí)數(shù)完備性的重要作用。代數(shù)方程、微分方程、積分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一個(gè)一般原理，即壓縮映象原理，壓縮映象原理就是某一類影射不動(dòng)點(diǎn)存在和惟一性問(wèn)題，不動(dòng)點(diǎn)可以通過(guò)迭代序列求出?！径x2.15】 設(shè)是一個(gè)度量空間，是一個(gè)映射，稱是的不動(dòng)點(diǎn)，是指。【定義2.16】 設(shè)是一個(gè)度量空間，稱為壓縮映像，是指存在常數(shù)滿足。從定義2.16可見(jiàn)，壓縮映像一定是連續(xù)映射。因?yàn)槿?，由，得。【定?.16】（Banach壓縮映像定理） 設(shè)是完備度量空間，是壓縮映像，那么存在惟一的不動(dòng)點(diǎn)。證明：任取，作迭代序列。為證是收斂?jī)H需證明它是Cauchy點(diǎn)列，因?yàn)槭峭陚涞摹Ｓ捎谟谑菍?duì)任何自然數(shù)及，有可

33、見(jiàn)，因此是Cauchy點(diǎn)列。從而存在中使。我們來(lái)證便是的不動(dòng)點(diǎn)，事實(shí)上由得，即，故。最后來(lái)證惟一性。設(shè)另有一不動(dòng)點(diǎn)，即有，因所以，即。證畢。注：（1）從定理的證明過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，迭代序列的初始值可任意選取，最終都能收斂到惟一不動(dòng)點(diǎn)。（2）該定理提供了近似計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)的誤差估計(jì)公式，即因?yàn)橥陚涠攘靠臻g的任何子集在原有度量下仍然是完備的，所以定理中的壓縮映像不需要在整個(gè)空間上有定義，只要在某個(gè)閉集上有定義，且像也在該閉集內(nèi)，定理的結(jié)論依然成立。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，有時(shí)本身未必是壓縮映像，但的若干次復(fù)合是壓縮映像，這時(shí)仍然有惟一不動(dòng)點(diǎn)，這就是如下所述的對(duì)壓縮映像原理的改進(jìn)定理?！径ɡ?.17】 設(shè)是完備度量

34、空間，是一個(gè)映射。如果存在某個(gè)自然數(shù)，使是壓縮映射，那么存在惟一的不動(dòng)點(diǎn)（這里是的次復(fù)合，即）證明：是壓縮映像，所以存在惟一的不動(dòng)點(diǎn)，即，由于這說(shuō)明仍是的不動(dòng)點(diǎn)，而的不動(dòng)點(diǎn)惟一，所以，即是的不動(dòng)點(diǎn)。若另有不動(dòng)點(diǎn).即，則，那么也是的不動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的惟一性有證畢。2.4.2 壓縮映像原理的應(yīng)用本小節(jié)通過(guò)代數(shù)方程、微分方程、積分方程來(lái)說(shuō)明定理2.16與定理2.17的具體應(yīng)用。例2.28 線性代數(shù)方程均可寫成如下形式 （2.9）其中,。如果矩陣滿足條件則式（2.9）存在惟一解，且此解可由迭代求得。證明：取，定義度量為構(gòu)造映射為，那么方程（2.9）的解等價(jià)于映射的不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)于，由于 記，由條件，因此

35、是壓縮映像，于是有惟一不動(dòng)點(diǎn)，所以方程（2.9）有惟一解，且此解可由如下迭代序列近似計(jì)算求得。例2.29 考察如下常微分方程的初值問(wèn)題 （2.10）如果在上連續(xù)，且關(guān)于第二元滿足條件，即這里是常數(shù)，則方程（2.10）在上有惟一解。證明：方程（2.10）的解等價(jià)于如下方程 （2.11）的解。取連續(xù)函數(shù)空間，定義其上的映射為則積分方程（2.11）的解等價(jià)于的不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)任意兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，由于 令，則，故是壓縮映射，從而有惟一不動(dòng)點(diǎn)，即積分方程（2.11）有唯一解，從而微分方程（2.10）在上有惟一解。例2.30 設(shè)是定義在上的二元連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任何常數(shù)及任何給定的連續(xù)函數(shù)，如下型積分方程 (2.1

