沒有幻燈片標(biāo)題太原理工大學(xué)

1、00,1 ,0 ,0第二節(jié)第二節(jié) 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 一一 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 二二 其他未定式其他未定式洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、: 00.)x(F)x(flim,)x(F)x(f,)x(ax)x(ax型未定式型未定式或或稱為稱為那末極限那末極限大大都趨于零或都趨于無窮都趨于零或都趨于無窮與與兩個函數(shù)兩個函數(shù)時時或或如果當(dāng)如果當(dāng) 00例如例如,tanlim0 xxx)00(,sinlnsinlnlim0bxaxx)( 定義定義定理定理定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必

2、達(dá)法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則. .,該法則仍然成立該法則仍然成立時時當(dāng)當(dāng) x .)x(F)x(flim)x(F)x(flim);()x(F)x(flim;xFxF)x(f),a(a;xFxf,axaxaxax 那末那末或為無窮大或為無窮大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外點點點的某領(lǐng)域內(nèi)點的某領(lǐng)域內(nèi)在在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時時當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)3021證證, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,x),a(U內(nèi)任取一點內(nèi)任取一點在在 0,為端點的區(qū)間上為端點的區(qū)間上與與在以在以xa,)(),(11件件滿足柯西中值定理的條滿足柯

3、西中值定理的條xFxf則有則有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之間之間與與在在ax ,aax 時時當(dāng)當(dāng),)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax ,)()( )()()(無關(guān)無關(guān)及及的極限與的極限與agafaxxgxf輔助函數(shù)輔助函數(shù)所以定義所以定義例例1 1解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00(例例2 2.2tanlim0 xxx求求)00()()2(tanlim0 xxx原式原式12sec2lim20 x

4、x . 2 解解例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4.sinlim30 xxxx 求求解解203cos1limxxx 原式原式xxx6sinlim0 61 )00()00()00(注意：注意： 1) 1) 使用羅必塔法則必須驗證條件，不使用羅必塔法則必須驗證條件，不是是 未未 定式不能用羅必塔法則定式不能用羅必塔法則；2)羅必塔法則可以連續(xù)應(yīng)用，必須步步化羅必塔法則可以連續(xù)應(yīng)用，必須步步化簡（盡可能地化簡）、步步驗證求未定式簡（盡可能地化簡）、步步驗證求未定式的極限的極限. .例例5xxxxxsinsintan

5、lim20 xxxxx 20sintanlim原式原式22031seclimxxx 2203)(tanlimxxx 313lim220 xxx定理定理2)( .,x該法則仍然成立該法則仍然成立時時當(dāng)當(dāng) .)x(F)x(flim)x(F)x(flim);()x(F)x(flim;)x(F)x(F)x(f),a(a;)x(F)x(f,axaxaxax 那末那末或為無窮大或為無窮大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外點點點的某領(lǐng)域內(nèi)點的某領(lǐng)域內(nèi)在在都趨于無窮都趨于無窮及及函數(shù)函數(shù)時時當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)3 0 2 1例例6 6解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim2

6、22 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 注意注意3：若導(dǎo)數(shù)比的極限不存在，不能判斷：若導(dǎo)數(shù)比的極限不存在，不能判斷原函數(shù)極限不存在原函數(shù)極限不存在。例如例如，xxxxxsinsinlim xxxcos1cos1lim1sin1sin1lim xxxxxxxxxxeeee lim)1()1(lim22eeeexxxxx 1)1()1(lim22 eexxx事實上事實上型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定

7、式化為洛必達(dá)法則可解決將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型的類型 .),00()( 型型 0. 1,10 .0100 或或步驟步驟:例例7 7.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原式原式2limxxe 2limxxe . 解解型型 . 20101 .0000 ).1sin1(lim0 xxx 求求)( xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 解解例例8 8型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 .lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 xxxe1lnlim0 2011limxxxe 0e . 1 步驟步驟:例例9 9解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e.)(cotlimln10 xxx