7第七講 泰勒公式其應(yīng)用

1、泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教案 數(shù)值分析 教研室 課程名稱高等數(shù)學(xué)研究授課對(duì)象授課題目第七講泰勒公式其應(yīng)用課時(shí)數(shù)2教學(xué)目的通過(guò)教學(xué)使學(xué)生掌握帶有皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式,帶有Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式,函數(shù)的Maclaurin公式, 會(huì)用一階泰勒公式解決問(wèn)題。重點(diǎn)難點(diǎn)1泰勒公式的內(nèi)容2.利用Taylor公式求極限 3利用Taylor公式求證明題教學(xué)提綱第七講泰勒公式其應(yīng)用一、一階泰勒公式1.帶有皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式2.帶有Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式3函數(shù)的Maclaurin公式二、應(yīng)用(1) 把函數(shù)展開(kāi)成n階Maclaurin公式(2)求的n階導(dǎo)數(shù)(3)利用Taylor公

2、式求極限 (4)利用Taylor公式求證明題教學(xué)過(guò)程與內(nèi)容教學(xué)后記第七講泰勒公式其應(yīng)用一、一階泰勒公式.帶有Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式定理1（泰勒） 若函數(shù)f在(a,b)上存在直到n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù),在(a,b)內(nèi)存在n1階導(dǎo)函數(shù),則對(duì)任意給定的,至少存在一點(diǎn)使得： 在之間。2.帶有皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式定理2若函數(shù)f在(a,b)上存在直到n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù),則對(duì)任意給定的 （1）稱為泰勒公式的余項(xiàng).3、 函數(shù)的Maclaurin公式二、應(yīng)用1.把函數(shù)展開(kāi)成n階Maclaurin公式例： 把函數(shù)展開(kāi)成含項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .【解】 , .例： 把函數(shù)展開(kāi)成含

3、項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .【解】 , .2.求的n階導(dǎo)數(shù)例： ，求.【解】又所以，3.利用Taylor公式求極限 例4 求極限(1) (2).【分析】用泰勒公式求極限把函數(shù)展開(kāi)到多少次方呢？對(duì)于分子和分母有一個(gè)能確定次數(shù)的，把另一個(gè)展開(kāi)到相同次數(shù)即可，例如：但是對(duì)于分子和分母都不能確定次數(shù)的，要以具體情況而定。【解】(1) 【點(diǎn)評(píng)】本題先確定分母展開(kāi)的次數(shù)，至少展開(kāi)到二階，確定了分母的次數(shù)后，以次確定分子展開(kāi)的次數(shù)。(2) .例：試確定的值，使得，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無(wú)窮小.【分析】題設(shè)方程右邊為關(guān)于的多項(xiàng)式，要聯(lián)想到的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，比較的同次項(xiàng)系數(shù)，可得的值.【解】將的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式代入題設(shè)等式得 整理得 比較兩邊同次冪系數(shù)得 ，解得 .4.利用Taylor公式求證明題例6 設(shè)存在，證明 【證明】 ,所以： 例7 設(shè)函數(shù)在0，1上有三階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且證明：。【證明】 ，在上連續(xù)，設(shè)在上的最大值和最小值分別為則所以使【評(píng)論】(1)本題把泰勒公式與介值定理結(jié)合使用，有一定難度。(2) 泰勒公式的展開(kāi)點(diǎn)一般選在特別的中間點(diǎn)或端點(diǎn)。例8：在，上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，是（,）內(nèi)的任意一點(diǎn)證明：【證】 (1) (2)(2)-(1)得：，因?yàn)?例9 設(shè)在上二階可導(dǎo),且,則存在,使得.【證明】