概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在電子專業(yè)的應(yīng)用

1、概率論在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用 學(xué) 院： 班 級： 學(xué) 號： 班內(nèi)序號： 姓 名： 概率論在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用中文摘要概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在電子電路的隨機(jī)信號處理及實(shí)驗(yàn)中有著廣泛的應(yīng)用，通信工程中信號的接收和發(fā)射，都需要概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論作為基礎(chǔ)。因?yàn)椋盘柺切畔⒌妮d體。信號源的輸出都是隨機(jī)的，怎樣在隨機(jī)信號中找出我們所需要的信息，就需要使用統(tǒng)計(jì)方法來描述。同時(shí)，對于接收者來說怎樣從一個(gè)不缺定或不可預(yù)測的信號中獲取我們所需要的信息，仍然需要再次利用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的知識。關(guān)鍵詞 ：概率論，數(shù)理統(tǒng)計(jì)，電子電路，隨機(jī)信號AbstractProbability and mathematical statistic

2、s in random signal processing and electronic circuit has been widely used in the experiments, the signal receiving and launch in communication engineering, all need theory as the basis of probability theory and mathematical statistics. Because the signal is the carrier of information. The output of

3、the signal source is random, how to find what we need in the random signal information, you need to use statistical methods to describe. At the same time, for the receiver how to from a not short or unpredictable signal to obtain the information we need, still need the knowledge of statistics again.

4、 Key words: probability theory, mathematical statistics, electronic circuit, random signal 一：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的起源與發(fā)展1、概率論 概率論的研究始于意大利文藝復(fù)興時(shí)期，當(dāng)時(shí)賭博盛行，而且賭法復(fù)雜，賭注量大，一些職業(yè)賭徒，為求增加獲勝機(jī)會(huì)，迫切需要計(jì)算取勝的思路，研究不輸?shù)姆椒?，十七世紀(jì)中葉，帕斯卡和當(dāng)時(shí)一流的數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬一起，研究了德·美黑提出的關(guān)于骰子賭博的問題，這就是概率論的萌芽。1657年荷蘭物理學(xué)家惠更斯發(fā)表了“論賭博中的計(jì)算”的重要論文，提出了數(shù)學(xué)期望的概念，伯努利把概率論的發(fā)展向

5、前推進(jìn)了一步，于1713年出版了猜測的藝術(shù)，指出概率是頻率的穩(wěn)定值，他第一次闡明了大數(shù)定律的意義。1718年法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)表了重要著作機(jī)遇原理，書中敘述了概率乘法公式和復(fù)合事件概率的計(jì)算方法，并在1733年發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布密度函數(shù)，但他沒有把這一結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際數(shù)據(jù)上，直到1924年菜被英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家K·皮爾森在一家圖書館中發(fā)現(xiàn)。德國數(shù)學(xué)家高斯從測量同一物體所引起的誤差這一隨機(jī)現(xiàn)象獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布密度函數(shù)方程，并發(fā)展了誤差理論，提出了最小二乘法。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯也獨(dú)立的導(dǎo)出了該方程，對概率的意義如何抽象化做出了杰出的貢獻(xiàn)，提出了概率的古典定義。到19世紀(jì)末，概率論的主要研究內(nèi)容已基

6、本形成。1933年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫科洛夫總結(jié)前人之大成，提出了概率論公理體系，即概率的公理化定義。概率論里所說的極限定理，主要研究獨(dú)立隨機(jī)變量序列的各種收斂性問題，其中包括兩種類型定理：一類是大數(shù)定律，一類是中心極限定理。當(dāng)代概率論的研究方向大致可分為極限理論，馬爾可夫過程，平穩(wěn)過程，隨機(jī)微分方程等。2、數(shù)理統(tǒng)計(jì) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)是伴隨著概率論的發(fā)展而發(fā)展起來的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，研究如何有效的收集、整理和分析受隨機(jī)因素影響的數(shù)據(jù)，并對所考慮的問題做出推斷或預(yù)測，為采取某種決策和行動(dòng)提供依據(jù)或建議。數(shù)理統(tǒng)計(jì)起源于人口統(tǒng)計(jì)、社會(huì)調(diào)查等各種描述性統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，其發(fā)展大致課分為古典時(shí)期、近代時(shí)期和現(xiàn)代時(shí)期三個(gè)階段。古

