高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第79講)函數(shù)的極值最值及其應(yīng)用

1、題目 (選修)第三章導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值、最值及應(yīng)用高考要求 1理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào))；3會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值 知識(shí)點(diǎn)歸納 1極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)f(x0)，就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點(diǎn)2極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)f(x0)就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點(diǎn)

2、3極大值與極小值統(tǒng)稱為極值（）極值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小（）函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)（）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，而> （）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn) 而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)4判別f(x0)是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正

3、右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值5 求函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x) (2)求方程f(x)=0的根 (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格檢查f(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，則f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值6函數(shù)的最大值和最小值:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值 函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)

4、的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件(4)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有一個(gè)7利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:求在內(nèi)的極值；將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值題型講解 例1 求列函數(shù)的極值：（1）；（2）解：（1） 令，得駐點(diǎn)12+0-0+0+極大極小是函數(shù)的極大值；是函數(shù)的極小值（2） 令，得駐點(diǎn)-11-0+0-極大極小當(dāng)時(shí)，極小=-3；當(dāng)時(shí)，極大=-1值 例2 設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底，a為常數(shù)且），取極小值時(shí)，求x的值解： 令（1），由表x（，2）2f(x)+

5、00+f（x）極大值極小值取極小值（2）無(wú)極值（3）時(shí)，由表x（，）2f(x)+00+f（x）極大值極小值 例3 求拋物線上與點(diǎn)距離最近的點(diǎn)解：設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，則與同時(shí)取到極值令由得是唯一的駐點(diǎn)當(dāng)或時(shí)，是的最小值點(diǎn)，此時(shí)即拋物線上與點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是（2，2）例4 設(shè)x2，nN*，比較（1+x）n與1+nx的大小分析：從條件最易想到歸納猜想證明，但證明由n=k到n=k+1時(shí)，（1+x）k+1=（1+x）k·（1+x）過(guò)渡到（1+x）k時(shí)不等方向不確定，故需按1+x的符號(hào)討論證明但本題若用導(dǎo)數(shù)解就比較簡(jiǎn)單了解：設(shè)f（x）=（1+x）n1nx，當(dāng)n=1時(shí)，f（x）=0，（1+x）n=1+

6、nx當(dāng)n2，nN*時(shí)，f（x）=n（1+x） n1n=n（1+x）n11，令f（x）=0，得x=0當(dāng)2x0時(shí)，f（x）0，f（x）在（2，0上為減函數(shù);當(dāng)x0時(shí)，f（x）0f（x）在0，+）上為增函數(shù)當(dāng)x2時(shí)，f（x）f（0）=0（1+x）n1+nx綜上，得（1+x）n1+nx點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造函數(shù)法是比較兩個(gè)多項(xiàng)式的大小或證明不等式常用的方法附：數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程：歸納猜想證明法解當(dāng)n=1時(shí)，（1+x）1=1+x當(dāng)n=2時(shí)，（1+x）2=1+2x+x21+2x當(dāng)n=3時(shí)，（1+x）3=1+3x+3x2+x3=1+3x+x2（3+x）1+3x猜想：（1+x）n1+nx證明：當(dāng)x1時(shí)，（1）當(dāng)n=1時(shí)

7、，（1+x）n1+nx成立（2）假設(shè)n=k時(shí)，（1+x）k1+kx成立，那么（1+x）k+1=（1+x）k·（1+x）（1+x）·（1+kx）=1+（k+1）x+kx21+（k+1）x當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+x）n1+nx成立由（1）（2）可知，當(dāng)x1時(shí)，對(duì)nN*，（1+x）n1+nx當(dāng)2x1時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，（1+x）n=1+x；當(dāng)n2時(shí)，|1+x|1|1+x|n1而1+nx1n1，（1+x）n1+nx綜上，得（1+x）n1+nx正確例5 設(shè)函數(shù)f（x）=ax，其中a0，求a的范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間0，+）上是單調(diào)函數(shù)分析：要使f（x）在0，+）上是單調(diào)函數(shù)，只需f（x）

8、在0，+）上恒正或恒負(fù)即可解：f（x）=a當(dāng)x0時(shí)， 因?yàn)閍0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，f（x）= a在0，+）上恒小于0，此時(shí)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)點(diǎn)評(píng)：要使f（x）在（a，b）上單調(diào)，只需f（x）在（a，b）上恒正或恒負(fù)，即f（x）0（或0）單調(diào)遞增（或減）例6 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx23x在x=±1處取得極值（1）討論f（1）和f（1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；（2）過(guò)點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程解：（1）f（x）=3ax2+2bx3，依題意，f(1)=f(1)=0，即解得a=1，b=0f（x）=x33x，f（x）=3x23=3（x+1）（

