第十八章平行四邊形

1、18.1.1 平行四邊形及其性質(zhì)(一)一、 教學(xué)目的：1 理解并掌握平行四邊形的概念和平行四邊形對邊、對角相等的性質(zhì)2 會用平行四邊形的性質(zhì)解決簡單的平行四邊形的計(jì)算問題，并會進(jìn)行有關(guān)的論證3 培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力及邏輯推理能力二、 重點(diǎn)、難點(diǎn)1 重點(diǎn)：平行四邊形的定義，平行四邊形對角、對邊相等的性質(zhì)，以及性質(zhì)的應(yīng)用2 難點(diǎn)：運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算三、例題的意圖分析 例1是平行四邊形性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，題目比較簡單，其目的就是讓學(xué)生能運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，講課時，可以讓學(xué)生來解答例2是補(bǔ)充的一道幾何證明題，即讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證，

2、又讓學(xué)生從較簡單的幾何論證開始，提高學(xué)生的推理論證能力和邏輯思維能力，學(xué)會演繹幾何論證的方法此題應(yīng)讓學(xué)生自己進(jìn)行推理論證四、課堂引入1我們一起來觀察下圖中的竹籬笆格子和汽車的防護(hù)鏈，想一想它們是什么幾何圖形的形象？平行四邊形是我們常見的圖形，你還能舉出平行四邊形在生活中應(yīng)用的例子嗎？你能總結(jié)出平行四邊形的定義嗎？(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(2)表示：平行四邊形用符號“”來表示如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，ADBC，那么四邊形ABCD是平行四邊形平行四邊形ABCD記作“ ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”AB/DC ,AD/BC ， 四邊形ABCD是平行四邊形（判

3、定）； 四邊形ABCD是平行四邊形AB/DC， AD/BC（性質(zhì)）注意：平行四邊形中對邊是指無公共點(diǎn)的邊，對角是指不相鄰的角，鄰邊是指有公共端點(diǎn)的邊，鄰角是指有一條公共邊的兩個角而三角形對邊是指一個角的對邊，對角是指一條邊的對角（教學(xué)時要結(jié)合圖形，讓學(xué)生認(rèn)識清楚）2【探究】平行四邊形是一種特殊的四邊形，它除具有四邊形的性質(zhì)和兩組對邊分別平行外，還有什么特殊的性質(zhì)呢？我們一起來探究一下讓學(xué)生根據(jù)平行四邊形的定義畫一個一個平行四邊形，觀察這個四邊形，它除具有四邊形的性質(zhì)和兩組對邊分別平行外以，它的邊和角之間有什么關(guān)系？度量一下，是不是和你猜想的一致？ （1）由定義知道，平行四邊形的對邊平行根據(jù)平行

4、線的性質(zhì)可知，在平行四邊形中，相鄰的角互為補(bǔ)角（相鄰的角指四邊形中有一條公共邊的兩個角注意和第一章的鄰角相區(qū)別教學(xué)時結(jié)合圖形使學(xué)生分辨清楚）（2）猜想 平行四邊形的對邊相等、對角相等下面證明這個結(jié)論的正確性已知：如圖ABCD，求證：ABCD，CBAD，BD，BADBCD分析：作ABCD的對角線AC，它將平行四邊形分成ABC和CDA，證明這兩個三角形全等即可得到結(jié)論（作對角線是解決四邊形問題常用的輔助線，通過作對角線，可以把未知問題轉(zhuǎn)化為已知的關(guān)于三角形的問題） 證明：連接AC， ABCD，ADBC， 13，24又 ACCA， ABCCDA （ASA） ABCD，CBAD，BD又 1423， B

5、ADBCD由此得到：平行四邊形性質(zhì)1平行四邊形的對邊相等平行四邊形性質(zhì)2 平行四邊形的對角相等五、例習(xí)題分析例1（見教材例1） 例2（補(bǔ)充）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=CF，求證：AF=CE分析：要證AF=CE，需證ADFCBE，由于四邊形ABCD是平行四邊形，因此有D=B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根據(jù)等式性質(zhì)，可得BE=DF由“邊角邊”可得出所需要的結(jié)論證明略六、隨堂練習(xí)1填空：（1）在ABCD中，A=，則B= 度，C= 度，D= 度（2）如果ABCD中，AB=240，則A= 度，B= 度，C= 度，D= 度 （3）如果ABCD的周長為28cm，且AB：BC=25，那

6、么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm2如圖4.39，在ABCD中，AC為對角線，BEAC，DFAC，E、F為垂足，求證：BEDF七、課后練習(xí)1（選擇）在下列圖形的性質(zhì)中，平行四邊形不一定具有的是（ ）（A）對角相等 （B）對角互補(bǔ) （C）鄰角互補(bǔ) （D）內(nèi)角和是2在ABCD中，如果EFAD，GHCD，EF與GH相交與點(diǎn)O，那么圖中的平行四邊形一共有（ ）（A）4個 （B）5個 （C）8個 （D）9個3如圖，ADBC，AECD，BD平分ABC，求證AB=CE18.1.1 平行四邊形的性質(zhì)(二)一、 教學(xué)目的：1 理解平行四邊形中心對稱的特征，掌握平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)