7、典時(shí)期 這是描述性的統(tǒng)計(jì)學(xué)形成和發(fā)展的階段，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的萌芽時(shí)期。在這一時(shí)期里，瑞士數(shù)學(xué)家貝努里較早地系統(tǒng)論證了大數(shù)定律。1763年，英國數(shù)學(xué)家貝葉斯提出了一種歸納推理的理論，后背發(fā)展為一種統(tǒng)計(jì)論斷方法貝葉斯方法，棣莫弗發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的密度函數(shù)，高斯提出最小二乘法。近代時(shí)期 是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的形成時(shí)期，英國數(shù)學(xué)家皮爾遜提出了矩估計(jì)法和頻率曲線的理論，2檢驗(yàn)；統(tǒng)計(jì)學(xué)家戈賽特創(chuàng)立了小樣本檢驗(yàn)，即t分布和t檢驗(yàn)法，并由費(fèi)歇推廣，這樣，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些重要分支如假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析、方差分析、正交設(shè)計(jì)等有了決定其面貌的內(nèi)容和理論?，F(xiàn)代時(shí)期 美籍羅馬尼亞數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家瓦你德發(fā)展了決策理論，提出了一般的判別問題，創(chuàng)立

8、了序貫分析理論，提出著名的序貫概率比檢法。二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在電子電路的隨機(jī)信號處理根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的知識所描述，事件的概率就是對于一次隨機(jī)試驗(yàn)E，S是它的樣本空間，那么對于隨機(jī)試驗(yàn)E中的每一個(gè)事件A都賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P（A），這時(shí)，這個(gè)實(shí)數(shù)就是事件A的概率。我們知道一個(gè)事件的不確定性可以用事件出現(xiàn)的頻率來描述，可能性越小，概率越小；反過來說，可能性越大，則概率就越大。由此就可以看出，信息中包含的信息量與事件發(fā)生的概率密切相關(guān)。在此，我們可以判斷出，當(dāng)一個(gè)事件的不確定性越小時(shí)，它所攜帶的信息量就越大，因?yàn)槲覀兛梢詮闹蝎@得更多的信息。這個(gè)時(shí)候，我們設(shè)有一個(gè)函數(shù)，它滿足對于一個(gè)事件的概率

9、P(x)，有對應(yīng)的信息量I滿足I=fP(x),由以上總結(jié)得出：P（x）越小，則I就越大；同樣則有當(dāng)P（x）越大時(shí)，I就越小。用數(shù)學(xué)式表達(dá)：P（x）1時(shí)，I0;P（x）0時(shí)，I.因?yàn)樾畔⑺男畔⒘靠梢杂酶怕蕘肀硎觯愿怕实幕拘再|(zhì)例如相加性對于信息也是滿足的。就是對于概率論來說，設(shè)是兩兩互不相容的事件，即對于=Ø，ij,i,j=1,2,.,則通過類比可得出若干個(gè)相互獨(dú)立事件所提供的信息量就等于個(gè)獨(dú)立事件所提供的信息量之和，也就是所謂的信息的相加性，即由以上兩點(diǎn)可以得出，信息量I與事件出現(xiàn)的概率P（x）的關(guān)系應(yīng)滿足一種數(shù)學(xué)關(guān)系，根據(jù)1）、2）可以知道信息量I與事件出現(xiàn)的概率P（x）

10、的倒數(shù)成對數(shù)關(guān)系。此時(shí)，我們可以得出I與P（x）的對應(yīng)關(guān)系，即I=-P（x）其中，a的取值可以用來判斷信息量的單位。通過這個(gè)公式，我們對信息量做出了較為直觀的描述，從而對信息做出度量，為信息的傳輸和處理奠定了基礎(chǔ)。 在信號的傳輸之前，我們需要對信號進(jìn)行處理，這是因?yàn)閷τ谛盘栐磥碚f，它所發(fā)出的信號是一定的，但有時(shí)會(huì)具有較低的頻譜分量，這種信號在很多信道中并不適合傳輸。因此，我們在信號傳輸之前需要對信號進(jìn)行調(diào)幅。而需要調(diào)幅的信號就稱為調(diào)幅（AM）信號。我們假設(shè)，一個(gè)調(diào)制信號m(t),疊加上直流后與可形成調(diào)幅（AM）信號。調(diào)幅信號的時(shí)域表示為(t)=+m(t)cost=cost+m(t)cost式中