36、2)存在唯一解。證明：取連續(xù)函數(shù)空間，其上定義映射：為則方程（2.12）的解等價(jià)于的不動(dòng)點(diǎn)。由于在上連續(xù)，于是在有最大值，記為，即對(duì)任何兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，由于 一般地，對(duì)自然數(shù)，歸納可得因此 注意到，因此存在自然數(shù)，滿足這說(shuō)明是壓縮映射，由定理2.17，有惟一不動(dòng)點(diǎn)，亦即型積分方程（2.12）有惟一解。例2.31（隱函數(shù)存在定理） 設(shè)函數(shù)在帶狀域,中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。如果存在常數(shù)和，滿足,則方程在區(qū)間上必有惟一的連續(xù)函數(shù)作為解，即證明：在完備空間中作映射，使對(duì)于任意的函數(shù)，有按定理?xiàng)l件，是連續(xù)的，所以也是連續(xù)的，即，故是到的映射。現(xiàn)證是壓縮映射，由微分中值定理存在使 又所以令，則,且

37、按中距離的定義，有，所以是壓縮映像，存在使，即，即，所以習(xí)題2.41用壓縮映像原理證明方程只有惟一解，其中。2證明下述線性方程組有惟一解，并寫出求方程近似解的迭代序列。3用壓縮映像原理構(gòu)造迭代序列來(lái)求下述微分方程的解。4設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，記證明下述積分方程當(dāng)時(shí)有惟一解。5設(shè)是完備度量空間，如果，證明存在惟一不動(dòng)點(diǎn)。2.5線性空間在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中，我們遇到的空間不僅需極限運(yùn)算，而且要有所謂的加法和數(shù)乘的代數(shù)運(yùn)算，如本章所考察的函數(shù)空間和序列空間實(shí)際上也是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。當(dāng)著眼于空間中的代數(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)，就必須引入線性空間（或向量空間）的概念。2.5.1 線性空間的定義【定義2.17】 設(shè)是非空

38、集合，是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域，稱為上的線性空間，如果滿足以下條件：對(duì)任意兩個(gè)元素，存在中惟一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱為與的和，記為，且滿足：（1）交換律；（2）結(jié)合律；（3）在中存在一個(gè)元素，稱為零元，使；（4）對(duì)每個(gè)，存在，使，稱為的負(fù)元。對(duì)任意數(shù)及，存在中惟一元素與之對(duì)應(yīng)，記為，稱為與的數(shù)乘，且滿足：（1）結(jié)合律 ：（2）；（3）數(shù)乘對(duì)加法分配律；（4）加法對(duì)數(shù)乘分配律。如果，稱為實(shí)線性空間；如果（復(fù)數(shù)域），稱為復(fù)線性空間。例2.32 歐式空間是一線性空間。,令與加法為；數(shù)乘為；零元素；負(fù)元素為，易驗(yàn)證是線形空間。例2.33 按函數(shù)的加法與數(shù)乘運(yùn)算組成一線性空間。例2.34 空間是線形空間。設(shè)是實(shí)數(shù)列

39、，如果，則稱數(shù)列是次收斂數(shù)列，次收斂數(shù)列全體記為，稱空間。對(duì)中任何兩個(gè)元素，和任何實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)），定義現(xiàn)在證明這樣定義的和仍是中的元素。因?yàn)?所以則。容易證明，所以按上述加法與數(shù)乘運(yùn)算成為線性空間。對(duì)于線性空間，以下幾個(gè)概念是經(jīng)常用的。1. 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)中的元素稱為是線性相關(guān)，如果存在不全為零的數(shù)組使得；反之，若由，必然導(dǎo)出，則稱線性無(wú)關(guān)。例2.35 線性空間，那么是線性無(wú)關(guān)的，而是線性相關(guān)的。2. 線性組合設(shè)，如果存在，使得則稱是的線性組合，或稱可用線性表示。3. 子空間設(shè)，如果對(duì)中線性運(yùn)算是封閉的，即對(duì)，有，對(duì)，有，則稱是的一個(gè)線性子空間，簡(jiǎn)稱子空間。易驗(yàn)證子空間本身也是線性空間。及

40、都是的線性子空間，稱它們?yōu)槠椒驳淖涌臻g；而稱其他的子空間為真子空間。設(shè)為的一個(gè)非空子集，中任意有限向量的線性組合全體記為，稱為由張成的線性包，容易證明是的線性子空間，并且是中包含的最小線性子空間，即若是中包含的線性子空間，那么必有。4. 線性子空間的維數(shù)與基如果線性空間中可找到個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，且任意個(gè)向量均線性相關(guān)，則稱的維數(shù)為，記為；若對(duì)任何自然數(shù)，中都有個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，則稱是無(wú)限維的，記為。維線性空間中個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量稱為空間的一組基。例2.36 空間是維線性空間。向量組構(gòu)成的一組基，稱它為的標(biāo)準(zhǔn)基。例2.37 設(shè)是線性空間，且線性無(wú)關(guān)，則是的二維子空間。例2.38 是無(wú)窮維線性空間，

