2012深圳一摸理數(shù)

1、密啟用前 試卷類型：A2012年深圳市高三年級第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理科） 2012.2本試卷共6頁，21小題，滿分150分考試用時120分鐘注意事項：1答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損，監(jiān)考教師分發(fā)的考生信息條形碼是否正確；之后務(wù)必用0.5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學(xué)校、姓名和考生號，同時，將監(jiān)考教師發(fā)放的條形碼正向準(zhǔn)確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū)，請保持條形碼整潔、不污損2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上不按要求填涂的，答案無效3非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答

2、，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，請注意每題答題空間，預(yù)先合理安排；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答案無效4作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點，再做答漏涂、錯涂、多涂的答案無效5考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回參考公式：如果事件互斥，那么；如果事件相互獨立，那么；若錐體的底面積為，高為，則錐體的體積為一、選擇題：本大題共8個小題；每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的1若（為虛數(shù)單位），則的虛部是ABCD2已知，是平面內(nèi)的兩條直線，則“直線”是“直線

3、，直線”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3已知直線的斜率為，在軸上的截距為1，則圖1_否輸入函數(shù)開始對任意實數(shù)及任意正數(shù),均有是結(jié)束輸出函數(shù)ABCD4執(zhí)行圖1的程序框圖，如果依次輸入函數(shù)：、，那么輸出的函數(shù)為ABCD5已知符號函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為ABCD6已知變量滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)僅在點處取到最大值，則實數(shù)的取值范圍為ABCD7“”含有數(shù)字，且有兩個數(shù)字2則含有數(shù)字，且有兩個相同數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為ABCD8設(shè)是實數(shù)集的非空子集，如果有，則稱是一個“和諧集”下面命題為假命題的是A存在有限集，是一個“和諧集”B對任意無理數(shù)，集合都是“和諧集”C若，且均

4、是“和諧集”，則D對任意兩個“和諧集”，若，則二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分本大題分為必做題和選做題兩部分（一）必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生都必須作答9 圖20.0300.0250.0200.0150.010分?jǐn)?shù)頻率/組距506070809010010某中學(xué)組織了“迎新杯”知識競賽，從參加考試的學(xué)生中抽出若干名學(xué)生，并將其成績繪制成頻率分布直方圖（如圖2），其中成績的范圍是50，100，樣本數(shù)據(jù)分組為50，60），60，70)，70，80)，80，90)，90，100，已知樣本中成績小于70分的個數(shù)是36，則樣本中成績在內(nèi)的學(xué)

5、生人數(shù)為 11已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線相切，則雙曲線的離心率 12已知等比數(shù)列的第項是二項式展開式的常數(shù)項，則 圖313如圖3所示的幾何體中，四邊形是矩形，平面平面，已知，且當(dāng)規(guī)定主（正）視方向垂直平面時，該幾何體的左（側(cè)）視圖的面積為若、分別是線段、上的動點，則的最小值為 （二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題的得分圖4DCOAB14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，點到曲線 上的點的最短距離為 15（幾何證明選講選做題）如圖4，是圓上的兩點，且，為的中點，連接并延長交圓于點，則 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過

6、程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（其中），其部分圖像如圖5所示（1）求函數(shù)的解析式； 圖5（2）已知橫坐標(biāo)分別為、的三點、都在函數(shù)的圖像上，求的值17（本小題滿分13分）隨機調(diào)查某社區(qū)個人，以研究這一社區(qū)居民在時間段的休閑方式與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：休閑方式性別看電視看書合計男女合計（1）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調(diào)查名在該社區(qū)的男性，設(shè)調(diào)查的人在這一時間段以看書為休閑方式的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和期望；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有%的把握認(rèn)為“在時間段的休閑方式與性別有關(guān)系”？參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：18（本小題滿分13分）如圖6，平行四邊形中，沿將折起，

7、使二面角是大小為銳角的二面角，設(shè)在平面上的射影為（1）當(dāng)為何值時，三棱錐的體積最大？最大值為多少？ABDCOABCD圖6（2）當(dāng)時，求的大小19（本小題滿分14分）如圖7，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點與點（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時圓的方程；圖7（3）設(shè)點是橢圓上異于的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標(biāo)原點，求證：為定值20（本小題滿分14分）已知函數(shù)，設(shè)曲線在與軸交點處的切線為，為的導(dǎo)函數(shù)，滿足（1）求；（2）設(shè)，求函數(shù)在上的最大值；（3）設(shè)，若對一切，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍21（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足：，（其中為自

8、然對數(shù)的底數(shù)）（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)，求證：， 2012年深圳市高三年級第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)(理科)答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則二、對計算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分?jǐn)?shù)一、選擇題：本大題每小題5分，滿分40分12345678AA

9、DCCBBD二、填空題：本大題每小題5分，滿分30分9 ； 10 ； 11； 12；13； 14； 15三、解答題16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（其中），其部分圖像如圖所示(1) 求函數(shù)的解析式； (2) 已知橫坐標(biāo)分別為、的三點、都在函數(shù)的圖像上，求的值解：（1）由圖可知， ， 1分最小正周期 所以 3分 又 ，且 所以， 5分 所以 6分(2) 解法一: 因為，所以， 8分，從而， 10分由，得. 12分解法二: 因為，所以， 8分, 則. 10分由，得. 12分【說明】 本小題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及余弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式，平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查了簡單的數(shù)