11、：m(t)為調(diào)制信號，它的均值為0；是常數(shù)，表示的是疊加的直流分量。AM信號在1電阻上的平均功率應(yīng)該等于（t）的均方值即為其平方的時(shí)間平均，即=利用均方值可以很簡單的計(jì)算出信號的總功率，通過改變高頻載波的電流來改變低頻譜分量，從而使原始的低頻信號變換成為適合在信道中傳輸?shù)囊颜{(diào)信號，同時(shí)，也可以實(shí)現(xiàn)提高信號傳輸系統(tǒng)的抗干擾能力。由上文我們可以得出，信息具有不確定性，載有信息的信號是不可預(yù)測的，并且?guī)в心撤N隨機(jī)性，在信息的傳輸過程中，并非所有的信息都是有用的，而無用的那一部分，則被我們稱為噪聲。噪聲更具有不確定性，并且也是不可預(yù)測的。在移動(dòng)通信時(shí)，電磁波的傳播路徑在不斷變化，同時(shí)，接收信號也是隨機(jī)

12、變化的。這時(shí)，通信中的信號源、噪聲，以及信號傳輸特性都需要使用隨機(jī)過程來描述。 通過這些就可以對隨機(jī)過程進(jìn)行描述。通過對隨機(jī)信號的描述我們可以正確的對信號做出判斷和處理。但是，在對隨機(jī)信號進(jìn)行處理的過程中，我們難以避免的會(huì)遇到噪聲和干擾，噪聲和干擾會(huì)使我們在接收信號時(shí)，無法確定我們所收到的信號是否正確，更加的在增加了接收信號的不確定性，從而使信號的傳輸和接收產(chǎn)生誤差。為了解決這個(gè)問題，在有限的條件下判斷出信號的正確性，就需要通過統(tǒng)計(jì)推斷中的假設(shè)檢驗(yàn)理論來解決這個(gè)問題。 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，經(jīng)過人們的長期實(shí)踐，使得假設(shè)檢驗(yàn)的一般過程比較明確。由于要檢驗(yàn)的假設(shè)涉及總體均值，所以我們首先可以想到的是是否可以

13、借助樣本的均值這一統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行判斷。我們知道是的無偏估計(jì)，的觀察值的大小在一定程度上，反映了的大小，所以，如果假設(shè)為真，則一次實(shí)驗(yàn)的觀察值，滿足不等式幾乎是不會(huì)發(fā)生的?，F(xiàn)在，在一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)了滿足的，則我們可以懷疑原來假設(shè)的的正確性而拒絕，若出現(xiàn)的觀測值滿足，此時(shí)沒有理由拒絕假設(shè)，因此，只能接受.在信號的統(tǒng)計(jì)檢測與估計(jì)中，對于假設(shè)檢驗(yàn)的定義是認(rèn)為一個(gè)被觀測的物理系統(tǒng)可能出于個(gè)狀態(tài)之一。我們就稱“系統(tǒng)處于狀態(tài)(=1,2,.,M)為假設(shè)”。由于 對系統(tǒng)一般只能進(jìn)行有限的檢測，假定觀測數(shù)據(jù)矢量為，并令，為為真時(shí)的觀測數(shù)據(jù)為的條件概率密度；為系統(tǒng)出于時(shí)的先檢概率，顯然有 及 =1 及又稱為轉(zhuǎn)移概率，它

14、一般只決定于干擾與噪聲。因?yàn)槲覀冎荒芨鶕?jù)數(shù)據(jù)觀測量來判斷系統(tǒng)處于何種狀態(tài)，但因?yàn)槭请S機(jī)矢量，N有限，所以要檢測結(jié)果完全正確也是不可能的。要判別在實(shí)際過程中，隨機(jī)信號和有用信號存在的檢測問題歸結(jié)為:判別為在等M個(gè)假設(shè)中的哪一個(gè)假設(shè)為真的問題。經(jīng)過進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判決的經(jīng)驗(yàn)積累，在假設(shè)檢驗(yàn)對信號進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判決時(shí)，一般遵循以下步驟：首先要對信號做出原假設(shè)；其次，選擇出判決所要遵循的最佳準(zhǔn)則；然后，進(jìn)行試驗(yàn)，來獲得進(jìn)行信號統(tǒng)計(jì)所需要的資料；最后，根據(jù)數(shù)據(jù)和給定的最佳觀測來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判決。這樣，我們就可以根據(jù)判決結(jié)果來判斷出信號的有無，從而使信號的接收和傳輸簡便，避免了在接收信號時(shí)遇到的噪聲和干擾，不易出現(xiàn)誤差。三

