電磁場與電磁波(第三版)課后答案__謝處方

1、第二章習題解答 2.1 一個平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為，式中陰極板位于，陽極板位于，極間電壓為。如果、橫截面，求：（1）和區(qū)域內(nèi)的總電荷量；（2）和區(qū)域內(nèi)的總電荷量。 解 （1） （2） 2.2 一個體密度為的質(zhì)子束，通過的電壓加速后形成等速的質(zhì)子束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為，束外沒有電荷分布，試求電流密度和電流。解 質(zhì)子的質(zhì)量、電量。由得 故 2.3 一個半徑為的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為的電荷，球體以勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。解 以球心為坐標原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為軸。設(shè)球內(nèi)任一點的位置矢量為，且與軸的夾角為，則點的線速度為球內(nèi)的電荷體密度為故 2.4 一個半徑為

2、的導(dǎo)體球帶總電荷量為，同樣以勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球表面的面電流密度。解 以球心為坐標原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為軸。設(shè)球面上任一點的位置矢量為，且與軸的夾角為，則點的線速度為球面的上電荷面密度為故 2.5 兩點電荷位于軸上處，位于軸上處，求處的電場強度。解 電荷在處產(chǎn)生的電場為電荷在處產(chǎn)生的電場為故處的電場為2.6 一個半圓環(huán)上均勻分布線電荷，求垂直于圓平面的軸線上處的電場強度，設(shè)半圓環(huán)的半徑也為，如題2.6 圖所示。解 半圓環(huán)上的電荷元在軸線上處的電場強度為 題 2.6圖在半圓環(huán)上對上式積分，得到軸線上處的電場強度為2.7 三根長度均為，均勻帶電荷密度分別為、和地線電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè)，計

3、算三角形中心處的電場強度。解 建立題2.7圖所示的坐標系。三角形中心到各邊的距離為題2.7圖則故等邊三角形中心處的電場強度為2.8 點電荷位于處，另點電荷位于處，空間有沒有電場強度的點？解 電荷在處產(chǎn)生的電場為 電荷在處產(chǎn)生的電場為處的電場則為。令，則有由上式兩端對應(yīng)分量相等，可得到 當或時，將式或式代入式，得。所以，當或時無解； 當且時，由式，有解得但不合題意，故僅在處電場強度。29 一個很薄的無限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為。證明：垂直于平面的軸上處的電場強度中，有一半是有平面上半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。解 半徑為、電荷線密度為的帶電細圓環(huán)在軸上處的電場強度為 題2.10圖故整個導(dǎo)電帶電面在

4、軸上處的電場強度為而半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在軸上處的電場強度為2.10 一個半徑為的導(dǎo)體球帶電荷量為，當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應(yīng)強度。解 球面上的電荷面密度為當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)時，球面上位置矢量點處的電流面密度為將球面劃分為無數(shù)個寬度為的細圓環(huán)，則球面上任一個寬度為細圓環(huán)的電流為 細圓環(huán)的半徑為，圓環(huán)平面到球心的距離，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場公式，則該細圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為 故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為 2.11 兩個半徑為、同軸的相同線圈，各有匝，相互隔開距離為，如題2.11圖所示。電流以相同的方向流過這兩個線圈。（1

5、）求這兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度；（2）證明：在中點處等于零；（3）求出與之間的關(guān)系，使中點處也等于零。解 （1）由細圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強度 得到兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度為 （2）兩線圈的電流在其軸線上處的磁感應(yīng)強度為 題2.11圖所以 故在中點處，有 （3） 令 ，有 即 故解得 題 2.12圖2.12 一條扁平的直導(dǎo)體帶，寬為，中心線與軸重合，通過的電流為。證明在第一象限內(nèi)的磁感應(yīng)強度為 ， 式中、和如題2.12圖所示。解 將導(dǎo)體帶劃分為無數(shù)個寬度為的細條帶，每一細條帶的電流。由安培環(huán)路定理，可得位于處的細條帶的電流在點處的磁場為則 所以 2.13 如題2.13圖所示，有一個

