2牛頓運(yùn)動(dòng)定律及牛頓力學(xué)中的守恒定律

1、習(xí)題22-1 質(zhì)量為16kg的質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，受一恒力作用，力的分量為，當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，求：(1) 質(zhì)點(diǎn)的位矢；(2) 質(zhì)點(diǎn)的速度。解：由 ，有：，（1），。于是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的速度：（2）2-2 質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)在xy平面上運(yùn)動(dòng)，受到外力的作用，t=0時(shí)，它的初速度為，求t=1s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度及受到的法向力。解：解：由于是在平面運(yùn)動(dòng)，所以考慮矢量。由：，有：，兩邊積分有：，考慮到，有由于在自然坐標(biāo)系中，而（時(shí)），表明在時(shí)，切向速度方向就是方向，所以，此時(shí)法向的力是方向的，則利用，將代入有，。2-3如圖，物體A、B質(zhì)量相同，B在光滑水平桌面上滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力均不計(jì)，滑輪與其軸之間的摩擦也不

2、計(jì)系統(tǒng)無(wú)初速地釋放，則物體A下落的加速度是多少？ 解：分別對(duì)A，B進(jìn)行受力分析，可知：則可計(jì)算得到： 。2-4如圖，用質(zhì)量為的板車(chē)運(yùn)載一質(zhì)量為的木箱，車(chē)板與箱底間的摩擦系數(shù)為，車(chē)與路面間的滾動(dòng)摩擦可不計(jì)，計(jì)算拉車(chē)的力為多少才能保證木箱不致滑動(dòng)？ 解法一：根據(jù)題意，要使木箱不致于滑動(dòng)，必須使板車(chē)與木箱具有相同的加速度，且上限車(chē)板與箱底間為最大摩擦。即：可得：解法二：設(shè)木箱不致于滑動(dòng)的最大拉力為，列式有：聯(lián)立得：，有：。2-5如圖所示一傾角為的斜面放在水平面上，斜面上放一木塊，兩者間摩擦系數(shù)為。為使木塊相對(duì)斜面靜止，求斜面加速度的范圍。解法一：在斜面具有不同的加速度的時(shí)候，木塊將分別具有向上和向下

3、滑動(dòng)的趨勢(shì)，這就是加速度的兩個(gè)范圍，由題意，可得：（1）當(dāng)木塊具有向下滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見(jiàn)圖a），列式為： 可計(jì)算得到：此時(shí)的（2）當(dāng)木快具有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見(jiàn)圖b），列式為：可計(jì)算得到：此時(shí)的，所以：。解法二：考慮物體m放在與斜面固連的非慣性系中，將物體m受力沿和方向分解，如圖示，同時(shí)考慮非慣性力，隔離物塊和斜面體，列出木塊平衡式：方向：方向：考慮到，有：，解得：。的取值范圍：。2-6質(zhì)量為的子彈以速度水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為，忽略子彈的重力，求：(1) 子彈射入沙土后，速度隨時(shí)間變化的函數(shù)式；(2) 子彈進(jìn)入沙土的最大深度。解：（1）由題意，子彈

4、射入沙土中的阻力表達(dá)式為：又由牛頓第二定律可得：，則分離變量，可得：，兩邊同時(shí)積分，有：，所以：（2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是的時(shí)候子彈的位移，則：考慮到，可推出：，而這個(gè)式子兩邊積分就可以得到位移： 。2-7質(zhì)量為的物體可以在劈形物體的斜面上無(wú)摩擦滑動(dòng)，劈形物質(zhì)量為，放置在光滑的水平面上，斜面傾角為，求釋放后兩物體的加速度及它們的相互作用力。解：利用隔離體方法，設(shè)方形物相對(duì)于劈形物沿斜面下滑的加速度為，劈形物水平向左的加速度為，分析受力有：方形物受力：，（慣性力）；劈形物受力：，如圖；對(duì)于，有沿斜面平行和垂直的方程為： 對(duì)于，有： 將代入有：，代入，有：再將在水平和豎直兩方向上分解，有：

5、 而相互作用力：2-8在光滑的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒，半徑為，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)，摩擦系數(shù)為，在時(shí)，球的速率為，求任一時(shí)刻球的速率和運(yùn)動(dòng)路程。 解：利用自然坐標(biāo)系，法向：，而： 切向：，則： ，得： 2-9如圖，一質(zhì)點(diǎn)在幾個(gè)力作用下沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，其中有一恒力N，求質(zhì)點(diǎn)從A開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较蚪?jīng)3/4圓周到達(dá)B的過(guò)程中，力所做的功。解：本題為恒力做功，考慮到B的坐標(biāo)為（，），再利用：，有：（焦耳）2-10質(zhì)量為m=0.5kg的質(zhì)點(diǎn)，在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x=5t2,y=0.5(SI),從t=2s到t=4s這段時(shí)間內(nèi)，外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的功為多少？解：由功的定義：，題意：，。2-11