7、2 能綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決平行四邊形的有關(guān)計(jì)算問題，和簡單的證明題3 培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力和邏輯思維能力二、 重點(diǎn)、難點(diǎn)1 重點(diǎn)：平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，以及性質(zhì)的應(yīng)用2 難點(diǎn)：綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算三、例題的意圖分析 本節(jié)課安排了兩個例題，例1是一道補(bǔ)充題，它是性質(zhì)3的直接運(yùn)用，然后對例1進(jìn)行了引申，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況選講，并歸納結(jié)論：過平行四邊形對角線的交點(diǎn)作直線交對邊或?qū)叺难娱L線，所得的對應(yīng)線段相等例1與后面的三個圖形是一組重要的基本圖形，熟悉它的性質(zhì)對解答復(fù)雜問題是很有幫助的例2是復(fù)習(xí)鞏固小學(xué)學(xué)過的平行四邊形面積計(jì)算這個例題比小學(xué)計(jì)算平行四

8、邊形面積的題加深了一步，需要應(yīng)用勾股定理，先求得平行四邊形一邊上的高，然后才能應(yīng)用公式計(jì)算在以后的解題中，還會遇到需要應(yīng)用勾股定理來求高或底的問題，在教學(xué)中要注意使學(xué)生掌握其方法四、課堂引入1復(fù)習(xí)提問：（1）什么樣的四邊形是平行四邊形？四邊形與平行四邊形的關(guān)系是：（2）平行四邊形的性質(zhì)：具有一般四邊形的性質(zhì)（內(nèi)角和是）角：平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ) 邊：平行四邊形的對邊相等 2【探究】：請學(xué)生在紙上畫兩個全等的ABCD和EFGH，并連接對角線AC、BD和EG、HF，設(shè)它們分別交于點(diǎn)O把這兩個平行四邊形落在一起，在點(diǎn)O處釘一個圖釘，將ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，觀察它還和EFGH重合嗎？你能從子中看

9、出前面所得到的平行四邊形的邊、角關(guān)系嗎？進(jìn)一步，你還能發(fā)現(xiàn)平行四邊形的什么性質(zhì)嗎？結(jié)論：（1）平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點(diǎn)是對稱中心； （2）平行四邊形的對角線互相平分五、例習(xí)題分析例1（補(bǔ)充） 已知：如圖421， ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F求證：OEOF，AE=CF，BE=DF證明：在 ABCD中，ABCD，1234又 OAOC(平行四邊形的對角線互相平分)， AOECOF（ASA）OEOF，AE=CF（全等三角形對應(yīng)邊相等） ABCD， AB=CD（平行四邊形對邊相等） ABAE=CDCF 即 BE=FD【引申】若例1中的條

10、件都不變，將EF轉(zhuǎn)動到圖b的位置，那么例1的結(jié)論是否成立？若將EF向兩方延長與平行四邊形的兩對邊的延長線分別相交（圖c和圖d），例1的結(jié)論是否成立，說明你的理由解略例2已知四邊形ABCD是平行四邊形，AB10cm，AD8cm，ACBC，求BC、CD、AC、OA的長以及ABCD的面積分析：由平行四邊形的對邊相等，可得BC、CD的長，在RtABC中，由勾股定理可得AC的長再由平行四邊形的對角線互相平分可求得OA的長，根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算公式：平行四邊形的面積=底×高（高為此底上的高），可求得ABCD的面積（平行四邊形的面積小學(xué)學(xué)過，再次強(qiáng)調(diào)“底”是對應(yīng)著高說的，平行四邊形中，任一邊都

11、可以作為“底”，“底”確定后，高也就隨之確定了）3.平行四邊形的面積計(jì)算解略六、隨堂練習(xí)1在平行四邊形中，周長等于48， 已知一邊長12，求各邊的長 已知AB=2BC，求各邊的長 已知對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AOD與AOB的周長的差是10，求各邊的長2如圖，ABCD中，AEBD，EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，則OBC的周長是_ _cm3ABCD一內(nèi)角的平分線與邊相交并把這條邊分成，的兩條線段，則ABCD的周長是_ _七、課后練習(xí)1判斷對錯（1）在ABCD中，AC交BD于O，則AO=OB=OC=OD （ ）（2）平行四邊形兩條對角線的交點(diǎn)到一組對邊的距離相等 （

12、 ）（3）平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等 （ ）（4）平行四邊形是軸對稱圖形 （ ）2在 ABCD中，AC6、BD4，則AB的范圍是_ _3在平行四邊形ABCD中，已知AB、BC、CD三條邊的長度分別為（x+3），（x-4）和16，則這個四邊形的周長是 4公園有一片綠地，它的形狀是平行四邊形，綠地上要修幾條筆直的小路，如圖，AB15cm，AD12cm，ACBC，求小路BC，CD，OC的長，并算出綠地的面積18.1.2（一） 平行四邊形的判定一、 教學(xué)目的：    1在探索平行四邊形的判別條件中，理解并掌握用邊、對角線來判定平行四邊形的方法  

