圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程參數(shù)方程

1、17.6圓的方程(1教學(xué)目的:1、使學(xué)生掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn),能根據(jù)圓心、半徑準(zhǔn)確地寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正 確地求出其圓心和半徑2、能根據(jù)不同的條件,利用待定系數(shù)法、定義法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 3、能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題一、復(fù)習(xí)引入:1、具有什么性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡是圓?(圓的定義:平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡 稱(chēng)為圓2、求曲線(xiàn)方程的一般步驟為:(1建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線(xiàn)上任意一點(diǎn) M 的坐標(biāo); (2寫(xiě)出適合條件 P 的點(diǎn) M 的集合; (可以省略,直接列出曲線(xiàn)方程 (3用坐標(biāo)表示條件 P (M ,列出方程 0 , (=y x f ; (4化方程

2、 0 , (=y x f 為最簡(jiǎn)形式;(5證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn) (可以省略不寫(xiě) , 如有特殊情況,可以適當(dāng) 予以說(shuō)明 二、講解新課:1、已知圓心為 , (b a C ,半徑為 r , 如何求的圓的方程? 運(yùn)用上節(jié)課求曲線(xiàn)方程的方法, 從圓的定義出發(fā), 正確地推導(dǎo)出:222 ( (r b y a x =-+- 這個(gè)方程叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 :222 ( (r b y a x =-+-若圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)上,這時(shí) 0=b a ,則圓的方程就是 222r y x =+3、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)基本要素:圓心坐標(biāo)和半徑圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小,從而確定了圓,所以

3、,只要 r b a , , 三個(gè)量確定了且 r >0,圓 的方程就給定了。這就是說(shuō)要確定圓的方程,必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件,確定 r b a , , ,可以根據(jù)條件,利用 待定系數(shù)法來(lái)解決三、講解范例:例 1 求以 C(1,3為圓心,并且和直線(xiàn) 0743=-y x 相切的圓的方程 解:已知圓心坐標(biāo) C(1,3,故只要求出圓的半徑,就能寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 因?yàn)閳A C 和直線(xiàn) 0743=-y x 相切,所以半徑 r 就等于圓心 C 到這條直線(xiàn)的距離,根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,得 5164(3|73413|22=-+- -=r 因此,所求的圓的方程是 25256 3( 1(22=-+-y x變式:

4、求以 C(1,3為圓心,且和直線(xiàn) 0643=-y x 截得的弦長(zhǎng)為 8的圓的方程。(注 :在求圓的方程時(shí),要注意運(yùn)用圓的幾何意義,使問(wèn)題解決簡(jiǎn)化例 2已知圓的方程 222r y x =+,求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn) , (00y x M 的切線(xiàn)方程 分析:此題關(guān)鍵是求切線(xiàn)的斜率,為此須分兩種情形討論。 解:如圖,設(shè)切線(xiàn)的斜率為 k ,半徑 OM 的斜率為 1k , 因?yàn)閳A的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑,于是 11k k -= 001x y k = 00y x k -= 經(jīng)過(guò)點(diǎn) M 的切線(xiàn)方程是 (0000x x y xy y -=-,整理得 202000y x y y x x +=+因?yàn)辄c(diǎn) , (00y x M

5、 在圓上,所以 22020r y x =+,所求切線(xiàn)方程是 200r y y x x =+2點(diǎn)評(píng):1、 “待定系數(shù)法” :即設(shè)出圓的切線(xiàn)方程,將其代入到圓的方程,得到一個(gè)關(guān)于 x 或 y 的一元二次方程,利用判別式進(jìn)行求解。但此法不如用幾何方法簡(jiǎn)練實(shí)用。幾何方法:利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑 (本題利用了圓心到切點(diǎn) 的距離為半徑的知識(shí) ,由此確定了斜率的,從而得到點(diǎn)斜式的切線(xiàn)方程。以上兩種方法只能求出存在斜率的切線(xiàn),若斜率 不存在,則要結(jié)合圖形配補(bǔ)。2、若圓的方程是:222(r b y a x =-+-, , (00y x M 是圓上一點(diǎn),則過(guò) M 的切線(xiàn)方程是:200r y y x x =+

6、。例 3.求過(guò)點(diǎn) (3,1M ,且與圓 22(1 4x y -+=相切的直線(xiàn) l 的方程 .解一:(待定系數(shù)法 設(shè)切線(xiàn)方程為 1(3 y k x -=-,即 310kx y k -+=, 圓心 (1,0到切線(xiàn) l 的距離等于半徑 2, 2=,解得 34k =-,切線(xiàn)方程為 31(3 4y x -=-,即 34130x y +-=, 當(dāng)過(guò)點(diǎn) M 的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),其方程為 3x =,圓心 (1,0到此直線(xiàn)的距離等于半徑解二:利用切線(xiàn)方程公式,關(guān)鍵是求出切點(diǎn)坐標(biāo)。例 4. 一圓過(guò)原點(diǎn) O 和點(diǎn) (1,3 P ,圓心在直線(xiàn) 2y x =+上,求此圓的方程。 (學(xué)生思考、探索不同解法 解法一:(待