6、一質(zhì)量為的物體，在力的作用下，由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求在任一時(shí)刻此力所做功的功率為多少。解：由，要求功率就必須知道力和速度的情況，由題意：所以功率為：。2-12一彈簧并不遵守胡克定律，其彈力與形變的關(guān)系為，其中和單位分別為和。（1）計(jì)算當(dāng)將彈簧由拉伸至過(guò)程中，外力所做之功；（2）此彈力是否為保守力?解：（1）由做功的定義可知：（2），按保守力的定義：該彈力為保守力。2-13如圖，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在半徑為R的半球形容器中，由靜止開(kāi)始自邊緣上的A點(diǎn)滑下，到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)，它對(duì)容器的正壓力數(shù)值為N，求質(zhì)點(diǎn)自A滑到B的過(guò)程中，摩擦力對(duì)其做的功。分析：直接求解顯然有困難，所以使用動(dòng)能定理，那就要知道它的末速度

7、的情況。解：求在B點(diǎn)的速度：，可得：由動(dòng)能定理： 2-14在密度為的液面上方，懸掛一根長(zhǎng)為，密度為的均勻棒，棒的端剛和液面接觸如圖所示，今剪斷細(xì)繩，設(shè)細(xì)棒只在浮力和重力作用下運(yùn)動(dòng)，在的條件下，求細(xì)棒下落過(guò)程中的最大速度，以及細(xì)棒能進(jìn)入液體的最大深度。解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力為零的時(shí)候，所以：，即 ，則：。利用功能原理：，有：可解得：（2）當(dāng)均勻棒完全進(jìn)入液體中時(shí)，浮力不變，到最大深度時(shí)，速度為零，設(shè)： ，由能量守恒有：， 即：。2-15一鏈條放置在光滑桌面上，用手撳住一端，另一端有四分之一長(zhǎng)度由桌邊下垂，設(shè)鏈條長(zhǎng)為，質(zhì)量為，試問(wèn)將鏈條全部拉上桌面要做多少功？解：直接考慮垂下

8、的鏈條的質(zhì)心位置變化，來(lái)求做功，則：2-16在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連一物體、邊上再放一物體，它們質(zhì)量分別為和，彈簧勁度系數(shù)為，原長(zhǎng)為用力推，使彈簧壓縮，然后釋放。求：（1）當(dāng)與開(kāi)始分離時(shí)，它們的位置和速度；（2）分離之后，還能往前移動(dòng)多遠(yuǎn)? 解：（1）當(dāng)與開(kāi)始分離時(shí)，兩者具有相同的速度，但的加速度為零，此時(shí)彈簧和都不對(duì)產(chǎn)生作用力，即為彈簧原長(zhǎng)位置時(shí)刻，根據(jù)能量守恒，可得到：，有：，；（2）分離之后，的動(dòng)能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，所以： ，則： 。2-17已知地球?qū)σ粋€(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)的引力為（為地球的質(zhì)量和半徑)。（1）若選取無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零，計(jì)算地面處的勢(shì)能；（2）

9、若選取地面處勢(shì)能為零，計(jì)算無(wú)窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能比較兩種情況下的勢(shì)能差解：（1）取無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零，地面處的勢(shì)能為： ；（2）若選取地面處勢(shì)能為零，計(jì)算無(wú)窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能為：兩種情況下勢(shì)能差是完全一樣的。2-18如圖所示的圓錐擺，繩長(zhǎng)為l，繩子一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，以勻角速繞鉛直線作圓周運(yùn)動(dòng)，繩子與鉛直線的夾角為。在質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，試求：（1）質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量；（2）質(zhì)點(diǎn)所受張力T的沖量。解：（1）設(shè)周期為，因質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，速度沒(méi)有變化，由，旋轉(zhuǎn)一周的沖量；（2）如圖該質(zhì)點(diǎn)受的外力有重力和拉力，且，張力T旋轉(zhuǎn)一周的沖量：所以拉力產(chǎn)生的沖量為，方向豎直向上。2-19質(zhì)量為的質(zhì)

10、點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為，求：（1）質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的動(dòng)量；（2）從到的時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)受到的沖量。解：（1）根據(jù)動(dòng)量的定義：，而， ；（2）由 ，所以沖量為零。2-20質(zhì)量為M=2.0kg的物體（不考慮體積），用一根長(zhǎng)為l=1.0m的細(xì)繩懸掛在天花板上。今有一質(zhì)量為m=20g的子彈以=600m/s的水平速度射穿物體。剛射出物體時(shí)子彈的速度大小=30m/s，設(shè)穿透時(shí)間極短。求：（1）子彈剛穿出時(shí)繩中張力的大??；（2）子彈在穿透過(guò)程中所受的沖量。解：（1）解：由碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒可得：根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：，有：；（2）根據(jù)沖量定理可得：。2-21一靜止的原子核經(jīng)放射性衰變產(chǎn)生出一個(gè)電子和一個(gè)中微子，巳