13、;  2會綜合運(yùn)用平行四邊形的判定方法和性質(zhì)來解決問題    3培養(yǎng)用類比、逆向聯(lián)想及運(yùn)動的思維方法來研究問題二、重點(diǎn)、難點(diǎn)3 重點(diǎn)：平行四邊形的判定方法及應(yīng)用4 難點(diǎn)：平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理的靈活應(yīng)用三、例題的意圖分析 本節(jié)課安排了3個例題，例1是是平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用，此題最好先讓學(xué)生說出證明的思路，然后老師總結(jié)并指出其最佳方法例2與例3都是補(bǔ)充的題目，其目的就是讓學(xué)生能靈活和綜合地運(yùn)用平行四邊形的判定方法和性質(zhì)來解決問題例3是一道拼圖題，教學(xué)時，可以讓學(xué)生動起來，邊拼圖邊說明道理，即可以提高學(xué)生的動手能力和學(xué)生的思維能力，又可以

14、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣如讓學(xué)生再用四個不等邊三角形拼一個如圖的大三角形，讓學(xué)生指出圖中所有的平行四邊形，并說明理由四、課堂引入1欣賞圖片、提出問題展示圖片，提出問題，在剛才演示的圖片中，有哪些是平行四邊形？你是怎樣判斷的？2【探究】：小明的父親手中有一些木條，他想通過適當(dāng)?shù)臏y量、割剪，釘制一個平行四邊形框架，你能幫他想出一些辦法來嗎？讓學(xué)生利用手中的學(xué)具硬紙板條通過觀察、測量、猜想、驗(yàn)證、探索構(gòu)成平行四邊形的條件，思考并探討：（1）你能適當(dāng)選擇手中的硬紙板條搭建一個平行四邊形嗎？（2）你怎樣驗(yàn)證你搭建的四邊形一定是平行四邊形？（3）你能說出你的做法及其道理嗎？（4）能否將你的探索結(jié)論作為平行四邊形

15、的一種判別方法？你能用文字語言表述出來嗎？（5）你還能找出其他方法嗎？從探究中得到：平行四邊形判定方法1 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。平行四邊形判定方法2 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。五、例習(xí)題分析例1已知：如圖ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F是AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF求證：四邊形BFDE是平行四邊形分析：欲證四邊形BFDE是平行四邊形可以根據(jù)判定方法2來證明（證明過程參看教材）問；你還有其它的證明方法嗎？比較一下，哪種證明方法簡單例2（補(bǔ)充） 已知：如圖，ABBA，BCCB， CAAC求證：(1) ABCB，CABA，BCAC；(2) ABC的頂點(diǎn)分別是BCA

16、各邊的中點(diǎn)證明：(1) ABBA，CBBC， 四邊形ABCB是平行四邊形ABCB(平行四邊形的對角相等)同理CABA，BCAC(2) 由(1)證得四邊形ABCB是平行四邊形同理，四邊形ABAC是平行四邊形 ABBC， ABAC(平行四邊形的對邊相等) BCAC同理 BACA， ABCBABC的頂點(diǎn)A、B、C分別是BCA的邊BC、CA、AB的中點(diǎn) 例3（補(bǔ)充）小明用手中六個全等的正三角形做拼圖游戲時，拼成一個六邊形你能在圖中找出所有的平行四邊形嗎？并說說你的理由 解：有6個平行四邊形，分別是ABOF，ABCO， BCDO，CDEO，DEFO，EFAO 理由是：因?yàn)檎鼳BO正AOF，所以AB=BO

17、，OF=FA根據(jù) “兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，可知四邊形ABCD是平行四邊形其它五個同理 六、隨堂練習(xí)1如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么當(dāng)BC=_ _cm，CD=_ _cm時，四邊形ABCD為平行四邊形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么當(dāng)AO=_ _cm，DO=_ _cm時，四邊形ABCD為平行四邊形2已知：如圖，ABCD中，點(diǎn)E、F分別在CD、AB上，DFBE，EF交BD于點(diǎn)O求證：EO=OF3靈活運(yùn)用課本例題，如圖：由火柴棒拼出的一列圖形，第n個圖形由（n+1）個等邊三角形拼成，通過觀察，分析發(fā)現(xiàn)：第4個圖形中

18、平行四邊形的個數(shù)為_ _ （6個）第8個圖形中平行四邊形的個數(shù)為_ _ （20個）七、課后練習(xí)1（選擇）下列條件中能判斷四邊形是平行四邊形的是（ ） （A）對角線互相垂直 （B）對角線相等 （C）對角線互相垂直且相等 （D）對角線互相平分2已知：如圖，ABC，BD平分ABC，DEBC，EFBC， 求證：BE=CF18.1.2 平行四邊形的判定（二）一、 教學(xué)目的：    1掌握用一組對邊平行且相等來判定平行四邊形的方法    2會綜合運(yùn)用平行四邊形的四種判定方法和性質(zhì)來證明問題    3通過平行四邊形的性