6、電矩為的電偶極子，位于坐標原點上，另一個電矩為的電偶極子，位于矢徑為的某一點上。試證明兩偶極子之間相互作用力為 題 2.13圖式中，是兩個平面和間的夾角。并問兩個偶極子在怎樣的相對取向下這個力值最大？解 電偶極子在矢徑為的點上產(chǎn)生的電場為所以與之間的相互作用能為因為，則 又因為是兩個平面和間的夾角，所以有 另一方面，利用矢量恒等式可得因此 于是得到 ()故兩偶極子之間的相互作用力為 ()() 由上式可見，當時，即兩個偶極子共線時，相互作用力值最大。2.14 兩平行無限長直線電流和，相距為，求每根導(dǎo)線單位長度受到的安培力。解 無限長直線電流產(chǎn)生的磁場為 直線電流每單位長度受到的安培力為 式中是由

7、電流指向電流的單位矢量。同理可得，直線電流每單位長度受到的安培力為 2.15 一根通電流的無限長直導(dǎo)線和一個通電流的圓環(huán)在同一平面上，圓心與導(dǎo)線的距離為，如題2.15圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為題2.15圖 這里是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點所張的角。解 無限長直線電流產(chǎn)生的磁場為圓環(huán)上的電流元受到的安培力為由題2.15圖可知 所以 2.16 證明在不均勻的電場中，某一電偶極子繞坐標原點所受到的力矩為。解 如題2.16圖所示，設(shè)，則電偶極子繞坐標原點所受到的力矩為題2.16 圖當時，有故得到 第三章習題解答3.1 真空中半徑為的一個球面，球的兩極點處分別設(shè)置點電荷和，試計算球

8、赤道平面上電通密度的通量(如題3.1圖所示)。赤道平面題3.1 圖解 由點電荷和共同產(chǎn)生的電通密度為則球赤道平面上電通密度的通量3.2 1911年盧瑟福在實驗中使用的是半徑為的球體原子模型，其球體內(nèi)均勻分布有總電荷量為的電子云，在球心有一正電荷（是原子序數(shù)，是質(zhì)子電荷量），通過實驗得到球體內(nèi)的電通量密度表達式為，試證明之。解 位于球心的正電荷球體內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度為 原子內(nèi)電子云的電荷體密度為 題3. 3圖電子云在原子內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度則為 故原子內(nèi)總的電通量密度為 3.3 電荷均勻分布于兩圓柱面間的區(qū)域中，體密度為, 兩圓柱面半徑分別為和，軸線相距為，如題3.3圖所示。求空間各部分的電場。解

9、 由于兩圓柱面間的電荷不是軸對稱分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半徑為的小圓柱面內(nèi)看作同時具有體密度分別為的兩種電荷分布，這樣在半徑為的整個圓柱體內(nèi)具有體密度為的均勻電荷分布，而在半徑為的整個圓柱體內(nèi)則具有體密度為的均勻電荷分布，如題3.3圖所示。空間任一點的電場是這兩種電荷所產(chǎn)生的電場的疊加。在區(qū)域中，由高斯定律，可求得大、小圓柱中的正、負電荷在點產(chǎn)生的電場分別為 題3. 3圖點處總的電場為 在且區(qū)域中，同理可求得大、小圓柱中的正、負電荷在點產(chǎn)生的電場分別為 點處總的電場為 在的空腔區(qū)域中，大、小圓柱中的正、負電荷在點產(chǎn)生的電場分別為 點處總的電場為 3.4 半徑為的球中充滿密度的體電荷

10、，已知電位移分布為 其中為常數(shù)，試求電荷密度。解：由，有 故在區(qū)域 在區(qū)域 3.5 一個半徑為薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為為的體電荷，球殼上又另充有電荷量。已知球內(nèi)部的電場為，設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計算：（1） 球內(nèi)的電荷分布；（2）球殼外表面的電荷面密度。解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為（2）球體內(nèi)的總電量為 球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應(yīng)電荷，而且在球殼外表面上還要感應(yīng)電荷，所以球殼外表面上的總電荷為2，故球殼外表面上的電荷面密度為 3.6 兩個無限長的同軸圓柱半徑分別為和，圓柱表面分別帶有密度為和的面電荷。（1）計算各處的電位移；（2）欲使區(qū)

11、域內(nèi)，則和應(yīng)具有什么關(guān)系？解 （1）由高斯定理，當時，有 當時，有 ，則 當時，有 ，則 （2）令 ，則得到 3.7 計算在電場強度的電場中把帶電量為的點電荷從點移到點時電場所做的功：（1）沿曲線；（2）沿連接該兩點的直線。解 （1）（2）連接點到點直線方程為 即 故3.8 長度為的細導(dǎo)線帶有均勻電荷，其電荷線密度為。（1）計算線電荷平分面上任意點的電位；（2）利用直接積分法計算線電荷平分面上任意點的電場，并用核對。解 （1）建立如題3.8圖所示坐標系。根據(jù)電位的積分表達式，線電荷平分面上任意點的電位為題3.8圖 （2）根據(jù)對稱性，可得兩個對稱線電荷元在點的電場為故長為的線電荷在點的電場為由求