41、因中存在無(wú)窮多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量。5. 直和設(shè)是線性空間，是的子空間，如對(duì)，可惟一表示成其中，則稱是的直接和，簡(jiǎn)稱為直和，記為或。容易證明，如果是的直和，在中任取非零元素，則是線性無(wú)關(guān)的。6.函數(shù)空間設(shè)是一集合，是上某些實(shí)（或復(fù)）值函數(shù)所組成的函數(shù)簇，在中按通常方法規(guī)定函數(shù)的加法及中的數(shù)與函數(shù)的乘法如下如果當(dāng)，恒有，則稱為上的一個(gè)線性空間，此線性空間稱之為函數(shù)空間。今后，如不特殊說(shuō)明，對(duì)函數(shù)空間總是采取上述的加法及數(shù)乘運(yùn)算。例2.39 是線性子空間，是線性空間。7. 數(shù)列空間設(shè)是數(shù)列的全體，在中定義“加法”與“數(shù)乘”運(yùn)算，即對(duì)定義則是上的一個(gè)線性空間，此線性空間稱為數(shù)列空間。如不另外說(shuō)明，對(duì)空間

42、及其子空間都采取這種加法和數(shù)乘運(yùn)算。例2.40 ，空間是的子空間，是線性空間。8. 凸集在線性空間中還有一類常用集合凸集。一個(gè)集合稱為凸集，如果對(duì)中任意兩個(gè)元素及有。特別，當(dāng)是的子空間時(shí)，一定是凸集，相反凸集未必是子空間。2.5.2線性算子與線性泛函【定義2.18】 設(shè)與是兩個(gè)線性空間，映射稱為線性算子，如果對(duì)及，有。特別，當(dāng)時(shí)，線性算子稱為線性泛函，是實(shí)數(shù)域時(shí)，稱為實(shí)線性泛函，是復(fù)數(shù)域時(shí)，稱為復(fù)線性泛函。是線性算子，記分別稱為線性算子的零空間和值域空間。容易證明是的子空間，而是的子空間。例2.41 設(shè)是線性空間，且，則是到上的線性算子，當(dāng)時(shí)，稱為相似算子，當(dāng)時(shí)，稱為零算子，當(dāng)時(shí)稱為單位算子。

43、例2.42 連續(xù)函數(shù)空間，其子空間，即上全體連續(xù)可微函數(shù)組成的線性空間，定義算子，則是線性算子。例2.43 連續(xù)函數(shù)空間，定義泛函，則是線性泛函。例2.44 設(shè)與分別是維與維線性空間，取一組基,中取一組基。證明：此時(shí)對(duì)任何一個(gè)線性算子，存在相應(yīng)一個(gè)矩陣，使得若，則，其中。證明：對(duì)每個(gè)是中的元素，存在個(gè)數(shù)，使得于是有例2.44 表明，在兩個(gè)有限維線性空間之間的線性算子均可在合適的基下通過(guò)矩陣表達(dá)。因此，線性代數(shù)所研究的矩陣本質(zhì)上是有限維空間之間的線性算子。本書(shū)的主要目的是研究無(wú)限維空間上的線性算子?！径x2.19】 兩個(gè)線性空間與稱為是同構(gòu)的，是指存在一個(gè)線性算子是一一映射。兩個(gè)同構(gòu)的線性空間維

44、數(shù)相同，且代數(shù)結(jié)構(gòu)一致。事實(shí)上，任何維線性空間一定與空間同構(gòu)。（證明留作習(xí)題）。習(xí)題2.51設(shè)是線性空間，是非空子集，證明是線性空間且滿足對(duì)任一子空間，若，則。2設(shè)是線性空間的兩個(gè)子空間，證明及均是子空間。是否是子空間？3設(shè),是兩個(gè)線性空間，是線性算子，證明和分別是與的子空間。4證明：對(duì)歐式空間，任意線性泛函都惟一存在，這個(gè)確定的實(shí)數(shù)，使對(duì)每個(gè)，都有。5下列函數(shù)集合按照函數(shù)的加法及數(shù)乘運(yùn)算是否構(gòu)成線性空間？（1）上所有次數(shù)的多項(xiàng)式全體；（2）上所有次數(shù)的多項(xiàng)式全體；（3）上滿足的函數(shù)全體；（4）上連續(xù)且周期為的函數(shù)全體；（5）上一切單調(diào)函數(shù)全體。6設(shè)是維實(shí)線性空間，證明與同構(gòu)。2.6賦范線性空