10、學(xué)運算能力17（本小題滿分13分）隨機調(diào)查某社區(qū)個人，以研究這一社區(qū)居民在時間段的休閑方式與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：性別休閑方式看電視看書合計男女合計（1）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調(diào)查名在該社區(qū)的男性，設(shè)調(diào)查的人在這一時間段以看書為休閑方式的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和期望；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有%的把握認(rèn)為“在時間段的休閑方式與性別有關(guān)系”？參考公式： ，其中 參考數(shù)據(jù)：解：（1）依題意，隨機變量的取值為：，且每個男性在這一時間段以看書為休閑方式的概率為 2分方法一：， ， 6分的分布列為: 8分方法二：根據(jù)題意可得， 4分， 6分 8分(2) 提出假設(shè)：休閑方式與性別

11、無關(guān)系根據(jù)樣本提供的列聯(lián)表得因為當(dāng)成立時，的概率約為，所以我們有%的把握認(rèn)為“在時間段性別與休閑方式有關(guān)” 13分【說明】本題主要考察讀圖表、隨機事件的概率、二項分布以及數(shù)學(xué)期望、獨立性檢驗等基礎(chǔ)知識，考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識18（本小題滿分13分）如圖，平行四邊形中，沿將折起，使二面角是大小為銳角的二面角，設(shè)在平面上的射影為ABDCOABCD （1）當(dāng)為何值時，三棱錐的體積最大？最大值為多少？ （2）當(dāng)時，求的大小解：（1）由題知為在平面上的射影，平面， 2分 4分， 5分當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，當(dāng)時，三棱錐的體積最大，最大值為 6分ABDCO(2)(

12、法一)連接， 7分平面，平面， 9分，故， 11分，ABDCOxyzE， 12分在中，得13分(法二) 過作于，則為矩形，以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， 9分于是， 10分由，得， 12分得，又為銳角， 13分【說明】本題主要考察空間點、線、面位置關(guān)系，棱錐的體積、二面角及三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力19（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點與點（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時圓的方程； （3）設(shè)點是橢圓上異于,的任意一點

13、，且直線分別與軸交于點，為坐標(biāo)原點，求證：為定值 解：（1）依題意，得，；故橢圓的方程為 3分（2）方法一：點與點關(guān)于軸對稱，設(shè)， 不妨設(shè)由于點在橢圓上，所以 （*） 4分 由已知，則， 6分由于，故當(dāng)時，取得最小值為由（*）式，故，又點在圓上，代入圓的方程得到 故圓的方程為： 8分方法二：點與點關(guān)于軸對稱，故設(shè)，不妨設(shè)，由已知，則 6分故當(dāng)時，取得最小值為，此時，又點在圓上，代入圓的方程得到 故圓的方程為： 8分(3) 方法一：設(shè)，則直線的方程為：，令，得， 同理：， 10分故 （*） 11分又點與點在橢圓上，故，12分代入（*）式，得： 所以為定值 14分方法二：設(shè)，不妨設(shè)，其中則直線的方

14、程為：，令，得，同理：， 12分故所以為定值 14分【說明】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、圓的方程、向量、圓與橢圓的位置關(guān)系、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想20（本小題滿分14分）已知函數(shù)，設(shè)曲線在與軸交點處的切線為，為的導(dǎo)函數(shù)，滿足（1）求；（2）設(shè)，求函數(shù)在上的最大值；（3）設(shè)，若對一切，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：（1）， 1分，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則2分直線與軸的交點為，且，即，且，解得， 4分則 5分（2）， 7分其圖像如圖所示當(dāng)時，根據(jù)圖像得：（）當(dāng)時，最大值為；（）當(dāng)時，最大值為；（）當(dāng)時，最

15、大值為 10分（3）方法一：，當(dāng)時，不等式恒成立等價于且恒成立，由恒成立，得恒成立，當(dāng)時， 12分又當(dāng)時，由恒成立，得，因此，實數(shù)的取值范圍是 14分方法二：（數(shù)形結(jié)合法）作出函數(shù)的圖像，其圖像為線段（如圖），的圖像過點時，或，要使不等式對恒成立，必須， 12分又當(dāng)函數(shù)有意義時，當(dāng)時，由恒成立，得，因此，實數(shù)的取值范圍是 14分方法三：， 的定義域是，要使恒有意義，必須恒成立，即或 12分由得，即對恒成立，令，的對稱軸為，則有或或解得 綜合、，實數(shù)的取值范圍是 14分【說明】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、二次函數(shù)和分段函數(shù)的圖像及其性質(zhì)的運用、不等式的求解與證明等基礎(chǔ)知識，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的計算推理能力及分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識21（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足：，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)，求證：， 解：（1），即 3分令，則，因此，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列， 5分 6分（2）（方法一）先證明當(dāng)時，設(shè)，則，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，則當(dāng)時，即8分因此，當(dāng)時， 9分當(dāng)時， 10分12分14分（方法二）數(shù)學(xué)歸納法證明（1），當(dāng)時，成立；，又，當(dāng)時，成立 8分（2