12、，有3.9 已知無限長均勻線電荷的電場，試用定義式求其電位函數(shù)。其中為電位參考點。解 由于是無限長的線電荷，不能將選為無窮遠點。3.10 一點電荷位于，另一點電荷位于，求空間的零電位面。解 兩個點電荷和在空間產(chǎn)生的電位令，則有 即 故得 由此可見，零電位面是一個以點為球心、為半徑的球面。3.11 證明習題3.2的電位表達式為 解 位于球心的正電荷在原子外產(chǎn)生的電通量密度為 電子云在原子外產(chǎn)生的電通量密度則為 所以原子外的電場為零。故原子內(nèi)電位為3.12 電場中有一半徑為的圓柱體，已知柱內(nèi)外的電位函數(shù)分別為 （1）求圓柱內(nèi)、外的電場強度； （2）這個圓柱是什么材料制成的？表面有電荷分布嗎？試求之

13、。解 （1）由，可得到 時， 時， （2）該圓柱體為等位體，所以是由導(dǎo)體制成的，其表面有電荷分布，電荷面密度為3.13 驗證下列標量函數(shù)在它們各自的坐標系中滿足（1） 其中；（2） 圓柱坐標；（3） 圓柱坐標；（4） 球坐標；（5） 球坐標。解 （1）在直角坐標系中 而 故 （2）在圓柱坐標系中 而 故 （3） 故 （4）在球坐標系中 而 故 （5） 故 3.14 已知的空間中沒有電荷，下列幾個函數(shù)中哪些是可能的電位的解?（1）；（2）；（3）（4）。解 （1）所以函數(shù)不是空間中的電位的解；（2） 所以函數(shù)是空間中可能的電位的解；（3） 所以函數(shù)不是空間中的電位的解；（4） 所以函數(shù)不是空間中

14、的電位的解。3.15 中心位于原點，邊長為的電介質(zhì)立方體的極化強度矢量為。（1）計算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度；（2）證明總的束縛電荷為零。解 （1） 同理 （2） 3.16 一半徑為的介質(zhì)球，介電常數(shù)為，其內(nèi)均勻分布自由電荷，證明中心點的電位為 解 由，可得到時， 即 ， 時， 即 ， 故中心點的電位為3.17 一個半徑為的介質(zhì)球，介電常數(shù)為，球內(nèi)的極化強度，其中為一常數(shù)。（1） 計算束縛電荷體密度和面密度；（2） 計算自由電荷密度；（3）計算球內(nèi)、外的電場和電位分布。解 （1） 介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷體密度為 在的球面上，束縛電荷面密度為 （2）由于，所以 即 由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷

15、體密度為 總的自由電荷量 （3）介質(zhì)球內(nèi)、外的電場強度分別為 介質(zhì)球內(nèi)、外的電位分別為 3.18 （1）證明不均勻電介質(zhì)在沒有自由電荷密度時可能存在束縛電荷體密度；（2）導(dǎo)出束縛電荷密度的表達式。解 （1）由，得束縛電荷體密度為 在介質(zhì)內(nèi)沒有自由電荷密度時，則有 由于，有 所以 由此可見，當電介質(zhì)不均勻時，可能不為零，故在不均勻電介質(zhì)中可能存在束縛電荷體密度。 （2）束縛電荷密度的表達式為 3.19 兩種電介質(zhì)的相對介電常數(shù)分別為=2和=3，其分界面為=0平面。如果已知介質(zhì)1中的電場的那么對于介質(zhì)2中的和，我們可得到什么結(jié)果？能否求出介質(zhì)2中任意點的和？解 設(shè)在介質(zhì)2中在處，由和，可得 于是得

16、到 故得到介質(zhì)2中的和在處的表達式分別為 不能求出介質(zhì)2中任意點的和。由于是非均勻場，介質(zhì)中任意點的電場與邊界面上的電場是不相同的。3.20 電場中一半徑為、介電常數(shù)為的介質(zhì)球，已知球內(nèi)、外的電位函數(shù)分別為 驗證球表面的邊界條件，并計算球表面的束縛電荷密度。解 在球表面上 故有 ， 可見和滿足球表面上的邊界條件。 球表面的束縛電荷密度為3.21 平行板電容器的長、寬分別為和，極板間距離為。電容器的一半厚度()用介電常數(shù)為的電介質(zhì)填充，如題3.21圖所示。(1) (1)  板上外加電壓，求板上的自由電荷面密度、束縛電荷；(2) (2)  若已知板上的自由電荷總量為，求此時極板

