2牛頓運動定律及牛頓力學中的守恒定律

1、習題22-1 質(zhì)量為16kg的質(zhì)點在平面內(nèi)運動，受一恒力作用，力的分量為，當時，。當時，求：(1) 質(zhì)點的位矢；(2) 質(zhì)點的速度。解：由 ，有：，（1），。于是質(zhì)點在時的速度：（2）2-2 質(zhì)量為2kg的質(zhì)點在xy平面上運動，受到外力的作用，t=0時，它的初速度為，求t=1s時質(zhì)點的速度及受到的法向力。解：解：由于是在平面運動，所以考慮矢量。由：，有：，兩邊積分有：，考慮到，有由于在自然坐標系中，而（時），表明在時，切向速度方向就是方向，所以，此時法向的力是方向的，則利用，將代入有，。2-3如圖，物體A、B質(zhì)量相同，B在光滑水平桌面上滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力均不計，滑輪與其軸之間的摩擦也不

2、計系統(tǒng)無初速地釋放，則物體A下落的加速度是多少？ 解：分別對A，B進行受力分析，可知：則可計算得到： 。2-4如圖，用質(zhì)量為的板車運載一質(zhì)量為的木箱，車板與箱底間的摩擦系數(shù)為，車與路面間的滾動摩擦可不計，計算拉車的力為多少才能保證木箱不致滑動？ 解法一：根據(jù)題意，要使木箱不致于滑動，必須使板車與木箱具有相同的加速度，且上限車板與箱底間為最大摩擦。即：可得：解法二：設木箱不致于滑動的最大拉力為，列式有：聯(lián)立得：，有：。2-5如圖所示一傾角為的斜面放在水平面上，斜面上放一木塊，兩者間摩擦系數(shù)為。為使木塊相對斜面靜止，求斜面加速度的范圍。解法一：在斜面具有不同的加速度的時候，木塊將分別具有向上和向下

3、滑動的趨勢，這就是加速度的兩個范圍，由題意，可得：（1）當木塊具有向下滑動的趨勢時（見圖a），列式為： 可計算得到：此時的（2）當木快具有向上滑動的趨勢時（見圖b），列式為：可計算得到：此時的，所以：。解法二：考慮物體m放在與斜面固連的非慣性系中，將物體m受力沿和方向分解，如圖示，同時考慮非慣性力，隔離物塊和斜面體，列出木塊平衡式：方向：方向：考慮到，有：，解得：。的取值范圍：。2-6質(zhì)量為的子彈以速度水平射入沙土中，設子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為，忽略子彈的重力，求：(1) 子彈射入沙土后，速度隨時間變化的函數(shù)式；(2) 子彈進入沙土的最大深度。解：（1）由題意，子彈

4、射入沙土中的阻力表達式為：又由牛頓第二定律可得：，則分離變量，可得：，兩邊同時積分，有：，所以：（2）子彈進入沙土的最大深度也就是的時候子彈的位移，則：考慮到，可推出：，而這個式子兩邊積分就可以得到位移： 。2-7質(zhì)量為的物體可以在劈形物體的斜面上無摩擦滑動，劈形物質(zhì)量為，放置在光滑的水平面上，斜面傾角為，求釋放后兩物體的加速度及它們的相互作用力。解：利用隔離體方法，設方形物相對于劈形物沿斜面下滑的加速度為，劈形物水平向左的加速度為，分析受力有：方形物受力：，（慣性力）；劈形物受力：，如圖；對于，有沿斜面平行和垂直的方程為： 對于，有： 將代入有：，代入，有：再將在水平和豎直兩方向上分解，有：

5、 而相互作用力：2-8在光滑的水平面上設置一豎直的圓筒，半徑為，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運動，摩擦系數(shù)為，在時，球的速率為，求任一時刻球的速率和運動路程。 解：利用自然坐標系，法向：，而： 切向：，則： ，得： 2-9如圖，一質(zhì)點在幾個力作用下沿半徑為的圓周運動，其中有一恒力N，求質(zhì)點從A開始沿逆時針方向經(jīng)3/4圓周到達B的過程中，力所做的功。解：本題為恒力做功，考慮到B的坐標為（，），再利用：，有：（焦耳）2-10質(zhì)量為m=0.5kg的質(zhì)點，在xOy坐標平面內(nèi)運動，其運動方程為x=5t2,y=0.5(SI),從t=2s到t=4s這段時間內(nèi)，外力對質(zhì)點的功為多少？解：由功的定義：，題意：，。2-11