19、質(zhì)與判定的應(yīng)用，啟迪學(xué)生的思維，提高分析問題的能力二、 重點(diǎn)、難點(diǎn)1重點(diǎn)：平行四邊形各種判定方法及其應(yīng)用，尤其是根據(jù)不同條件能正確地選擇判定方法2難點(diǎn)：平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用 三、例題的意圖分析 本節(jié)課的兩個例題都是補(bǔ)充的題目，目的是讓學(xué)生能掌握平行四邊形的第三種判定方法和會綜合運(yùn)用平行四邊形的判定方法和性質(zhì)來解決問題學(xué)生程度好一些的學(xué)校，可以適當(dāng)?shù)刈约涸傺a(bǔ)充一些題目，使同學(xué)們會應(yīng)用這些方法進(jìn)行幾何的推理證明，通過學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、尋找最佳解題途徑的能力四、課堂引入1 平行四邊形的性質(zhì)；2 平行四邊形的判定方法；3 【探究】 取兩根等長的木條AB、CD，將它們平行放置，

20、再用兩根木條BC、AD加固，得到的四邊形ABCD是平行四邊形嗎？結(jié)論：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形五、例習(xí)題分析例1（補(bǔ)充）已知：如圖，ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，求證：BE=DF 分析：證明BE=DF，可以證明兩個三角形全等，也可以證明四邊形BEDF是平行四邊形，比較方法，可以看出第二種方法簡單 證明： 四邊形ABCD是平行四邊形， ADCB，AD=CD E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)， DEBF，且DE=AD，BF=BC DE=BF 四邊形BEDF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形平行四邊形） BE=DF 此題綜合運(yùn)用了平行四邊形的性質(zhì)和判定，先運(yùn)用平行四邊形的

21、性質(zhì)得到判定另一個四邊形是平行四邊形的條件，再應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)得出結(jié)論；題目雖不復(fù)雜，但層次有三，且利用知識較多，因此應(yīng)使學(xué)生獲得清晰的證明思路例2（補(bǔ)充）已知：如圖，ABCD中，E、F分別是AC上兩點(diǎn)，且BEAC于E，DFAC于F求證：四邊形BEDF是平行四邊形分析：因?yàn)锽EAC于E，DFAC于F，所以BEDF需再證明BE=DF，這需要證明ABE與CDF全等，由角角邊即可 證明： 四邊形ABCD是平行四邊形， AB=CD，且ABCD BAE=DCF BEAC于E，DFAC于F， BEDF，且BEA=DFC=90° ABECDF （AAS） BE=DF 四邊形BEDF是平行四邊形

22、（一組對邊平行且相等的四邊形平行四邊形）六、課堂練習(xí)1（選擇）在下列給出的條件中，能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（ ）（A）ABCD，AD=BC （B）A=B，C=D （C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD2已知：如圖，ACED，點(diǎn)B在AC上，且AB=ED=BC， 找出圖中的平行四邊形，并說明理由3已知：如圖，在ABCD中，AE、CF分別是DAB、BCD的平分線求證：四邊形AFCE是平行四邊形七、課后練習(xí)1判斷題：(1)相鄰的兩個角都互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形； ( )(2)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形； ( )(3)一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四

23、邊形； ( )(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； ( )(5)對角線相等的四邊形是平行四邊形； ( )(6)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 ( )2延長ABC的中線AD至E，使DE=AD求證：四邊形ABEC是平行四邊形3在四邊形ABCD中，(1)ABCD；(2)ADBC；(3)ADBC；(4)AOOC；(5)DOBO；(6)ABCD選擇兩個條件，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的共有_對（共有9對）18.1.2 平行四邊形的判定（三）三角形的中位線一、 教學(xué)目的：1 理解三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì)2 能較熟練地應(yīng)用三角形中位線性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算3經(jīng)歷探索、猜想、證明

24、的過程，進(jìn)一步發(fā)展推理論證的能力4能運(yùn)用綜合法證明有關(guān)三角形中位線性質(zhì)的結(jié)論理解在證明過程中所運(yùn)用的歸納、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法二、 重點(diǎn)、難點(diǎn)1重點(diǎn)：掌握和運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì)2難點(diǎn)：三角形中位線性質(zhì)的證明（輔助線的添加方法） 三、例題的意圖分析 例1是是三角形中位線性質(zhì)的證明題，教材采用的是先證明后引出概念與性質(zhì)的方法，它一是要練習(xí)鞏固平行四邊形的性質(zhì)與判定，二是為了降低難度，因此教師們在教學(xué)中要把握好度建議講完例1，引出三角形中位線的概念和性質(zhì)后，馬上做一組練習(xí)，以鞏固三角形中位線的性質(zhì)，然后再講例2例2是一道補(bǔ)充題，選自老教材的一個例題，它是三角形中位線性質(zhì)與平行四邊形的判定的混合應(yīng)用

25、題，題型挺好，添加輔助線的方法也很巧，結(jié)論以后也會經(jīng)常用到，可根據(jù)學(xué)生情況適當(dāng)?shù)倪x講例2教學(xué)中，要把輔助線的添加方法講清楚，可以借助與多媒體或教具四、課堂引入1 平行四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；它們之間有什么聯(lián)系？2 你能說說平行四邊形性質(zhì)與判定的用途嗎？（答：平行四邊形知識的運(yùn)用包括三個方面：一是直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題例如求角的度數(shù)，線段的長度，證明角相等或線段相等等；二是判定一個四邊形是平行四邊形，從而判定直線平行等；三是先判定一個四邊形是平行四邊形，然后再眼再用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題）3創(chuàng)設(shè)情境實(shí)驗(yàn)：請同學(xué)們思考：將任意一個三角形分成四個全等的三角形，你是如何