11、知電子的動(dòng)量為，中微子的動(dòng)量為，兩動(dòng)量方向彼此垂直。（1）求核反沖動(dòng)量的大小和方向；（2）已知衰變后原子核的質(zhì)量為，求其反沖動(dòng)能。解：由碰撞時(shí)，動(dòng)量守恒，分析示意圖，有： （1） 又， ，所以 ， ；（2）反沖的動(dòng)能為：。2-22有質(zhì)量為的彈丸，從地面斜拋出去，它的落地點(diǎn)為。如果它在飛行到最高點(diǎn)處爆炸成質(zhì)量相等的兩碎片。其中一碎片鉛直自由下落，另一碎片水平拋出，它們同時(shí)落地。問(wèn)第二塊碎片落在何處。解：利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，在爆炸的前后，質(zhì)心始終只受重力的作用，因此，質(zhì)心的軌跡為一拋物線，它的落地點(diǎn)為。，而， ， 。2-23如圖，光滑斜面與水平面的夾角為，輕質(zhì)彈簧上端固定今在彈簧的另一端輕輕地掛上質(zhì)

12、量為的木塊，木塊沿斜面從靜止開(kāi)始向下滑動(dòng)當(dāng)木塊向下滑時(shí)，恰好有一質(zhì)量的子彈，沿水平方向以速度射中木塊并陷在其中。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為。求子彈打入木塊后它們的共同速度。解：由機(jī)械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過(guò)程中子彈和木快沿斜面方向動(dòng)量守恒，可得： (碰撞前木快的速度)再由沿斜面方向動(dòng)量守恒定律，可得： 。2-24以初速度0將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以傾角從坐標(biāo)原點(diǎn)處拋出。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)，計(jì)算任一時(shí)刻：（1）作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩；（2）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量。解：（1）（2）2-25人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)離地心r1=2R，（R為地球半徑），遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心r2=4R。求：（

13、1）衛(wèi)星在近地點(diǎn)及遠(yuǎn)地點(diǎn)處的速率和（用地球半徑R以及地球表面附近的重力加速度g來(lái)表示）；（2）衛(wèi)星運(yùn)行軌道在近地點(diǎn)處的軌跡的曲率半徑。解：（1）利用角動(dòng)量守恒：，得 ，同時(shí)利用衛(wèi)星的機(jī)械能守恒，這里，萬(wàn)有引力勢(shì)能表達(dá)式為：，所以：，考慮到：，有： ，；（2）利用萬(wàn)有引力提供向心力，有：，可得到：。2-26火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飛出，如圖所示。在飛離地球過(guò)程中，火箭發(fā)動(dòng)機(jī)停止工作，不計(jì)空氣阻力，求火箭在距地心4R的A處的速度。解：第二宇宙速度時(shí)，由機(jī)械能守恒：再由動(dòng)量守恒：，代入：。2-27如圖，一輕繩跨過(guò)兩個(gè)質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤(pán)狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為和的重物，繩與滑輪間

14、無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，兩個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為，將由兩個(gè)定滑輪以及質(zhì)量為和的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。解：受力分析如圖，可建立方程： ，聯(lián)立，解得：， 。2-28如圖所示，一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為，質(zhì)量為，平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，設(shè)開(kāi)始時(shí)桿以角速度繞過(guò)中心且垂直與桌面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間桿才會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。解：（1）設(shè)桿的線密度為：，在桿上取一小質(zhì)元，有微元摩擦力：，微元摩擦力矩：，考慮對(duì)稱性，有摩擦力矩：；（2）根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有：，?；蚶茫?，考慮到， 有：。2-29如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為；物體的質(zhì)量為，用一細(xì)

15、繩與勁度系數(shù)的彈簧相連，若繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)。求：（1）當(dāng)繩拉直、彈簧無(wú)伸長(zhǎng)時(shí)使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體的速度達(dá)最大值時(shí)的位置及最大速率。解：（1）設(shè)彈簧的形變量為，下落最大距離為。由機(jī)械能守恒：，有：；（2）當(dāng)物體下落時(shí)，由機(jī)械能守恒：，考慮到，有：，欲求速度最大值，將上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，且令，有：，將代入，有：，當(dāng)m時(shí)物體速度達(dá)最大值，有：，代入數(shù)值可算出： 。2-30如圖所示，長(zhǎng)為l的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為和的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為和輕桿原來(lái)靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為的小球，以水平速度與桿下端小球作對(duì)心碰撞