9、x1）令f（x）=0，得x=1，x=1若x（，1）（1，+），則f（x）0，故f（x）在（，1）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+）上也是增函數(shù)若x（1，1），則f（x）0，故f（x）在（1，1）上是減函數(shù)所以f（1）=2是極大值，f（1）=2是極小值（2）曲線方程為y=x33x，點(diǎn)A（0，16）不在曲線上設(shè)切點(diǎn)為M（x0，y0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y0=x033x0因f（x0）=3（x021），故切線的方程為yy0=3（x021）（xx0）注意到點(diǎn)A（0，16）在切線上，有16（x033x0）=3（x021）（0x0），化簡(jiǎn)得x03=8，解得x0=2所以切點(diǎn)為M（2，2），切線方程為9xy+16=

10、0點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)和函數(shù)極值的概念，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和求曲線切線的方法，以及分析和解決問(wèn)題的能力例7 用總長(zhǎng)148 m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)05 m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積解：設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為x m，則另一邊長(zhǎng)為（x+05） m，高為=322x（m）設(shè)容積為y m3，則y=x（x+05）（322x）（0x16），整理，得y=2x3+22x2+16x所以y=6x2+44x+16令y=0，即6x2+44x+16=0，所以15x211x4=0解得x=1或x=（不合題意，舍去）從而在定義域（0，16）內(nèi)只有x=1處使得y

11、=0由題意，若x過(guò)?。ń咏?）或過(guò)大（接近16）時(shí)，y值很?。ń咏?）因此，當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值且ymax=2+22+16=18，此時(shí)，高為322×1=12答：容器的高為12 m時(shí)，容積最大，最大容積為18 m3例8 煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境已知落在地面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，現(xiàn)有兩座煙囪相距20，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的煙塵濃度最小解：不失一般性，設(shè)煙囪A的煙塵量為1，則煙囪B的煙塵量為8并設(shè)AC= ， 于是點(diǎn)C的煙塵濃度為，其中為比例系數(shù)令，有，即解得在（0，20）內(nèi)

12、惟一駐點(diǎn)由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（0，20）內(nèi)取得，在惟一駐點(diǎn)處，濃度最小，即在AB間距A處處的煙塵濃度最小例9 已知拋物線y=x2+2，過(guò)其上一點(diǎn)P引拋物線的切線l，使l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求l的方程解：設(shè)切點(diǎn)P（x0，x02+2）（x00），由y=x2+2得y=2x，k1=2x0l的方程為y（x02+2）=2x0（xx0），令y=0，得x=令x=0，得y=x02+2，三角形的面積為S=··（x02+2）=S=令S=0，得x0= （x00）當(dāng)0x0時(shí)，S0;當(dāng)x0時(shí)，S0x0=時(shí)，S取極小值只有一個(gè)極值，x=時(shí)S最小，此時(shí)k1=，切點(diǎn)為

13、（，）l的方程為y= （x），即2x+3y8=0例10 利用導(dǎo)數(shù)求和：（1）Sn=1+2x+3x2+nxn1（x0,nN *）（2）Sn=C+2C+3C+nC （nN *）解:（1）當(dāng)x=1時(shí)，Sn=1+2+3+n= （n+1）,當(dāng)x1時(shí)，x+x2+x3+xn=,兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得Sn=1+2x+3x2+nxn1=()=（2）（1+x）n=1+Cx+C x2+C xn,兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得n（1+x）n1=C+2Cx+3Cx2+nC x n1令x=1,得n·2n1=C +2C+3C+nC,即Sn=C+2C +3C +nC=n·2n1小結(jié)：在求函數(shù)的極值和最值時(shí)，要注意極值和最值的

14、區(qū)別能列表的應(yīng)采用列表的方法，在處理應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，一方面正確列出函數(shù)關(guān)系式，按函數(shù)求極值、最值的步驟進(jìn)行另一方面在解題時(shí)還要隨時(shí)利用應(yīng)用題本身的特點(diǎn)，以及目標(biāo)函數(shù)的取值范圍確定駐點(diǎn)學(xué)生練習(xí) 1某物體作s=2（1t）2的直線運(yùn)動(dòng)，則t=08 s時(shí)的瞬時(shí)速度為A4 B4 C48 D08解析：s=4（1t），當(dāng)t=08 s時(shí)，v=08答案：D2函數(shù)f（x）=x36bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則Ab0 Bb C0b Db1解析：f（x）=3x26b，令f（x）=0，得x=±bf（x）在（0，1）內(nèi)有極小值，0b10b答案：C3函數(shù)f（x）=ax+loga（x+1）在0，1上的最大值與最小

