n維正態(tài)分布的定義及性質(zhì)

1、n維正態(tài)分布的定義及性質(zhì) WORD文檔使用說明：n維正態(tài)分布的定義及性質(zhì) 來源于PDF轉(zhuǎn)換成WROD 本W(wǎng)OED文件是采用在線轉(zhuǎn)換功能下載而來，因此在排版和顯示效果方面可能不能滿足您的應(yīng)用需求。如果需要查看原版WOED文件，請(qǐng)?jiān)L問這里n維正態(tài)分布的定義及性質(zhì) n維正態(tài)分布的定義及性質(zhì)|PDF轉(zhuǎn)換成WROD_PDF閱讀器下載概率論n 維正態(tài)分布的定義及性質(zhì)n 維正態(tài)分布的定義及性質(zhì)（概率論基礎(chǔ)（李賢平） ，Page234）定義稱 n 維隨機(jī)變量 X ? ? X 1 , X 2 ,., X n ? 服從參數(shù)為 N ?a, B ? 的 n 維正態(tài)分布，記為 X N ?a, B ? ，如果他有密度p?

2、 x ? ? f ? x1 , x2 ,., xn ? ?2? ?n/21 ? 1 ? T exp? ? X ? a ? B ?1 ? X ? a ? 1/ 2 ?det B ? ? 2 ? 其中， B ? bij n 是 n ? n 階正定對(duì)稱矩陣， det B 是它的行列式，而 B -1 是它的逆矩陣，記作 B -1 ? bij 1 n ，? ?n? ?na 為任意實(shí)值列向量，即如果我們用黑體的小寫字母記列向量，以黑體的大寫字母記矩陣，則有? a1 ? ? x1 ? ? x1 ? a1 ? ? ? ? ? ? ? ? b11 b12 ? a2 ? ? x2 ? ? x2 ? a2 ? ?

3、? . ? ? . ? ? . ? b b ? ， B ? ? 21 22 a ? ?， X ? ?， X -a ? ? . . ? . ? ? . ? ? . ? ? ? ? ? ? ? ?b . ? . ? . ? ? n1 bn 2 ? ? ? ? ?a ? ?x ? ?x ?a ? 2? ? n? ? n? ? n. b1n ? ? . b2 n ? . . ? ? . bnn ? ?稱矩陣 B 為對(duì)稱的，如果 B ? B T ，即 bij ? b ji ； 稱對(duì)稱矩陣 B 為正定的，如果對(duì)于任意列向量 a ? ?a1 , a 2 ,., a n ? ? R n ，有 a T Ba ?

4、 0 ，其中等號(hào)成T立，當(dāng)且僅當(dāng) a 是 0 向量。如果 B 正定，則 det B 存在，且 det B ? 0 ，且 B -1 也是正定矩陣（小寫代數(shù)， 居于馬，Page272） 。 定理 X 的任一子向量 X k1 , X k2 ,., X km? ? ?m ? n? 也服從正態(tài)分布，分布為 N ?a , B ? ，其中T a ? ak1 , ak2 ,., akm?T ， B 為保留 B 的第 k1 , k 2 ,., k m 行及第 k1 , k 2 ,., k m 列所得的 m 階矩陣。如b13 b23 b33 . . bn 3 . b1m . b2 m . b3m . . . b1

5、n ? ? . b2 n ? . b3n ? ? . . ? ? . bmn ? . . ? ? . bnn ? a1 ? ? ? ? b11 b12 ? ? a2 ? ? b21 b22 ?a ? 3 ?b ? ? b32 31 ? ? ? . ? ， B ? ? . . a ? ? ? ? . ? ? bm1 bm 2 ? am ? ? . . ? ? ? ? . ? ? bn1 bn 2 ?a ? ? n?bm3 . bmm . . . bnm-Reproduction Forbidden Page 1 of 3概率論特別地， X j 服從一維正態(tài)分布 N ?a j , b jj ? 。

6、 定理表明，多維正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布。 定理 a 及 B 分別是隨機(jī)向量 X 的數(shù)學(xué)期望及協(xié)方差矩陣，即a j ? E ?X j ?,1 ? j ? n ； b jk ? Cov?X j , X k ? ? E ?X j ? a j ? X k ? ak ? , 1 ? j, k ? n?由定理可知， n 維正態(tài)分布完全由它的前面二階矩確定。 定理 X 1 , X 2 ,., X n 獨(dú)立的充要條件是它們兩兩不相關(guān)。 X ? ? X 1 , X 2 ,., X n ? 服 從 n 維 正 態(tài) 分 布 N ?a, B ? 的 充 要 條 件 是 它 的 任 何 一 個(gè) 線 性 組 合定

