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文檔簡介

1、定義:最小二乘法(又稱最小平方法)是一種數(shù)學優(yōu)化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù),并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合。其他一些優(yōu)化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達。最小二乘法原理:    在我們研究兩個變量(x,y)之間的相互關系時,通??梢缘玫揭幌盗谐蓪Φ臄?shù)據(jù)(x1,y1.x2,y2. xm,ym);將這些數(shù)據(jù)描繪在x -y直角坐標系中,若發(fā)現(xiàn)這些點在一條直線附近,可以令這條直線方程如(式1-1)。Yj= a0 + a1 X (式

2、1-1)其中:a0、a1 是任意實數(shù)1.多項式曲線擬合:polyfit  1.1常見擬合曲線:       直線:    y=a0X+a1       多項式:               一般次數(shù)不易過高2 3   &

3、#160;       雙曲線:  y=a0/x+a1       指數(shù)曲線: y=a*eb    1.2 matlab中函數(shù)            P=polyfit(x,y,n)     P S mu=polyfit

4、(x,y,n)       polyval(P,t):返回n次多項式在t處的值  注:其中x y已知數(shù)據(jù)點向量分別表示橫縱坐標,n為擬合多項     式的次數(shù),結果返回:P-返回n次擬合多項式系數(shù)從高到低     依次存放于向量P中,S-包含三個值其中normr是殘差平方     和, mu-包含兩個值 mean(x)均值,std(x)標準差。1.

5、3舉例 1. 已知觀測數(shù)據(jù)為: X:0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   1 Y:-0.447  1.987  3.28 

6、;  6.16     7.08   7.34   7.66   9.56   9.48    9.3  11.2 用三次多項式曲線擬合這些數(shù)據(jù)點:x=0:0.1:1    y=-  0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9

7、.3,11.2   plot(x,y,'k.','markersize',25) hold on   axis(0 1.3 -2 16)   p3=polyfit(x,y,3) t=0:0.1:1.2: S3=polyval(P3,t); plot(t,S3,'r');         2.擬合為指數(shù)曲線  &

8、#160;     注:在對已測數(shù)據(jù)不太明確滿足什么關系時,需要假設為多種曲  線擬合然后比較各自的residal(均方誤差)越小者為優(yōu),  多項式擬合不是擬合次數(shù)越高越好,而是殘差越小越好。  2.非線性曲線擬合:lsqcurvefitX=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)X,resnorm=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)注:其中xdata ydata為給定數(shù)據(jù)橫縱坐標,按照函數(shù)文件fun   

9、 給定的函數(shù)以X0為初值做最小乘二擬合,返回函數(shù)fun中的    系數(shù)向量X和殘差的平方和resnorm。2.1例如 已知觀測數(shù)據(jù):   求三個參數(shù)a b c的值是的曲線f(x)=a*ex+b*X2+c*X已知數(shù)據(jù)點在最小二乘意義上充分接近 首先編寫擬合函數(shù)文件funfunction f=fun(X,xdata)f=X(1)*exp(xdata)+X(2)*xdata.2+X(3)*xdata.3保存文件fun.m 編寫函數(shù)調(diào)用擬合函數(shù)文件xdata=0:0.1:1;ydata=3.1

10、 3.27 3.81 4.5 5.18 6 .13.17;X0=0 0 0;X,resnorm=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)運行顯示:X=   3.0022  4.0304  0.9404resnorm=   0.0912 綜上:最小乘二意義上的最佳擬合函數(shù)為  f(x)=3.0022x+4.0304x2+0.9404x3殘差平方和:0.0912        注:在針對只有一些已測數(shù)據(jù)而不太清楚最小乘二擬合函數(shù)時,   采取先打印

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