17、間電壓和束縛電荷；(3) (3)  求電容器的電容量。解 （1） 設(shè)介質(zhì)中的電場為，空氣中的電場為。由，有 題 3.21圖又由于 由以上兩式解得 ，故下極板的自由電荷面密度為 上極板的自由電荷面密度為 電介質(zhì)中的極化強度 故下表面上的束縛電荷面密度為 上表面上的束縛電荷面密度為 題3.22圖 （2）由 得到 故 （3）電容器的電容為 3.22 厚度為、介電常數(shù)為的無限大介質(zhì)板，放置于均勻電場中，板與成角，如題3.22圖所示。求：（1）使的值；（2）介質(zhì)板兩表面的極化電荷密度。解 （1）根據(jù)靜電場的邊界條件，在介質(zhì)板的表面上有 由此得到 （2）設(shè)介質(zhì)板中的電場為，根據(jù)分界面上的邊界條件

18、，有，即所以 介質(zhì)板左表面的束縛電荷面密度 介質(zhì)板右表面的束縛電荷面密度 3.23 在介電常數(shù)為的無限大均勻介質(zhì)中，開有如下的空腔，求各腔中的和：（1）平行于的針形空腔；（2）底面垂直于的薄盤形空腔；（3）小球形空腔（見第四章4.14題）。解 （1）對于平行于的針形空腔，根據(jù)邊界條件，在空腔的側(cè)面上，有。故在針形空腔中，（2）對于底面垂直于的薄盤形空腔，根據(jù)邊界條件，在空腔的底面上，有。故在薄盤形空腔中，3.24 在面積為的平行板電容器內(nèi)填充介電常數(shù)作線性變化的介質(zhì)，從一極板處的一直變化到另一極板處的，試求電容量。解 由題意可知，介質(zhì)的介電常數(shù)為 設(shè)平行板電容器的極板上帶電量分別為，由高斯定理

19、可得所以，兩極板的電位差 故電容量為 3.25 一體密度為的質(zhì)子束，束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為，束外沒有電荷分布，試計算質(zhì)子束內(nèi)部和外部的徑向電場強度。解 在質(zhì)子束內(nèi)部，由高斯定理可得 故 在質(zhì)子束外部，有 故 3.26 考慮一塊電導(dǎo)率不為零的電介質(zhì)，設(shè)其介質(zhì)特性和導(dǎo)電特性都是不均勻的。證明當介質(zhì)中有恒定電流時，體積內(nèi)將出現(xiàn)自由電荷，體密度為。試問有沒有束縛體電荷？若有則進一步求出。解 對于恒定電流，有，故得到 介質(zhì)中有束縛體電荷，且3.27 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為，介質(zhì)的分界面半徑為。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為和，電導(dǎo)率為和。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為，外導(dǎo)體接地。求：（1

20、）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度；（3）同軸線單位長度的電容及漏電阻。解 （1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為，則由，可得電流密度 介質(zhì)中的電場 由于 于是得到 故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強度分別為 （2）由可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為 （3）同軸線單位長度的漏電阻為 由靜電比擬，可得同軸線單位長度的電容為 3.28 半徑為和的兩個同心的理想導(dǎo)體球面間充滿了介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)(為常數(shù))。若內(nèi)導(dǎo)體球面的電位為，外導(dǎo)體球面接地。試求：（1）媒質(zhì)中的電荷分布；（2）兩個理想導(dǎo)體球面間的

21、電阻。解 設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為，由于電流密度成球?qū)ΨQ分布，所以電場強度 由兩導(dǎo)體間的電壓 可得到 所以 媒質(zhì)中的電荷體密度為 媒質(zhì)內(nèi)、外表面上的電荷面密度分別為（2）兩理想導(dǎo)體球面間的電阻3.29 電導(dǎo)率為的無界均勻電介質(zhì)內(nèi)，有兩個半徑分別為和的理想導(dǎo)體小球，兩球之間的距離為，試求兩小導(dǎo)體球面間的電阻。解 此題可采用靜電比擬的方法求解。假設(shè)兩小球分別帶電荷和，由于兩球間的距離、，可近似認為小球上的電荷均勻分布在球面上。由電荷和的電位疊加求出兩小球表面的電位差，即可求得兩小導(dǎo)體球面間的電容，再由靜電比擬求出兩小導(dǎo)體球面間的電阻。設(shè)兩小球分別帶電荷和，由于、，可得到兩小球表面的電位為所以兩