26、切割的？（答案如圖）圖中有幾個平行四邊形？你是如何判斷的？五、例習(xí)題分析 例1如圖，點(diǎn)D、E、分別為ABC邊AB、AC的中點(diǎn)，求證：DEBC且DE=BC 分析：所證明的結(jié)論既有平行關(guān)系，又有數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想已學(xué)過的知識，可以把要證明的內(nèi)容轉(zhuǎn)化到一個平行四邊形中，利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)來證明結(jié)論成立，從而使問題得到解決，這就需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線來構(gòu)造平行四邊形 方法1：如圖（1），延長DE到F，使EF=DE，連接CF，由ADECFE，可得ADFC，且AD=FC，因此有BDFC，BD=FC，所以四邊形BCFD是平行四邊形所以DFBC，DF=BC，因?yàn)镈E=DF，所以DEBC且DE=BC

27、（也可以過點(diǎn)C作CFAB交DE的延長線于F點(diǎn)，證明方法與上面大體相同） 方法2：如圖（2），延長DE到F，使EF=DE，連接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四邊形ADCF是平行四邊形所以ADFC，且AD=FC因?yàn)锳D=BD，所以BDFC，且BD=FC所以四邊形ADCF是平行四邊形所以DFBC，且DF=BC，因?yàn)镈E=DF，所以DEBC且DE=BC定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線【思考】：（1）想一想：一個三角形的中位線共有幾條？三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？ （2）三角形的中位線與第三邊有怎樣的關(guān)系？ （答：（1）一個三角形的中位線共有三條；三角形的中位線與中線的區(qū)別主要

28、是線段的端點(diǎn)不同中位線是中點(diǎn)與中點(diǎn)的連線；中線是頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的連線 （2）三角形的中位線與第三邊的關(guān)系：三角形的中位線平行與第三邊，且等于第三邊的一半）三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行與第三邊，且等于第三邊的一半拓展利用這一定理，你能證明出在設(shè)情境中分割出來的四個小三角形全等嗎？（讓學(xué)生口述理由）例2（補(bǔ)充）已知：如圖（1），在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)求證：四邊形EFGH是平行四邊形分析：因?yàn)橐阎c(diǎn)E、F、G、H分別是線段的中點(diǎn)，可以設(shè)法應(yīng)用三角形中位線性質(zhì)找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系由于四邊形的對角線可以把四邊形分成兩個三角形，所以添加輔

29、助線，連接AC或BD，構(gòu)造“三角形中位線”的基本圖形后，此題便可得證證明：連接AC（圖（2），DAG中， AH=HD，CG=GD， HGAC，HG=AC（三角形中位線性質(zhì)）同理EFAC，EF=AC HGEF，且HG=EF 四邊形EFGH是平行四邊形此題可得結(jié)論：順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形六、課堂練習(xí)1（填空）如圖，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M、N，如果測得MN=20 m，那么A、B兩點(diǎn)的距離是 m，理由是 2已知：三角形的各邊分別為8cm 、10cm和12cm ，求連接各邊中點(diǎn)所成三角形的周長3如圖，ABC中，D

30、、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，（1）若EF=5cm，則AB= cm；若BC=9cm，則DE= cm；（2）中線AF與DE中位線有什么特殊的關(guān)系？證明你的猜想七、課后練習(xí)1（填空）一個三角形的周長是135cm，過三角形各頂點(diǎn)作對邊的平行線，則這三條平行線所組成的三角形的周長是 cm2（填空）已知：ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是ABC三邊的中點(diǎn)，如果DEF的周長是12cm，那么ABC的周長是 cm3已知：如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)求證：四邊形EFGH是平行四邊形18.2.1 矩形(一)一、教學(xué)目的：    1掌握矩形的概念和性質(zhì)，理解

31、矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系    2會初步運(yùn)用矩形的概念和性質(zhì)來解決有關(guān)問題    3滲透運(yùn)動聯(lián)系、從量變到質(zhì)變的觀點(diǎn)二、重點(diǎn)、難點(diǎn)1重點(diǎn)：矩形的性質(zhì)2難點(diǎn)：矩形的性質(zhì)的靈活應(yīng)用三、例題的意圖分析例1是教材的例1，它是矩形性質(zhì)的直接運(yùn)用，它除了用以鞏固所學(xué)的矩形性質(zhì)外，對計(jì)算題的格式也起了一個示范作用例2與例3都是補(bǔ)充的題目，其中通過例2的講解是想讓學(xué)生了解：（1）因?yàn)榫匦嗡膫€角都是直角，因此矩形中的計(jì)算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而利用方程的思想，解決直角三角形中的計(jì)算，這是幾何計(jì)算題中常用的方法；（2）“直角三角形斜邊上的高”是