6、一質(zhì)量為的物體，在力的作用下，由靜止開始運動，求在任一時刻此力所做功的功率為多少。解：由，要求功率就必須知道力和速度的情況，由題意：所以功率為：。2-12一彈簧并不遵守胡克定律，其彈力與形變的關系為，其中和單位分別為和。（1）計算當將彈簧由拉伸至過程中，外力所做之功；（2）此彈力是否為保守力?解：（1）由做功的定義可知：（2），按保守力的定義：該彈力為保守力。2-13如圖，一質(zhì)量為m的質(zhì)點，在半徑為R的半球形容器中，由靜止開始自邊緣上的A點滑下，到達最低點B時，它對容器的正壓力數(shù)值為N，求質(zhì)點自A滑到B的過程中，摩擦力對其做的功。分析：直接求解顯然有困難，所以使用動能定理，那就要知道它的末速度

7、的情況。解：求在B點的速度：，可得：由動能定理： 2-14在密度為的液面上方，懸掛一根長為，密度為的均勻棒，棒的端剛和液面接觸如圖所示，今剪斷細繩，設細棒只在浮力和重力作用下運動，在的條件下，求細棒下落過程中的最大速度，以及細棒能進入液體的最大深度。解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力為零的時候，所以：，即 ，則：。利用功能原理：，有：可解得：（2）當均勻棒完全進入液體中時，浮力不變，到最大深度時，速度為零，設： ，由能量守恒有：， 即：。2-15一鏈條放置在光滑桌面上，用手撳住一端，另一端有四分之一長度由桌邊下垂，設鏈條長為，質(zhì)量為，試問將鏈條全部拉上桌面要做多少功？解：直接考慮垂下

8、的鏈條的質(zhì)心位置變化，來求做功，則：2-16在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連一物體、邊上再放一物體，它們質(zhì)量分別為和，彈簧勁度系數(shù)為，原長為用力推，使彈簧壓縮，然后釋放。求：（1）當與開始分離時，它們的位置和速度；（2）分離之后，還能往前移動多遠? 解：（1）當與開始分離時，兩者具有相同的速度，但的加速度為零，此時彈簧和都不對產(chǎn)生作用力，即為彈簧原長位置時刻，根據(jù)能量守恒，可得到：，有：，；（2）分離之后，的動能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢能，所以： ，則： 。2-17已知地球?qū)σ粋€質(zhì)量為的質(zhì)點的引力為（為地球的質(zhì)量和半徑)。（1）若選取無窮遠處勢能為零，計算地面處的勢能；（2）

9、若選取地面處勢能為零，計算無窮遠處的勢能比較兩種情況下的勢能差解：（1）取無窮遠處勢能為零，地面處的勢能為： ；（2）若選取地面處勢能為零，計算無窮遠處的勢能為：兩種情況下勢能差是完全一樣的。2-18如圖所示的圓錐擺，繩長為l，繩子一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的質(zhì)點，以勻角速繞鉛直線作圓周運動，繩子與鉛直線的夾角為。在質(zhì)點旋轉(zhuǎn)一周的過程中，試求：（1）質(zhì)點所受合外力的沖量；（2）質(zhì)點所受張力T的沖量。解：（1）設周期為，因質(zhì)點轉(zhuǎn)動一周的過程中，速度沒有變化，由，旋轉(zhuǎn)一周的沖量；（2）如圖該質(zhì)點受的外力有重力和拉力，且，張力T旋轉(zhuǎn)一周的沖量：所以拉力產(chǎn)生的沖量為，方向豎直向上。2-19質(zhì)量為的質(zhì)