22、小導(dǎo)體球面間的電容為 由靜電比擬，得到兩小導(dǎo)體球面間的電導(dǎo)為 故兩個小導(dǎo)體球面間的電阻為 3.30 在一塊厚度的導(dǎo)電板上， 由兩個半徑為和的圓弧和夾角為的兩半徑割出的一塊扇形體，如題3.30圖所示。求：（1）沿厚度方向的電阻；（2）兩圓弧面之間的電阻；沿方向的兩電極的電阻。設(shè)導(dǎo)電板的電導(dǎo)率為。解 （1）設(shè)沿厚度方向的兩電極的電壓為，則有題3.30圖 故得到沿厚度方向的電阻為 （2）設(shè)內(nèi)外兩圓弧面電極之間的電流為，則 故得到兩圓弧面之間的電阻為 （3）設(shè)沿方向的兩電極的電壓為，則有 由于與無關(guān)，所以得到 故得到沿方向的電阻為 3.31 圓柱形電容器外導(dǎo)體內(nèi)半徑為，內(nèi)導(dǎo)體半徑為。當外加電壓固定時，

23、在一定的條件下，求使電容器中的最大電場強度取極小值的內(nèi)導(dǎo)體半徑的值和這個的值。解 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長度帶電荷為，由高斯定理可求得圓柱形電容器中的電場強度為由內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓 得到 由此得到圓柱形電容器中的電場強度與電壓的關(guān)系式 在圓柱形電容器中，處的電場強度最大 令對的導(dǎo)數(shù)為零，即 由此得到 故有 3.32 證明：同軸線單位長度的靜電儲能等于。為單位長度上的電荷量，為單位長度上的電容。解 由高斯定理可求得圓柱形電容器中的電場強度為 內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為則同軸線單位長度的電容為 同軸線單位長度的靜電儲能為 3.33 如題3.33圖所示，一半徑為、帶電量的導(dǎo)體球，其球心位于兩種介質(zhì)的分界面上，此兩種介質(zhì)

24、的電容率分別為和，分界面為無限大平面。求：（1）導(dǎo)體球的電容；（2） 總的靜電能量。解 （1）由于電場沿徑向分布，根據(jù)邊界條件，在兩種介質(zhì)的分界面上，故有 。由于、，所以。由高斯定理，得到 即 題 3.33圖所以 導(dǎo)體球的電位故導(dǎo)體球的電容 （2） 總的靜電能量為 3.34 把一帶電量、半徑為的導(dǎo)體球切成兩半，求兩半球之間的電場力。解 先利用虛位移法求出導(dǎo)體球表面上單位面積的電荷受到的靜電力，然后在半球面上對積分，求出兩半球之間的電場力。導(dǎo)體球的電容為 故靜電能量為 根據(jù)虛位移法，導(dǎo)體球表面上單位面積的電荷受到的靜電力方向沿導(dǎo)體球表面的外法向，即 這里 在半球面上對積分，即得到兩半球之間的靜電

25、力為 3.35 如題3.35圖所示，兩平行的金屬板，板間距離為，豎直地插入在電容率為的液體中，兩板間加電壓，證明液面升高其中為液體的質(zhì)量密度。解 設(shè)金屬板的寬度為、高度為。當金屬板間的液面升高為時，其電容為題3.35圖 金屬板間的靜電能量為液體受到豎直向上的靜電力為而液體所受重力與相平衡，即 故得到液面上升的高度3.36 可變空氣電容器，當動片由至電容量由至直線地變化，當動片為角時，求作用于動片上的力矩。設(shè)動片與定片間的電壓為。解 當動片為角時，電容器的電容為此時電容器中的靜電能量為 作用于動片上的力矩為 3.37 平行板電容器的電容是，其中是板的面積，為間距，忽略邊緣效應(yīng)。題3.37圖 （1