32、一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關(guān)系式并能通過例2、例3的講解使學(xué)生掌握解決有關(guān)矩形方面的一些計(jì)算題目與證明題的方法四、課堂引入1展示生活中一些平行四邊形的實(shí)際應(yīng)用圖片（推拉門，活動衣架，籬笆、井架等），想一想：這里面應(yīng)用了平行四邊形的什么性質(zhì)？2思考：拿一個活動的平行四邊形教具，輕輕拉動一個點(diǎn)，觀察不管怎么拉，它還是一個平行四邊形嗎？為什么？（動畫演示拉動過程如圖）3再次演示平行四邊形的移動過程，當(dāng)移動到一個角是直角時停止，讓學(xué)生觀察這是什么圖形？（小學(xué)學(xué)過的長方形）引出本課題及矩形定義矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長方形)矩形是

33、我們最常見的圖形之一，例如書桌面、教科書的封面等都有矩形形象【探究】在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡皮筋分別套在相對的兩個頂點(diǎn)上（作出對角線），拉動一對不相鄰的頂點(diǎn)，改變平行四邊形的形狀 隨著的變化，兩條對角線的長度分別是怎樣變化的？ 當(dāng)是直角時，平行四邊形變成矩形，此時它的其他內(nèi)角是什么樣的角？它的兩條對角線的長度有什么關(guān)系？操作，思考、交流、歸納后得到矩形的性質(zhì)矩形性質(zhì)1 矩形的四個角都是直角矩形性質(zhì)2 矩形的對角線相等 如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，由性質(zhì)2有AO=BO=CO=DO=AC=BD因此可以得到直角三角形的一個性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半五、例

34、習(xí)題分析 例1已知：如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O，AOB=60°，AB=4cm，求矩形對角線的長分析：因?yàn)榫匦问翘厥獾钠叫兴倪呅?，所以它具有對角線相等且互相平分的特殊性質(zhì)，根據(jù)矩形的這個特性和已知，可得OAB是等邊三角形，因此對角線的長度可求解：四邊形ABCD是矩形，AC與BD相等且互相平分OA=OB又 AOB=60°， OAB是等邊三角形 矩形的對角線長AC=BD = 2OA=2×4=8（cm） 例2（補(bǔ)充）已知：如圖 ，矩形 ABCD，AB長8 cm ，對角線比AD邊長4 cm求AD的長及點(diǎn)A到BD的距離AE的長分析：（1）因?yàn)榫匦嗡膫€角都是直角，

35、因此矩形中的計(jì)算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計(jì)算，這是幾何計(jì)算題中常用的方法略解：設(shè)AD=xcm，則對角線長（x+4）cm，在RtABD中，由勾股定理：，解得x=6 則 AD=6cm（2）“直角三角形斜邊上的高”是一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關(guān)系式： AE×DB AD×AB，解得 AE 4.8cm 例3（補(bǔ)充） 已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，DFAE于F，若AE=BC 求證：CEEF 分析：CE、EF分別是BC，AE等線段上的一部分，若AFBE，則問題解決，而證明AFBE，只要證

36、明ABEDFA即可，在矩形中容易構(gòu)造全等的直角三角形 證明： 四邊形ABCD是矩形， B=90°，且ADBC 1=2 DFAE， AFD=90° B=AFD又 AD=AE， ABEDFA（AAS） AF=BE EF=EC 此題還可以連接DE，證明DEFDEC，得到EFEC六、隨堂練習(xí)1（填空）（1）矩形的定義中有兩個條件：一是 ，二是 （2）已知矩形的一條對角線與一邊的夾角為30°，則矩形兩條對角線相交所得的四個角的度數(shù)分別為 、 、 、 （3）已知矩形的一條對角線長為10cm，兩條對角線的一個交角為120°，則矩形的邊長分別為 cm， cm， cm，

37、cm2（選擇）（1）下列說法錯誤的是（ ） （A）矩形的對角線互相平分 （B）矩形的對角線相等（C）有一個角是直角的四邊形是矩形 （D）有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形（2）矩形的對角線把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）（A）2對 （B）4對 （C）6對 （D）8對3已知：如圖，O是矩形ABCD對角線的交點(diǎn)，AE平分BAD，AOD=120°，求AEO的度數(shù)七、課后練習(xí)1（選擇）矩形的兩條對角線的夾角為60°，對角線長為15cm，較短邊的長為（ ）(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm2在直角三角形ABC中，C=90°，AB=2AC

38、，求A、B的度數(shù)3已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中點(diǎn)，求證：EAED4如圖，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求證：CBE的度數(shù)18.2.1 矩形(二)一、教學(xué)目的：1理解并掌握矩形的判定方法2使學(xué)生能應(yīng)用矩形定義、判定等知識，解決簡單的證明題和計(jì)算題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力二、重點(diǎn)、難點(diǎn)1重點(diǎn)：矩形的判定2難點(diǎn)：矩形的判定及性質(zhì)的綜合應(yīng)用三、例題的意圖分析 本節(jié)課的三個例題都是補(bǔ)充題，例1在的一組判斷題是為了讓學(xué)生加深理解判定矩形的條件，老師們在教學(xué)中還可以適當(dāng)?shù)卦僭黾右恍┡袛嗟念}目；例2是利用矩形知識進(jìn)行計(jì)算；例3是一道矩形的判定題，三個題目從不同的角度出發(fā)，來