15、、正態(tài)分布在自動(dòng)控制中的應(yīng)用飲料廠生產(chǎn)一種容量為300mI的罐飲料，自動(dòng)包裝線上大量數(shù)據(jù)表明，每容量是服從標(biāo)準(zhǔn)差為30ml的正態(tài)分布。了使每罐飲料少于300mI的產(chǎn)品不多10，應(yīng)把自動(dòng)包裝線控制的均值調(diào)到什么位置上?一臺(tái)新的包裝機(jī)價(jià)格是萬元，但罐裝的飲料的容量服從標(biāo)準(zhǔn)為7 5ml的正態(tài)分布，同樣為了使每罐料少于300ml的產(chǎn)品不多于10，應(yīng)自動(dòng)包裝線控制的均值調(diào)節(jié)到什么位上?設(shè)X表示原自動(dòng)包裝線上一罐飲料的量，則XN(，302)，若把自動(dòng)包裝的均值控制在300ml的位置上，則少300ml的飲料要占全部飲料的50，這不合要求的。為此應(yīng)把均值控制在比300ml大的位置上，其中必須滿足概率程PX&l

16、t;300=0.1。，從而=3384。即把自包裝機(jī)的均值調(diào)節(jié)到338 4的位置上才能保證少于300ml的飲料不多于10，即平均每罐要多裝384ml。如果投資10萬元新買一臺(tái)包裝機(jī)，新包裝線上每罐飲料的容量為Y，則Y(，7.51)，為了使少于300ml的飲料所占的比例不多于10，其中必須滿足方程PY<300=0.1從而=3096。采用新包裝機(jī)平均每罐可節(jié)約飲料3384309.6=288ml。若以每日生產(chǎn)20000罐飲料計(jì)算，則每日可節(jié)約20000 X 288=576000ml飲料，如果每100ml飲料的成本為1元，則工廠每日可增加利潤5760元。18天就能賺回成本，第19天就可獲凈利潤，因

17、此該飲料廠應(yīng)該購買新的包裝機(jī)。由于自動(dòng)線包裝的飲料的容量服從正分布，正態(tài)分布的方差反映了包裝機(jī)的度，它不僅影晌到產(chǎn)品的質(zhì)量，而且影到工廠的效益。所以在一些產(chǎn)品的質(zhì)量制作者：微軟用戶過程中。更重要的是控制方差。正態(tài)布在自動(dòng)控制、優(yōu)化設(shè)計(jì)、包裝或加工件的精度以及質(zhì)量管理和控制等方面有廣泛的應(yīng)用。正態(tài)分布的均值就是自動(dòng)制的設(shè)定值，方差就是自動(dòng)控制的精度差越小，精度越高，系統(tǒng)的性能越好。四、概率論在通信領(lǐng)域的應(yīng)用通信領(lǐng)域的信號處理在隨機(jī)過程方面有極大的依賴性；由于頻帶帶寬限制，如何通過概率論中的方法合理分配頻段也是今后將要考慮的重點(diǎn)。不難發(fā)現(xiàn)，概率論這門課程在通信領(lǐng)域有的極大的影響力與很強(qiáng)的重要性，因