26、）如果把一塊厚度為的不帶電金屬插入兩極板之間，但不與兩極接觸，如題3.37圖所示。則在原電容器電壓一定的條件下，電容器的能量如何變化？電容量如何變化？（2）如果在電荷一定的條件下，將一塊橫截面為、介電常數(shù)為的電介質(zhì)片插入電容器(與電容器極板面積基本上垂直地插入，如題3.37圖所示，則電容器的能量如何變化？電容量又如何變化？ 解 （1）在電壓一定的條件下，未插入金屬板前，極板間的電場為電容為 靜電能量為 當插入金屬板后，電容器中的電場為 此時靜電能量和電容分別為 故電容器的電容及能量的改變量分別為（2）在電荷一定的條件下，未插入電介質(zhì)板前，極板間的電場為 靜電能量為 當插入電介質(zhì)板后，由介質(zhì)分界

27、面上的邊界條件，有 題3.37圖 再由高斯定理可得 于是得到極板間的電場為 兩極板間的電位差位 此時的靜電能量為 其電容為 故電容器的電容及能量的改變量分別為 3.38 如果不引入電位函數(shù)，靜電問題也可以通過直接求解法求解的微分方程而得解決。（1）證明：有源區(qū)的微分方程為，；（2）證明：的解是 解 （1）由，可得 ，即又 故得到 （2）在直角坐標系中的三個分量方程為，其解分別為故 3.39 證明：解 由于 ，所以 由題3.38(2)可知 故 第四章習題解答4.1 如題4.1圖所示為一長方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為，求槽內(nèi)的電位函數(shù)

28、。解 根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為 根據(jù)條件和，電位的通解應(yīng)取為題4.1圖 由條件，有兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到槽內(nèi)的電位分布 4.2 兩平行無限大導(dǎo)體平面，距離為，其間有一極薄的導(dǎo)體片由到。上板和薄片保持電位，下板保持零電位，求板間電位的解。設(shè)在薄片平面上，從到，電位線性變化，。yoyboydy題 4.2圖解 應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為其中，為不存在薄片的平行無限大導(dǎo)體平面間（電壓為）的電位，即；是兩個電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時的電位，其邊界條件為： 根據(jù)條件和，可設(shè)的通解為 由條件有 兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到 4.3 求在上題的解中，除開一項外，其他所

29、有項對電場總儲能的貢獻。并按定出邊緣電容。解 在導(dǎo)體板（）上，相應(yīng)于的電荷面密度則導(dǎo)體板上（沿方向單位長）相應(yīng)的總電荷相應(yīng)的電場儲能為 其邊緣電容為 4.4 如題4.4圖所示的導(dǎo)體槽，底面保持電位，其余兩面電位為零，求槽內(nèi)的電位的解。解 根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為 題4.4圖 根據(jù)條件和，電位的通解應(yīng)取為 由條件，有 兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到槽內(nèi)的電位分布為 4.5 一長、寬、高分別為、的長方體表面保持零電位，體積內(nèi)填充密度為的電荷。求體積內(nèi)的電位。解 在體積內(nèi)，電位滿足泊松方程 （1）長方體表面上，電位滿足邊界條件。由此設(shè)電位的通解為代入泊松方程（1），可得由此可得 或 （

30、2）由式（2），可得故 4.6 如題4.6圖所示的一對無限大接地平行導(dǎo)體板，板間有一與軸平行的線電荷，其位置為。求板間的電位函數(shù)。解 由于在處有一與軸平行的線電荷，以為界將場空間分割為和兩個區(qū)域，則這兩個區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度。電位的邊界條件為題 4.6圖 由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為 由條件，有 （1） （2）由式（1），可得 （3）將式（2）兩邊同乘以，并從到對積分，有 （4）由式（3）和（4）解得 故 b題4.7圖4.7 如題4.7圖所示的矩形導(dǎo)體槽的電位為零，槽中有一與槽平行的線電荷。求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解 由于在處有一與軸

31、平行的線電荷，以為界將場空間分割為和兩個區(qū)域，則這兩個區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度，電位的邊界條件為 ， 由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為 由條件，有 （1） （2）由式（1），可得 （3）將式（2）兩邊同乘以，并從到對積分，有 （4）由式（3）和（4）解得 故 若以為界將場空間分割為和兩個區(qū)域，則可類似地得到 4.8 如題4.8圖所示，在均勻電場中垂直于電場方向放置一根無限長導(dǎo)體圓柱，圓柱的半徑為。求導(dǎo)體圓柱外的電位和電場以及導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度。解 在外電場作用下，導(dǎo)體表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，圓柱外的電位是外電場的電位與感應(yīng)電荷的電位的疊加