39、綜合應(yīng)用矩形定義及判定等知識的四、課堂引入1什么叫做平行四邊形？什么叫做矩形？2矩形有哪些性質(zhì)？3矩形與平行四邊形有什么共同之處？有什么不同之處？4事例引入：小華想要做一個矩形像框送給媽媽做生日禮物，于是找來兩根長度相等的短木條和兩根長度相等的長木條制作，你有什么辦法可以檢測他做的是矩形像框嗎？看看誰的方法可行？通過討論得到矩形的判定方法矩形判定方法1：對角錢相等的平行四邊形是矩形矩形判定方法2：有三個角是直角的四邊形是矩形（指出：判定一個四邊形是矩形，知道三個角是直角，條件就夠了因?yàn)橛伤倪呅蝺?nèi)角和可知，這時第四個角一定是直角）五、例習(xí)題分析 例1（補(bǔ)充）下列各句判定矩形的說法是否正確？為什么

40、？    （1）有一個角是直角的四邊形是矩形； （×）    （2）有四個角是直角的四邊形是矩形； （）    （3）四個角都相等的四邊形是矩形； （）     （4）對角線相等的四邊形是矩形； （×）     （5）對角線相等且互相垂直的四邊形是矩形； （×）（6）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形； （）（7）對角線相等，且有一個角是直角的四邊形是矩形； （×）（

41、8）一組鄰邊垂直，一組對邊平行且相等的四邊形是矩形；（）    （9）兩組對邊分別平行，且對角線相等的四邊形是矩形 () 指出：    （l）所給四邊形添加的條件不滿足三個的肯定不是矩形；    （2）所給四邊形添加的條件是三個獨(dú)立條件，但若與判定方法不同，則需要利用定義和判定方法證明或舉反例，才能下結(jié)論例2 （補(bǔ)充）已知 ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AOB是等邊三角形，AB=4 cm，求這個平行四邊形的面積分析：首先根據(jù)AOB是等邊三角形及平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)判定出ABCD是矩形，再

42、利用勾股定理計(jì)算邊長，從而得到面積值解： 四邊形ABCD是平行四邊形， AO=AC，BO=BD AO=BO， AC=BD ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）在RtABC中， AB=4cm，AC=2AO=8cm， BC=（cm） 例3 （補(bǔ)充）  已知：如圖（1），ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H求證：四邊形EFGH是矩形分析：要證四邊形EFGH是矩形，由于此題目可分解出基本圖形，如圖（2），因此，可選用“三個角是直角的四邊形是矩形”來證明證明： 四邊形ABCD是平行四邊形， ADBCDABABC=180°又 AE平分DAB，BG平分

43、ABC ，EABABG=×180°=90°AFB=90°同理可證 AED=BGC=CHD=90° 四邊形EFGH是平行四邊形（有三個角是直角的四邊形是矩形）六、隨堂練習(xí)1（選擇）下列說法正確的是（ ）（A）有一組對角是直角的四邊形一定是矩形（B）有一組鄰角是直角的四邊形一定是矩形（C）對角線互相平分的四邊形是矩形 （D）對角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形2已知：如圖 ，在ABC中，C90°， CD為中線，延長CD到點(diǎn)E，使得 DECD連接AE，BE，則四邊形ACBE為矩形七、課后練習(xí)1工人師傅做鋁合金窗框分下面三個步驟進(jìn)行

44、： 先截出兩對符合規(guī)格的鋁合金窗料（如圖），使ABCD，EFGH； 擺放成如圖的四邊形，則這時窗框的形狀是 形，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是： ； 將直角尺靠緊窗框的一個角（如圖），調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時（如圖），說明窗框合格，這時窗框是 形，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是： ；2在RtABC中，C=90°，AB=2AC，求A、B的度數(shù)18.2.2 菱形（一）一、教學(xué)目的：1掌握菱形概念，知道菱形與平行四邊形的關(guān)系2理解并掌握菱形的定義及性質(zhì)1、2；會用這些性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，會計(jì)算菱形的面積3通過運(yùn)用菱形知識解決具體問題，提高分析能力和觀察能力4根據(jù)平行四邊形與矩形、菱形的

45、從屬關(guān)系，通過畫圖向?qū)W生滲透集合思想二、重點(diǎn)、難點(diǎn)1教學(xué)重點(diǎn)：菱形的性質(zhì)1、22教學(xué)難點(diǎn)：菱形的性質(zhì)及菱形知識的綜合應(yīng)用 三、例題的意圖分析 本節(jié)課安排了兩個例題，例1是一道補(bǔ)充題，是為了鞏固菱形的性質(zhì)；例2是教材P108中的例2，這是一道用菱形知識與直角三角形知識來求菱形面積的實(shí)際應(yīng)用問題此題目，除用以鞏固菱形性質(zhì)外，還可以引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法來計(jì)算菱形的面積，以促進(jìn)學(xué)生熟練、靈活地運(yùn)用知識四、課堂引入1（復(fù)習(xí)）什么叫做平行四邊形？什么叫矩形？平行四邊形和矩形之間的關(guān)系是什么？2（引入）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一種特殊的平行四邊形矩形，其實(shí)還有另外的特殊平行四邊形，請看演示：（可將事先按如圖做成的一組