10、點在平面內(nèi)運動，運動學方程為，求：（1）質(zhì)點在任一時刻的動量；（2）從到的時間內(nèi)質(zhì)點受到的沖量。解：（1）根據(jù)動量的定義：，而， ；（2）由 ，所以沖量為零。2-20質(zhì)量為M=2.0kg的物體（不考慮體積），用一根長為l=1.0m的細繩懸掛在天花板上。今有一質(zhì)量為m=20g的子彈以=600m/s的水平速度射穿物體。剛射出物體時子彈的速度大小=30m/s，設穿透時間極短。求：（1）子彈剛穿出時繩中張力的大?。唬?）子彈在穿透過程中所受的沖量。解：（1）解：由碰撞過程動量守恒可得：根據(jù)圓周運動的規(guī)律：，有：；（2）根據(jù)沖量定理可得：。2-21一靜止的原子核經(jīng)放射性衰變產(chǎn)生出一個電子和一個中微子，巳

11、知電子的動量為，中微子的動量為，兩動量方向彼此垂直。（1）求核反沖動量的大小和方向；（2）已知衰變后原子核的質(zhì)量為，求其反沖動能。解：由碰撞時，動量守恒，分析示意圖，有： （1） 又， ，所以 ， ；（2）反沖的動能為：。2-22有質(zhì)量為的彈丸，從地面斜拋出去，它的落地點為。如果它在飛行到最高點處爆炸成質(zhì)量相等的兩碎片。其中一碎片鉛直自由下落，另一碎片水平拋出，它們同時落地。問第二塊碎片落在何處。解：利用質(zhì)心運動定理，在爆炸的前后，質(zhì)心始終只受重力的作用，因此，質(zhì)心的軌跡為一拋物線，它的落地點為。，而， ， 。2-23如圖，光滑斜面與水平面的夾角為，輕質(zhì)彈簧上端固定今在彈簧的另一端輕輕地掛上質(zhì)

12、量為的木塊，木塊沿斜面從靜止開始向下滑動當木塊向下滑時，恰好有一質(zhì)量的子彈，沿水平方向以速度射中木塊并陷在其中。設彈簧的勁度系數(shù)為。求子彈打入木塊后它們的共同速度。解：由機械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過程中子彈和木快沿斜面方向動量守恒，可得： (碰撞前木快的速度)再由沿斜面方向動量守恒定律，可得： 。2-24以初速度0將質(zhì)量為m的質(zhì)點以傾角從坐標原點處拋出。設質(zhì)點在Oxy平面內(nèi)運動，不計空氣阻力，以坐標原點為參考點，計算任一時刻：（1）作用在質(zhì)點上的力矩；（2）質(zhì)點的角動量。解：（1）（2）2-25人造地球衛(wèi)星近地點離地心r1=2R，（R為地球半徑），遠地點離地心r2=4R。求：（

13、1）衛(wèi)星在近地點及遠地點處的速率和（用地球半徑R以及地球表面附近的重力加速度g來表示）；（2）衛(wèi)星運行軌道在近地點處的軌跡的曲率半徑。解：（1）利用角動量守恒：，得 ，同時利用衛(wèi)星的機械能守恒，這里，萬有引力勢能表達式為：，所以：，考慮到：，有： ，；（2）利用萬有引力提供向心力，有：，可得到：。2-26火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飛出，如圖所示。在飛離地球過程中，火箭發(fā)動機停止工作，不計空氣阻力，求火箭在距地心4R的A處的速度。解：第二宇宙速度時，由機械能守恒：再由動量守恒：，代入：。2-27如圖，一輕繩跨過兩個質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為和的重物，繩與滑輪間

14、無相對滑動，滑輪軸光滑，兩個定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量均為，將由兩個定滑輪以及質(zhì)量為和的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。解：受力分析如圖，可建立方程： ，聯(lián)立，解得：， 。2-28如圖所示，一均勻細桿長為，質(zhì)量為，平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，設開始時桿以角速度繞過中心且垂直與桌面的軸轉(zhuǎn)動，試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多長時間桿才會停止轉(zhuǎn)動。解：（1）設桿的線密度為：，在桿上取一小質(zhì)元，有微元摩擦力：，微元摩擦力矩：，考慮對稱性，有摩擦力矩：；（2）根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，有：，。或利用：，考慮到， 有：。2-29如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為，半徑為；物體的質(zhì)量為，用一細

15、繩與勁度系數(shù)的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計。求：（1）當繩拉直、彈簧無伸長時使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體的速度達最大值時的位置及最大速率。解：（1）設彈簧的形變量為，下落最大距離為。由機械能守恒：，有：；（2）當物體下落時，由機械能守恒：，考慮到，有：，欲求速度最大值，將上式兩邊對求導，且令，有：，將代入，有：，當m時物體速度達最大值，有：，代入數(shù)值可算出： 。2-30如圖所示，長為l的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為和的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為和輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為的小球，以水平速度與桿下端小球作對心碰撞