32、。由于導(dǎo)體圓柱為無限長，所以電位與變量無關(guān)。在圓柱面坐標系中，外電場的電位為（常數(shù)的值由參考點確定），而感應(yīng)電荷的電位應(yīng)與一樣按變化，而且在無限遠處為0。由于導(dǎo)體是等位體，所以滿足的邊界條件為題4.8圖 由此可設(shè) 由條件，有 于是得到 故圓柱外的電位為若選擇導(dǎo)體圓柱表面為電位參考點，即，則。導(dǎo)體圓柱外的電場則為導(dǎo)體圓柱表面的電荷面密度為 4.9 在介電常數(shù)為的無限大的介質(zhì)中，沿軸方向開一個半徑為的圓柱形空腔。沿軸方向外加一均勻電場，求空腔內(nèi)和空腔外的電位函數(shù)。解 在電場的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表面形成極化電荷，空腔內(nèi)、外的電場為外加電場與極化電荷的電場的疊加。外電場的電位為而感應(yīng)電荷的電位

33、應(yīng)與一樣按變化，則空腔內(nèi)、外的電位分別為和的邊界條件為 時，； 時，為有限值； 時， ，由條件和，可設(shè) 帶入條件，有 ，由此解得 ， 所以 題4.10圖4.10 一個半徑為、無限長的薄導(dǎo)體圓柱面被分割成四個四分之一圓柱面，如題4.10圖所示。第二象限和第四象限的四分之一圓柱面接地，第一象限和第三象限分別保持電位和。求圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)。解 由題意可知，圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)滿足邊界條件為 為有限值； ；由條件可知，圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)的通解為 代入條件，有 由此得到故 4.11 如題4.11圖所示，一無限長介質(zhì)圓柱的半徑為、介電常數(shù)為，在距離軸線處，有一與圓柱平行的線電荷，計算空間各部分的電位

34、。解 在線電荷作用下，介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化，介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位均為線電荷的電位與極化電荷的電位的疊加，即。線電荷的電位為 （1）題4.11圖而極化電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位和滿足的邊界條件為分別為 為有限值； 時，由條件和可知，和的通解為 （2） （3）將式（1）（3）帶入條件，可得到 （4） （5）當時，將展開為級數(shù)，有 （6）帶入式（5），得 （7）由式（4）和（7），有 由此解得 ， 故得到圓柱內(nèi)、外的電位分別為 （8） （9）討論：利用式（6），可將式（8）和（9）中得第二項分別寫成為其中。因此可將和分別寫成為 由所得結(jié)果可知，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于（0）

35、的線電荷的電位相同，而介質(zhì)圓柱外的電位相當于三根線電荷所產(chǎn)生，它們分別為：位于（0）的線電荷；位于的線電荷；位于的線電荷。4.12 將上題的介質(zhì)圓柱改為導(dǎo)體圓柱，重新計算。解 導(dǎo)體圓柱內(nèi)的電位為常數(shù)，導(dǎo)體圓柱外的電位均為線電荷的電位與感應(yīng)電荷的電位的疊加，即。線電荷的電位為 （1）而感應(yīng)電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。滿足的邊界條件為 ； 。由于電位分布是的偶函數(shù)，并由條件可知，的通解為 （2）將式（1）和（2）帶入條件，可得到 （3）將展開為級數(shù)，有 （4）帶入式（3），得 （5）由此可得 ， 故導(dǎo)體圓柱外的電為 （6）討論：利用式（4），可將式（6）中的第二項寫成為其中。因此可將

36、寫成為由此可見，導(dǎo)體圓柱外的電位相當于三根線電荷所產(chǎn)生，它們分別為：位于（0）的線電荷；位于的線電荷；位于的線電荷。4.13 在均勻外電場中放入半徑為的導(dǎo)體球，設(shè)（1）導(dǎo)體充電至；（2）導(dǎo)體上充有電荷。試分別計算兩種情況下球外的電位分布。解 （1）這里導(dǎo)體充電至應(yīng)理解為未加外電場時導(dǎo)體球相對于無限遠處的電位為，此時導(dǎo)體球面上的電荷密度，總電荷。將導(dǎo)體球放入均勻外電場中后，在的作用下，產(chǎn)生感應(yīng)電荷，使球面上的電荷密度發(fā)生變化，但總電荷仍保持不變，導(dǎo)體球仍為等位體。設(shè)，其中是均勻外電場的電位，是導(dǎo)體球上的電荷產(chǎn)生的電位。電位滿足的邊界條件為 時，； 時， ，其中為常數(shù)，若適當選擇的參考點，可使。由