7、定系數(shù)法圓心在直線(xiàn) 2y x =+上, 設(shè)圓心坐標(biāo)為 (, 2 a a +, 則圓的方程為 222( (2 x a y a r -+-=, 點(diǎn) (0,0O 和 (1,3P 在圓上, 222222(0 (02 (1 (32 a a r a a r-+-=-+-=,解得 214258a r =-=,所以,所求的圓的方程為 221725( ( 448x y +-=.解法二:(定義法由題意:圓的弦 OP 的斜率為 3,中點(diǎn)坐標(biāo)為 13(, 22,弦 OP 的垂直平分線(xiàn)方程為 311( 232y x -=-,即 350x y +-=, 圓心在直線(xiàn) 2y x =+上,且圓心在弦 OP 的垂直平分線(xiàn)上,由

8、2350y x x y =+-=解得 1474x y =-=,即圓心坐標(biāo)為 C 17(, 44-, 又圓的半徑 |r OC =所以,所求的圓的方程為 221725( ( 448x y +-=.例 5. 已知一圓與 y 軸相切,在直線(xiàn) y x =上截得的弦 AB 長(zhǎng)為 30x y -=上,求此圓的方程 .解:圓心在直線(xiàn) 30x y -=上,設(shè)圓的方程為 222(3 ( x a y a r -+-=, 圓與 y 軸相切, 3|r a =, 又圓心到弦 AB |a = , 222|(3|a a +=, 1a =±, 3r =,3所以,所求的圓方程為 22(3 (1 9x y -+-=或 2

9、2(3 (1 9x y +=. 說(shuō)明:(1求圓的方程,常用待定系數(shù)法,要注意用部分條件設(shè)方程(少設(shè)未知數(shù) ,再用其余的條件求待定的系數(shù);四、課堂練習(xí) :P77 T1、 2、 3、 42、已知圓 2522=+y x ,求:(1過(guò)點(diǎn) A (4, -3的切線(xiàn)方程 (2過(guò)點(diǎn) B (-5, 2的切線(xiàn)方程分析:求過(guò)一點(diǎn)的切線(xiàn)方程,當(dāng)斜率存在時(shí)可設(shè)為點(diǎn)斜式,利用圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑列出 方程,求出斜率 k 的值,斜率不存在時(shí),結(jié)合圖形驗(yàn)證;當(dāng)然若過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程,可利用公式200r y y x x =+求得解:(1點(diǎn) A (4, -3在圓 2522=+y x 上 過(guò)點(diǎn) A 的切線(xiàn)方程為:0253

10、4=-y x(2點(diǎn) B (-5, 2不在圓 2522=+y x 上,當(dāng)過(guò)點(diǎn) B (-5, 2的切線(xiàn)的斜率存在時(shí),設(shè)所求切線(xiàn) 方程為 5(2+=-x k y ,即 025=+-k y kx 由5122=+k k ,得 2021=k 01452021=+-y x 當(dāng)過(guò)點(diǎn) B (-5, 2的切線(xiàn)斜率不存在時(shí),結(jié)合圖形可知 x =-5,也是切線(xiàn)方程 綜上所述,所求切線(xiàn)方程為:01452021=+-y x 或 x =-5五、小結(jié) :1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的概念及推導(dǎo); 2.如何求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:待定系數(shù)法、定義法 3.求圓的切 線(xiàn)方程的常用方法:公式法、待定系數(shù)法。圓的方程(圓的一般方程 教學(xué)目標(biāo):1. 掌握?qǐng)A

11、的一般方程,知道它的特點(diǎn);2. 能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而求出圓心坐標(biāo)和半徑; 3. 能用待定系數(shù)法由已知條件求出圓的方程.教學(xué)過(guò)程:(一復(fù)習(xí):1、寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程? 222將上述標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi),整理,得 22222220x y ax by a b r +-+-=, 將配方得:22224( ( 224D E D E Fx y +-+=. 把方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較,可以看出:(1當(dāng) 224 0D E F +->時(shí),方程表示以 (, 22D E - (2當(dāng) 2240D E F +-=時(shí),方程表示一個(gè)點(diǎn) (, 22D E -;(3當(dāng) 2240D E F +-<時(shí),方程不表示