16、，碰后以的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。解：根據(jù)角動(dòng)量守恒，有：有：思考題2-1質(zhì)量為m的小球，放在光滑的木板和光滑的墻壁之間，并保持平衡，如圖所示設(shè)木板和墻壁之間的夾角為a，當(dāng)a逐漸增大時(shí)，小球?qū)δ景宓膲毫⒃鯓幼兓?？解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，設(shè)墻壁對(duì)小球的壓力為N1，方向水平向右，木板對(duì)小球的壓力為N2，方向垂直于木板，小球受重力為mg，建立平衡方程： ，所以當(dāng)增大，小球?qū)δ景宓膲毫2將減小；小球?qū)Ρ诘膲毫σ矞p小。2-2質(zhì)量分別為m1和m2的兩滑塊A和B通過(guò)一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為，系統(tǒng)在水平拉力F作用下勻速運(yùn)動(dòng)，如圖所示如突然撤消拉力，則剛撤

17、消后瞬間，二者的加速度aA和aB分別為多少 ？解：由于系統(tǒng)在拉力F作用下做勻速運(yùn)動(dòng)，對(duì)A進(jìn)行受力分析，知：，對(duì)B進(jìn)行受力分析，知：突然撤消拉力時(shí)，對(duì)A有：，所以，對(duì)B有：，所以。2-3如圖所示，用一斜向上的力 (與水平成30°角)，將一重為的木塊壓靠在豎直壁面上，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說(shuō)明木塊與壁面間的靜摩擦系數(shù)m的大小為多少？解：假設(shè)墻壁對(duì)木塊的壓力為N，由受力分析圖可知： 整理上式，并且根據(jù)題意，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說(shuō)明： 即：（此式中F無(wú)論為多大，總成立），則可得：。2-4如圖所示，假設(shè)物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑，軌道是

18、光滑的，在從A至C的下滑過(guò)程中，下面哪個(gè)說(shuō)法是正確的？ (A) 它的加速度大小不變，方向永遠(yuǎn)指向圓心。(B) 它的速率均勻增加。(C) 它的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心。(D) 它的合外力大小不變。(E) 軌道支持力的大小不斷增加。解：在下滑過(guò)程中，物體做圓周運(yùn)動(dòng)。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的說(shuō)法不對(duì)；速率的增加由重力沿切線方向的分力提供，由于切線方向始終在改變，所以速率增加不均勻，B的說(shuō)法不對(duì)；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在變化，所以合力的大小方向也在變化。C，D的說(shuō)法都不對(duì)。下滑過(guò)程中的和v都在增大，所以N也在增大，則E的說(shuō)法正確。2-5和兩物體放

19、在水平面上，它們受到的水平恒力一樣，位移也一樣，但一個(gè)接觸面光滑，另一個(gè)粗糙力做的功是否一樣?兩物體動(dòng)能增量是否一樣?答：根據(jù)功的定義：所以當(dāng)它們受到的水平恒力一樣，位移也一樣時(shí)，兩個(gè)功是相等的；但由于光滑的接觸面摩擦力不做功，粗糙的接觸面摩擦力做功，所以兩個(gè)物體的總功不同，動(dòng)能的增量就不相同。2-6按質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，下列式子：是否成立?這三式是否是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的三個(gè)分量式?試作分析。答：不成立，因?yàn)楣κ菢?biāo)量，不分方向，沒(méi)有必要這么寫(xiě)。2-7在勁度系數(shù)為的彈簧下，如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長(zhǎng)多少?如瞬間掛上讓其自由下落彈簧又伸長(zhǎng)多少?答：如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長(zhǎng)為，所以；

20、如瞬間掛上讓其自由下落，彈簧伸長(zhǎng)應(yīng)滿足能量守恒：，所以。2-8一粒子初時(shí)沿軸負(fù)向以速度運(yùn)動(dòng)，后被位于坐標(biāo)原點(diǎn)的金核所散射，使其沿與軸成的方向運(yùn)動(dòng)(速度大小不變)試用矢量在圖上表出粒子所受到的沖量的大小和方向。解：由：，考慮到，見(jiàn)右圖示。2-9試用所學(xué)的力學(xué)原理解釋逆風(fēng)行舟的現(xiàn)象。解：可用動(dòng)量定理來(lái)解釋。設(shè)風(fēng)沿與航向成角的方向從右前方吹來(lái)，以風(fēng)中一小塊沿帆面吹過(guò)來(lái)的空氣為研究對(duì)象，表示這塊空氣的質(zhì)量，和分別表示它吹向帆面和離開(kāi)帆面時(shí)的速度，由于帆面比較光滑，風(fēng)速大小基本不變，但是由于的速度方向改變了，所以一定是受到帆的作用力，根據(jù)牛頓第三定律，必然對(duì)帆有一個(gè)反作用力，此力的方向偏向船前進(jìn)的方向，將分解為兩個(gè)分量，垂直船體的