45、間在前幾節(jié)中我們?cè)诩仙弦M(jìn)了度量的概念，并且在度量的意義下研究了點(diǎn)列的收斂及其映射的性質(zhì)。在泛函分析中，特別重要并非常有用的一類度量空間實(shí)賦范線性空間。在賦范線性空間中的元素可以相加或數(shù)乘（即進(jìn)行線性運(yùn)算），元素之間不僅有距離，而且每個(gè)元素有類似于普通向量長(zhǎng)度的叫做范數(shù)的量。2.6.1 賦范線性空間的定義及例子【定義2.20】 設(shè)是線性空間，若對(duì)于中每個(gè)元素，按照一定法則對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)滿足：（1）且；（2）；（3）。則稱為的范數(shù)，稱為以為范數(shù)的賦范線性空間。對(duì)于賦范線性空間，我們可以用公式定義元素與之間的距離，容易證明滿足距離的三個(gè)條件，因而是一個(gè)度量空間。從而在賦范線性空間中鄰域、開(kāi)集、收斂

46、性、完備性、可分性、列緊性等概念都有確切的定義。稱中的點(diǎn)列依范數(shù)收斂于，是指，記為或簡(jiǎn)記為。完備的賦范線性空間稱為空間。例2.45 歐氏空間，連續(xù)函數(shù)空間,空間,空間在下列范數(shù)下均是賦范線性空間，而且是空間，即這些范數(shù)導(dǎo)出的距離與前幾節(jié)討論的度量空間一致，因而是空間。注：對(duì)于同一線性空間可以用不同的方式引進(jìn)范數(shù)，例如在中也可以用來(lái)定義范數(shù)，這時(shí)，它仍是空間。例2.46 僅有有限項(xiàng)非零的所有實(shí)數(shù)列組成的集合，它是的子空間，也是線性空間，在中定義范數(shù)為則是賦范線性空間，但不是空間。證明：是賦范線性空間易證，僅需證在范數(shù)導(dǎo)出的度量意義下不完備，取由于當(dāng)使，有所以是中的列，但它不收斂于中的點(diǎn)。若不然，

47、存在，使，于是，求得數(shù)列為，這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)均非零，因此，矛盾。按范數(shù)也是一個(gè)不完備的賦范線性空間。注：在線性空間中引入距離，使之成為距離空間，稱為線性距離空間，若能導(dǎo)入范數(shù)，使之成為賦范線性空間且由范數(shù)導(dǎo)入的距離和原距離一致時(shí)，稱之為可賦范的，若線性距離空間滿足（1）；（2）；則是可賦范的（證明留作習(xí)題）不可賦范的距離空間是存在的，例如數(shù)列空間（2.1節(jié)例2.3），對(duì)，如令，則條件不能滿足。事實(shí)上，如果，則，而。2.6.2 賦范線性空間的性質(zhì)性質(zhì)2.1 設(shè)是賦范線性空間，若，則是有界數(shù)列。證明：因，所以對(duì)，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，于是令，則對(duì)一切有，即有界。性質(zhì)2.2 設(shè)中點(diǎn)列及數(shù)域中數(shù)列滿足則：

48、（1）加法連續(xù) ；（2）數(shù)乘連續(xù) 。證明：（1）由，得（2）因，所以有界，使，于是 所以性質(zhì)2.3 范數(shù)是的連續(xù)函數(shù)。證明：由，對(duì)，取，則當(dāng)時(shí)，有，所以是的連續(xù)函數(shù)。【定義2.21】 設(shè)是一線性空間，與是上的兩個(gè)范數(shù)，如果，則，稱強(qiáng)于；如果，稱與等價(jià)。性質(zhì)2.4 強(qiáng)于存在常數(shù)，使。證明：若上述不等式成立，顯然比強(qiáng)，充分性得證。下面證明必要性，用反證法。若不等式不成立，則對(duì)任何自然數(shù)，存在，使，令，于是，但不成立，這與比強(qiáng)矛盾。證畢。由性質(zhì)2.4可知，兩個(gè)范數(shù)與等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)使下面不等式成立例2.47 在連續(xù)函數(shù)空間中定義兩種范數(shù)為則比強(qiáng)，但兩個(gè)范數(shù)不等價(jià)。證明：若，則函數(shù)列在上一致收斂于，由一致收斂函數(shù)性