15、值之和為a，則a的值為A B C2 D4解析：f（x）=axlna+logaex0，1，當(dāng)a1時(shí)，axlna+logae0f（x）為增函數(shù)當(dāng)0a1時(shí)，axlna+logae0，f（x）為減函數(shù)f（0）+f（1）=aa=答案：B4若曲線f（x）=x4x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3xy=0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為A（1，3） B（1，3） C（1，0） D（1，0）解析：f（x）=4x31=3，x=1答案：C5已知曲線y=x3+，則過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線方程是_解析：y=x2，當(dāng)x=2時(shí)，y=4 切線的斜率為4切線的方程為y4=4（x2）， 即y=4x4答案：4xy4=06設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V

16、，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為_(kāi)解析：設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則高為h=，S表=3×·x+2×x2=+x2S=+x令S=0，得x=答案： 7已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10，則f（2）=_解析：f（x）=3x2+2ax+b，由題意得 或f（2）=11或f（2）=18答案：11或188直線y=a與函數(shù)f（x）=x33x的圖象有相異三個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍解：f（x）=3x23=3（x1）（x+1），由f（x）0得單調(diào)增區(qū)間為（，1），（1，+）;由f（x）0得單調(diào)減區(qū)間為（1，+1）檢驗(yàn)知x=1時(shí)，f（1）=2是極小值;當(dāng)x=1時(shí)，f（1）

17、=2是極大值，結(jié)合圖象知：當(dāng)2a2時(shí)，y=a與y=x33x的圖象有三個(gè)相異交點(diǎn)9當(dāng)0x時(shí)，證明： xsinxx證明：令f（x）=xsinx，則當(dāng)x時(shí)，f（x）=1cosxf（x）在（，）上單調(diào)增加，而f（）=當(dāng)x時(shí)，f（x），即xsinx令g（x）=sinxx，g（x）=cosx當(dāng)xarccos時(shí)，g（x），則g（x）單調(diào)增加；當(dāng)arccosx時(shí)，g（x），則g（x）單調(diào)減小，而f（）=f（）=當(dāng)x時(shí)，g（x），即sinxx綜上，當(dāng)x時(shí)，xsinxx10已知二次函數(shù)y=f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，10），導(dǎo)函數(shù)f（x）=2x5，當(dāng)x（n，n+1（nN*）時(shí)，f（x）是整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為an求數(shù)列an的通

18、項(xiàng)公式解：由f（x）=2x5可設(shè)f（x）=x25x+c（c為常數(shù)）因?yàn)閒（x）的圖象過(guò)（0，10），得c=10故二次函數(shù)為f（x）=x25x+10=（x）2+又因x（n，n1（nN*）時(shí)，f（x）為整數(shù)的個(gè)數(shù)為anf（x）在（1，2上的值域?yàn)?，6），a1=2f（x）在（2，3上的值域?yàn)椋?，a2=1當(dāng)n3時(shí)，f（x）在（n，n+1上單調(diào)遞增，其值域?yàn)椋╢（n），f（n+1）an=f（n+1）f（n）=2n4an=11 已知b1，c0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x2+bx+c的圖象相切（1）求b與c的關(guān)系式（用c表示b）;（2）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）g（x）在（，+）內(nèi)有極值

19、點(diǎn)，求c的取值范圍解：（1）依題意，令f（x）=g（x），得2x+b=1，故x=由f（）=g（），得（b+1）2=4cb1，c0，b=1+2（2）F（x）=f（x）g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bcF（x）=3x2+4bx+b2+c令F（x）=0，即3x2+4bx+b2+c=0，則=16b212（b2+c）=4（b23c）若=0，則F（x）=0有一個(gè)實(shí)根x0，且F（x）的變化如下：x（，x0）x0（x0，+）F（x）+0+于是x=x0不是函數(shù)F（x）的極值點(diǎn)若0，則F（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1、x2（x1x2），且F（x）的變化如下：x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）F（x）+00+由此，x=x1是函數(shù)F（x）的極大值點(diǎn)，x=x2是F（x