12高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)第六版本

1、習(xí)題1-2 1. 觀察一般項(xiàng)xn如下的數(shù)列xn的變化趨勢, 寫出它們的極限: (1); 解 當(dāng)n®¥時(shí), ®0, . (2); 解 當(dāng)n®¥時(shí), ®0, . (3); 解 當(dāng)n®¥時(shí), ®2, . (4); 解 當(dāng)n®¥時(shí), ®0, . (5) xn=n(-1)n. 解 當(dāng)n®¥時(shí), xn=n(-1)n沒有極限. 2. 設(shè)數(shù)列xn的一般項(xiàng). 問=? 求出N, 使當(dāng)n>N時(shí), xn與其極限之差的絕對值小于正數(shù)e , 當(dāng)e =0.001時(shí), 求出數(shù)N.

2、解 . . "e >0, 要使|x n-0|<e , 只要, 也就是. 取, 則"n>N, 有|xn-0|<e . 當(dāng)e =0.001時(shí), =1000. 3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明: (1); 分析 要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)?quot;e>0, $, 當(dāng)n>N時(shí), 有, 所以. (2); 分析 要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)?quot;e>0, $, 當(dāng)n>N時(shí), 有, 所以. (3); 分析 要使, 只須. 證明 因?yàn)?quot;e>0, $, 當(dāng)"n>N時(shí), 有, 所以. (4). 分析

3、要使|0.99 × × × 9-1|, 只須<e , 即. 證明 因?yàn)?quot;e>0, $, 當(dāng)"n>N時(shí), 有|0.99 × × × 9-1|<e , 所以. 4. , 證明. 并舉例說明: 如果數(shù)列|xn|有極限, 但數(shù)列xn未必有極限. 證明 因?yàn)? 所以"e>0, $NÎN, 當(dāng)n>N時(shí), 有, 從而|un|-|a|£|un-a|<e . 這就證明了. 數(shù)列|xn|有極限, 但數(shù)列xn未必有極限. 例如, 但不存在. 5. 設(shè)數(shù)列xn有界,

4、又, 證明: . 證明 因?yàn)閿?shù)列xn有界, 所以存在M, 使"nÎZ, 有|xn|£M. 又, 所以"e>0, $NÎN, 當(dāng)n>N時(shí), 有. 從而當(dāng)n>N時(shí), 有 , 所以. 6. 對于數(shù)列xn, 若x2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®¥), 證明: xn®a(n®¥). 證明 因?yàn)閤2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®¥), 所以"e>0, $K1, 當(dāng)2k-1>2K1-1時(shí), 有| x2k-1-a|<e ; $K2, 當(dāng)2k>2K2時(shí), 有|x2k-a|<e . 取N=ma