7、 理 n n ? n ? Y ? ? l j X j 服從一維正態(tài)分布 N ? ? l j a j , ? l 2b jj ? j ? ? j ?1 j ?1 ? j ?1 ?利用定理 可以通過一維正態(tài)隨機(jī)變量來研究多維正態(tài)變量， 在有些場(chǎng)合這提供了很大的方便。定理 若 X ? ? X 1 , X 2 ,., X n ? 服從 n 維正態(tài)分布 N ?a , B ? ， C 為任意的 m ? n 陣， Y ? CX 服從 m 而 則 維正態(tài)分布， N Ca , CBC T . 定理 表明正態(tài)變量在線性變換下還是正態(tài)變量，這個(gè)性質(zhì)簡稱為正態(tài)變量的線性變換不變 性。 推論一 若 X ? ? X 1

8、, X 2 ,., X n ? 服從 n 維正態(tài)分布 N ?a , B ? ， 則存在一個(gè)正交變換 U ， 使得 Y ? UX 是?一個(gè)具有獨(dú)立正態(tài)分布分量的隨機(jī)向量，它的數(shù)學(xué)期望為 Ua ，而它的方差分量是 B 的特征值。 證明 從矩陣論知道，對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣 B ，存在正交陣 U ，使 UBU T ? D ，其中，? d1 ? ?0 D? . ? ?0 ? 0 d2 . 0 0? ? 0? . . ? ? . d n ? ? . .這里， d1 , d 2 ,.d 3 是 B 的特征值。若 B 得秩為 r ，則有 r 個(gè)特征值不為零。此處的 U 是以特征向量 為列構(gòu)成的正交陣。 把這里的 U

9、 作為定理 中的變換矩陣，即可證明該推論。 從推論一看出，若 B 得秩為 r ? n ，則正態(tài)分布退化到一個(gè) r 維子空間上。 推論一說明，對(duì)于多維正態(tài)變量，可以進(jìn)行正交變換，使其既保持正態(tài)性不變又讓各分量獨(dú)立， 這種方法在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中十分有用。 因?yàn)樽儞Q后得到的正態(tài)分布的各隨機(jī)變量之間的協(xié)方差為 0，即 b jk ? Cov?X j , X k ? ? 0, j ? k ，這? ? ? 說明兩兩相關(guān)，即得 X 1 , X 2 ,., X n 獨(dú)立（定理 ）.-Reproduction Forbidden Page 2 of 3概率論例8（概率論基礎(chǔ)（李賢平） ，Page161）若 ? X 1

10、, X 2 ? 服從二維正態(tài)分布，其密度函數(shù)為f ? x, y ? ?1 2? 1? 2? ? 1 ? ? x ? a1 ?2 ?x ? a1 ? y ? a2 ? ? ? y ? a2 ?2 ? ? ? ? exp? ? 2? ? 2 ? 2 2 2 ? 1? 2 ? 2 ? ?2 1 ? ? ? ?1 1? ? ? ? a ? ? 0? 其中 a1 ? 0 ， a2 ? 0 ，即有 a ? ? 1 ? ? ? ? ，令 ? a ? ? 0? ? 2? ? ? ? Y1 ? ? X ? ? cos ? ? ? ? U? 1 ? ? ? ?Y ? ? X ? ? ? sin ? ? 2? ?

11、2? ? sin ? ? X 1 ? ? X 1 cos ? ? X 2 sin ? ? ? ， ?0 ? ? ? 2? ? ? ? ? ? cos ? ? X 2 ? ? ? X 1 sin ? ? X 2 cos ? ? ? ? ? ?則 ?Y1 ,Y2 ? 的聯(lián)合密度函數(shù)為：f ? y1 , y 2 ? ?其中，1 2? 1? 2? 1 exp? ?Ay12 ? 2By1 y2 ? Cy22 ? ? 2 1? ? 2 ? 2?1 ? ? ? ? sin 2 ?2 ?2A?cos 2 ? 12 ? ? 12? 2?cos ? sin ? 1? 2?B?cos? sin ?2 1?sin 2 ? ? cos 2 ? 1? 2 ? 1? 2?cos? sin ? 22C?sin 2 ? 2?cos? sin ?cos 2 ? 22由上式看出，二維正態(tài)隨機(jī)變量 ? X 1 , X 2 ? 經(jīng)過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)而得到的隨機(jī)變量 ?Y1 ,Y2 ? 仍然服從正態(tài)分 布。進(jìn)一步，若選 ? 使得 tan 2? ?2 ? 1? 2 ，則 B ? 0 ，因此 Y1 , Y2 獨(dú)立。這說明二元正態(tài)分布可經(jīng)適當(dāng) 2 ? 1