18、此也有人這樣總結(jié)：概率論功底達(dá)不到本科的通信就沒法學(xué)，隨機(jī)過程的功底達(dá)不到那通信方面的科研工作也沒法做。概率論在通信中主要應(yīng)用在信號學(xué)，即研究系統(tǒng)在干擾輸入信號系統(tǒng)的時(shí)候系統(tǒng)穩(wěn)定性抵抗以及利用干擾進(jìn)行信號傳播。實(shí)際系統(tǒng)的干擾信號很多時(shí)候都可以研究出來其分布，系統(tǒng)在這些干擾的作用下如何保證穩(wěn)定性，控制超調(diào)量，通過編碼的改進(jìn)控制錯(cuò)誤的擴(kuò)散性等問題是很關(guān)鍵性的問題。另外有些通信方式要借助一些特定的人為干擾，例如高斯白噪聲（熱噪聲）。隨機(jī)過程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述。目前，高斯隨機(jī)過程被廣泛的應(yīng)用于構(gòu)建通信仿真系統(tǒng)中信號、噪聲和干擾的模型，在很多物理問題中的隨機(jī)現(xiàn)象都可

19、以用高斯隨機(jī)過程進(jìn)行滿意的近似，如利用中心極限定理，散彈噪聲過程就是用高斯過程近似的。高斯過程最重要的用途就是模擬和分析通信系統(tǒng)中熱噪聲的影響，當(dāng)熱噪聲強(qiáng)度足夠大時(shí)，就可以掩蓋弱信號，并使系統(tǒng)對這些弱信號的識別變得極其困難。正態(tài)隨機(jī)過程，也稱高斯隨機(jī)過程，是通信領(lǐng)域中最重要也是最常見的一種過程。在實(shí)踐中觀察到的大多數(shù)噪聲都是高斯型的，例如，通信系統(tǒng)中的主要噪聲，即熱噪聲，就是一種高斯隨機(jī)過程。如果過程的任意n維（n=1,2,3）分布均服從正態(tài)分布，剛稱它為正態(tài)過程或高斯過程。其n維正態(tài)概率刻度函數(shù)表示如下 式中：，；為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 為行列式中元素bjk的代數(shù)余因子；bjk歸一化

20、的協(xié)方差函數(shù)，即 通常情況下，通信信道中的噪聲均值a=0。因此，在噪聲均值為零時(shí)， 噪聲的平均功率等于噪聲的方差。即有Pn=R(0)=Dn(t)=2。這個(gè)結(jié)論是非常有用的，在通信系統(tǒng)的性能分析中，常常會(huì)通過求自相關(guān)函數(shù)或方差的方法來計(jì)算噪聲的功率。重要性質(zhì)：（1）由式可以看出，高斯過程的n維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。（2）廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)椋舾咚惯^程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則它的n維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，幫它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義

21、平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。（3）如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對所有，有，這時(shí)式1簡化為 這表明，如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。（4） 高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。以上幾個(gè)性質(zhì)在對高斯過程進(jìn)行數(shù)學(xué)處理與計(jì)算時(shí)下分有用。比如，在分析一個(gè)過程通過線性系統(tǒng)的情況時(shí)，若是非高斯過程，輸入過程的統(tǒng)計(jì)特性并不能簡單地推出輸出過程的統(tǒng)計(jì)特性。而對于高斯過程，根據(jù)輸入過程的統(tǒng)計(jì)特性并不能簡單地推出輸出過程的統(tǒng)計(jì)特性。而對于高斯過程，根據(jù)性質(zhì)（4）可知線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出過程也是高斯過程，又由

22、性質(zhì)（1）可知，高斯過程的完全統(tǒng)計(jì)描述只需要它的數(shù)字特征，即均值與相關(guān)函數(shù)，所以剩下的工作就是簡單地求出輸出過程的均值和相關(guān)函數(shù)。如果高斯過程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為 其中，和都分別為高斯隨機(jī)變量的均值和方差。在通信系統(tǒng)的性能分析中，常需要計(jì)算高斯隨機(jī)變量小于或等于某一取值的概率，它等于概率密度的積分。我們把正態(tài)分布的概率密度的積分定義為正態(tài)分布函數(shù)，它可表示為： 這個(gè)積分無法用閉合形式計(jì)算，我們一般把這個(gè)積分式與可以在數(shù)學(xué)手冊上查出函數(shù)值的一些特殊函數(shù)聯(lián)系起來計(jì)算其值。例如，對上式進(jìn)行變量代換，令新積分變量，則有 式中表示誤差函數(shù)，其定義為，它是自變量遞增的函數(shù)，且有，。也可以用互補(bǔ)誤差函數(shù)表示，即 式中：它是自變量