16、，碰后以的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。解：根據(jù)角動量守恒，有：有：思考題2-1質(zhì)量為m的小球，放在光滑的木板和光滑的墻壁之間，并保持平衡，如圖所示設木板和墻壁之間的夾角為a，當a逐漸增大時，小球?qū)δ景宓膲毫⒃鯓幼兓?？解：以小球為研究對象，設墻壁對小球的壓力為N1，方向水平向右，木板對小球的壓力為N2，方向垂直于木板，小球受重力為mg，建立平衡方程： ，所以當增大，小球?qū)δ景宓膲毫2將減?。恍∏?qū)Ρ诘膲毫σ矞p小。2-2質(zhì)量分別為m1和m2的兩滑塊A和B通過一輕彈簧水平連結后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為，系統(tǒng)在水平拉力F作用下勻速運動，如圖所示如突然撤消拉力，則剛撤

17、消后瞬間，二者的加速度aA和aB分別為多少 ？解：由于系統(tǒng)在拉力F作用下做勻速運動，對A進行受力分析，知：，對B進行受力分析，知：突然撤消拉力時，對A有：，所以，對B有：，所以。2-3如圖所示，用一斜向上的力 (與水平成30°角)，將一重為的木塊壓靠在豎直壁面上，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動，則說明木塊與壁面間的靜摩擦系數(shù)m的大小為多少？解：假設墻壁對木塊的壓力為N，由受力分析圖可知： 整理上式，并且根據(jù)題意，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動，則說明： 即：（此式中F無論為多大，總成立），則可得：。2-4如圖所示，假設物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑，軌道是

18、光滑的，在從A至C的下滑過程中，下面哪個說法是正確的？ (A) 它的加速度大小不變，方向永遠指向圓心。(B) 它的速率均勻增加。(C) 它的合外力大小變化，方向永遠指向圓心。(D) 它的合外力大小不變。(E) 軌道支持力的大小不斷增加。解：在下滑過程中，物體做圓周運動。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的說法不對；速率的增加由重力沿切線方向的分力提供，由于切線方向始終在改變，所以速率增加不均勻，B的說法不對；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在變化，所以合力的大小方向也在變化。C，D的說法都不對。下滑過程中的和v都在增大，所以N也在增大，則E的說法正確。2-5和兩物體放

19、在水平面上，它們受到的水平恒力一樣，位移也一樣，但一個接觸面光滑，另一個粗糙力做的功是否一樣?兩物體動能增量是否一樣?答：根據(jù)功的定義：所以當它們受到的水平恒力一樣，位移也一樣時，兩個功是相等的；但由于光滑的接觸面摩擦力不做功，粗糙的接觸面摩擦力做功，所以兩個物體的總功不同，動能的增量就不相同。2-6按質(zhì)點動能定理，下列式子：是否成立?這三式是否是質(zhì)點動能定理的三個分量式?試作分析。答：不成立，因為功是標量，不分方向，沒有必要這么寫。2-7在勁度系數(shù)為的彈簧下，如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長多少?如瞬間掛上讓其自由下落彈簧又伸長多少?答：如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長為，所以；

20、如瞬間掛上讓其自由下落，彈簧伸長應滿足能量守恒：，所以。2-8一粒子初時沿軸負向以速度運動，后被位于坐標原點的金核所散射，使其沿與軸成的方向運動(速度大小不變)試用矢量在圖上表出粒子所受到的沖量的大小和方向。解：由：，考慮到，見右圖示。2-9試用所學的力學原理解釋逆風行舟的現(xiàn)象。解：可用動量定理來解釋。設風沿與航向成角的方向從右前方吹來，以風中一小塊沿帆面吹過來的空氣為研究對象，表示這塊空氣的質(zhì)量，和分別表示它吹向帆面和離開帆面時的速度，由于帆面比較光滑，風速大小基本不變，但是由于的速度方向改變了，所以一定是受到帆的作用力，根據(jù)牛頓第三定律，必然對帆有一個反作用力，此力的方向偏向船前進的方向，將分解為兩個分量，垂直船體的