46、對邊可以活動的教具進(jìn)行演示）如圖，改變平行四邊形的邊，使之一組鄰邊相等，從而引出菱形概念菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形【強(qiáng)調(diào)】菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等讓學(xué)生舉一些日常生活中所見到過的菱形的例子五、例習(xí)題分析例1 （補(bǔ)充） 已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E 求證：AFD=CBE 證明：四邊形ABCD是菱形， CB=CD， CA平分BCD BCE=DCE又 CE=CE， BCECOB（SAS） CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD， AFD=FDCAFD=CBE 例2 （教材例3）略六、隨堂練習(xí)1若菱形的邊長等于一條對

47、角線的長，則它的一組鄰角的度數(shù)分別為 2已知菱形的兩條對角線分別是6cm和8cm ，求菱形的周長和面積3已知菱形ABCD的周長為20cm，且相鄰兩內(nèi)角之比是12，求菱形的對角線的長和面積4已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，且BE=DF求證：AEF=AFE 七、課后練習(xí)1菱形ABCD中，DA=31，菱形的周長為 8cm，求菱形的高2如圖，四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD長10cm，求（1）對角線AC的長度；（2）菱形ABCD的面積18.2.2 菱形（二）一、教學(xué)目的：1理解并掌握菱形的定義及兩個判定方法；會用這些判定方法進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算；2在菱形的

48、判定方法的探索與綜合應(yīng)用中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、動手能力及邏輯思維能力二、重點(diǎn)、難點(diǎn)1教學(xué)重點(diǎn)：菱形的兩個判定方法2教學(xué)難點(diǎn)：判定方法的證明方法及運(yùn)用 三、例題的意圖分析本節(jié)課安排了兩個例題，其中例1是教材的例4，例2是一道補(bǔ)充的題目，這兩個題目都是菱形判定方法的直接的運(yùn)用，主要目的是能讓學(xué)生掌握菱形的判定方法，并會用這些判定方法進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算這些題目的推理都比較簡單，學(xué)生掌握起來不會有什么困難，可以讓學(xué)生自己去完成 四、課堂引入1復(fù)習(xí)（1）菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形； （2）菱形的性質(zhì)1 菱形的四條邊都相等；性質(zhì)2 菱形的對角線互相平分，并且每條對角線平分一組對角；（3）運(yùn)用

49、菱形的定義進(jìn)行菱形的判定，應(yīng)具備幾個條件？（判定：2個條件）2【問題】要判定一個四邊形是菱形，除根據(jù)定義判定外，還有其它的判定方法嗎？3【探究】用一長一短兩根木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個小釘，做成一個可轉(zhuǎn)動的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個四邊形轉(zhuǎn)動木條，這個四邊形什么時候變成菱形？通過演示，容易得到：菱形判定方法1 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形注意此方法包括兩個條件：（1）是一個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直 菱形判定方法2 四邊都相等的四邊形是菱形五、例習(xí)題分析例1 （教材例4）略例2（補(bǔ)充）已知：如圖ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F求證：四邊形AF

50、CE是菱形證明： 四邊形ABCD是平行四邊形， AEFC 1=2又 AOE=COF，AO=CO， AOECOF EO=FO 四邊形AFCE是平行四邊形又 EFAC， AFCE是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形) 例3（選講） 已知：如圖，ABC中， ACB=90°，BE平分ABC，CDAB與D，EHAB于H，CD交BE于F求證：四邊形CEHF為菱形 略證：易證CFEH，CE=EH，在RtBCE中，CBE+CEB=90°，在RtBDF中，DBF+DFB=90°，因?yàn)镃BE=DBF，CFE=DFB，所以CEB=CFE，所以CE=CF所以，CF=CE=EH，CFE

51、H，所以四邊形CEHF為菱形六、隨堂練習(xí)1填空：（1）對角線互相平分的四邊形是 ；（2）對角線互相垂直平分的四邊形是_；（3）對角線相等且互相平分的四邊形是_；（4）兩組對邊分別平行，且對角線 的四邊形是菱形2畫一個菱形，使它的兩條對角線長分別為6cm、8cm3如圖，O是矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)，DEAC，CEBD，DE和CE相交于E，求證：四邊形OCED是菱形。七、課后練習(xí)1下列條件中，能判定四邊形是菱形的是 （ ）（A）兩條對角線相等 （B）兩條對角線互相垂直（C）兩條對角線相等且互相垂直 （D）兩條對角線互相垂直平分2已知：如圖，M是等腰三角形ABC底邊BC上的中點(diǎn)，DMAB，EFAB，MEAC，DGAC求證：四邊形MEND是菱形3做一做：設(shè)計(jì)一個由菱形組成的花邊圖案花邊的長為15 cm，寬為4 cm，由有一條對角線在同一條直線上的四個菱形組成，前一個菱形對角線的交點(diǎn)