37、條件，可設(shè) 代入條件，可得到 ，若使，可得到 （2）導(dǎo)體上充電荷時，令，有 利用（1）的結(jié)果，得到 4.14 如題4.14圖所示，無限大的介質(zhì)中外加均勻電場，在介質(zhì)中有一個半徑為的球形空腔。求空腔內(nèi)、外的電場和空腔表面的極化電荷密度（介質(zhì)的介電常數(shù)為）。解 在電場的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表面形成極化電荷，空腔內(nèi)、外的電場為外加電場與極化電荷的電場的疊加。設(shè)空腔內(nèi)、外的電位分別為和，則邊界條件為 時，； 時，為有限值； 時， ，由條件和，可設(shè)題4.14圖帶入條件，有，由此解得 ，所以 空腔內(nèi)、外的電場為空腔表面的極化電荷面密度為4.15 如題4.15圖所示，空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)、外半徑分別為和，

38、球的中心放置一個電偶極子，球殼上的電荷量為。試計算球內(nèi)、外的電位分布和球殼上的電荷分布。解 導(dǎo)體球殼將空間分割為內(nèi)外兩個區(qū)域，電偶極子在球殼內(nèi)表面上引起感應(yīng)電荷分布，但內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷總量為零，因此球殼外表面上電荷總量為，且均勻分布在外表面上。球殼外的場可由高斯定理求得為題 4.15圖外表面上的電荷面密度為 設(shè)球內(nèi)的電位為，其中是電偶極子的電位，是球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷的電位。滿足的邊界條件為 為有限值； ，即，所以由條件可知的通解為 由條件，有 比較兩端的系數(shù)，得到， ， 最后得到 球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷面密度為 感應(yīng)電荷的總量為 題 4.16圖 4.16 欲在一個半徑為的球上繞線圈使在球

39、內(nèi)產(chǎn)生均勻場，問線圈應(yīng)如何繞（即求繞線的密度）？解 設(shè)球內(nèi)的均勻場為，球外的場為，如題4.16圖所示。根據(jù)邊界條件，球面上的電流面密度為若令，則得到球面上的電流面密度為 這表明球面上的繞線密度正比于，則將在球內(nèi)產(chǎn)生均勻場。4.17 一個半徑為的介質(zhì)球帶有均勻極化強度。（1）證明：球內(nèi)的電場是均勻的，等于；（2）證明：球外的電場與一個位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場相同，。題 4.17圖 解 （1）當介質(zhì)極化后，在介質(zhì)中會形成極化電荷分布，本題中所求的電場即為極化電荷所產(chǎn)生的場。由于是均勻極化，介質(zhì)球體內(nèi)不存在極化電荷，僅在介質(zhì)球面上有極化電荷面密度，球內(nèi)、外的電位滿足拉普拉斯方程，可用分離變量法求解

40、。建立如題4.17圖所示的坐標系，則介質(zhì)球面上的極化電荷面密度為介質(zhì)球內(nèi)、外的電位和滿足的邊界條件為 為有限值； ； 因此，可設(shè)球內(nèi)、外電位的通解為由條件，有 ，解得 ， 于是得到球內(nèi)的電位 故球內(nèi)的電場為 （2）介質(zhì)球外的電位為其中為介質(zhì)球的體積。故介質(zhì)球外的電場為可見介質(zhì)球外的電場與一個位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場相同。4.18 半徑為的接地導(dǎo)體球，離球心處放置一個點電荷，如題4.18圖所示。用分離變量法求電位分布。解 球外的電位是點電荷的電位與球面上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位的疊加，感應(yīng)電荷的電位滿足拉普拉斯方程。用分離變量法求解電位分布時，將點電荷的電位在球面上按勒讓德多項式展開，即可由邊界條件確定通解中的系數(shù)。設(shè)，其中是點電荷的電位，是導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位。電位滿足的邊界條件為 時，； 時， 。 題4.18圖由條件，可得的通解為為了確定系數(shù)，利用的球坐標展開式將在球面上展開為 代入條件，有 比較的系數(shù)，得到 故得到球外的電位為 討論：將的第二項與的球坐標展開式比較，可得到由此可見，的第二項是位于的一個點電荷所產(chǎn)生的電位，此電荷正是球面上感應(yīng)電荷的等效電荷，即像電荷。題4.19圖4.