12、任何圖形.結(jié)論:當(dāng) 2240D E F +->時(shí),方程表示一個(gè)圓,此時(shí),我們把方程叫做 圓的一般方程.2.圓的一般方程形式上的特點(diǎn):(1 2x 和 2y 的系數(shù)相同,且不等于 0; (2沒(méi)有 xy 這樣的二次項(xiàng).以上兩點(diǎn)是二元二次方程 220Ax Bxy Cy Dx Ey F +=表示圓的必要條件,但不是充分條件 .充要條 件是? (A=C0, B=0, 0422>-+FA E D 4說(shuō)明:1、要求圓的一般方程,只要用待定系數(shù)法求出三個(gè)系數(shù) D 、 E 、 F 就可以了.2、圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程各有什么優(yōu)點(diǎn)?(圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:有利于作圖。一般方程:有利于判別二 元二次方程是不是

13、圓的方程 (三例題分析:例 1.求過(guò)三點(diǎn) (0,0O 、 1(1,1 M 、 2(4,2M 的圓的方程,并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo). 解:設(shè)所求的圓方程為 220x y Dx Ey F +=, (0,0O 、 1(1,1 M 、 2(4,2M 在圓上, 0, 20, 42200. F D E F D E F =+=+=解得 860D E F =-=, 所求的圓方程為 22860x y x y +-+=,圓心坐標(biāo)為 (4,3 - ,半徑為 5r =. 注意:由于所求的圓過(guò)原點(diǎn),可設(shè)原的方程為 220x y Dx Ey +=;本題也可以換一種說(shuō)法:已知 12OM M 中,三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別 (0,

14、0O 、 1(1,1 M 、 2(4,2M ,求 21M OM 的外接圓的方程.例 2. 已知一曲線(xiàn)是與兩個(gè)定點(diǎn) (0,0O 、 (3,0A 距離的比為 12的點(diǎn)的軌跡, 求此曲線(xiàn)的方程, 并畫(huà)出曲線(xiàn). 解:設(shè) (, M x y 是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn),由題意:|1|2MO MA =, 12=,化簡(jiǎn)得 22230x y x +-=, 這就是所求的曲線(xiàn)方程 .把方程配方得:22(1 4x y +=,所以方程的曲線(xiàn)是以 (1,0 -為圓心, 2為半徑的圓. (作圖 注意:本題也可以一般化已知一曲線(xiàn)是與兩個(gè)定點(diǎn) A 、 B 距離的比為 (0 >的點(diǎn)的軌跡,求此曲線(xiàn)的方程,并畫(huà)出曲線(xiàn).提示:以直線(xiàn) A

15、B 為 x 軸,線(xiàn)段 AB 的中垂線(xiàn)為 y 軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè) (20AB a a =>,則可以 按照上例的方法求解。可得:(2222222112110x ya x a -+-+-=要注意討論 對(duì)曲線(xiàn)的形狀的影響.例 3. 已知圓 2280x y x y m +-+=與直線(xiàn) 260x y +-=相交于 P 、 Q 兩點(diǎn), 定點(diǎn) (1,1R , 若 PR Q R ,求實(shí)數(shù) m 的值.解:設(shè) 11(, P x y 、 22(, Q x y ,由 2280260x y x y m x y +-+=+-=,消去 y 得:254600x m +-=, 由題意:方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根, 6040

16、m ->, 15m <,由韋答定理:121204125x x x x m +=-, PR QR , 1PR QR k k =-, 121211111y y x x -=-,即 1212(1(1 (1(1 0x x y y -+-=,即 12121212( ( 20x x x x y y y y -+-+=, 5(3(3 9( 922244x x x x x x y y x x =-=-+=+, 126y y +=,代入得:125504x x +=,即 54(12 5045m -+=, 10m =,適合 15m <,所以,實(shí)數(shù) m 的值為 10.圓的方程(圓的參數(shù)方程教學(xué)目標(biāo):

17、1. 理解圓的參數(shù)方程,能熟練求出圓心在原點(diǎn)、半徑為 r 的圓的參數(shù)方程;2. 理解參數(shù) 的意義;3. 理解圓心不在原點(diǎn)的圓的參數(shù)方程,能根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑熟練地求出圓的參數(shù)方程; 4. 能進(jìn)行圓的一般方程和圓的參數(shù)方程的互化,并能用之解題 .教學(xué)過(guò)程:(一復(fù)習(xí):1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程.2、 P (x,y 是圖形 F 上的任意一點(diǎn),它在平移后圖形 F 上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 P (x ,y , 平移向量為(h,k =. 則平移 公式是?(1設(shè)圓 O 的圓心在原點(diǎn),半徑是 r ,圓 O 與 x 軸的正半軸的交點(diǎn)是 0P , 設(shè)點(diǎn)在圓 O 上從 0P 開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn) P , 0POP =,則

18、 點(diǎn) P 的位置與旋轉(zhuǎn)角 有密切的關(guān)系: 當(dāng) 確定時(shí), 點(diǎn) P 在圓上的位置也隨著確定; 當(dāng) 變化時(shí), 點(diǎn) P 在圓上的位置也隨著變化. 這說(shuō)明, 點(diǎn) P 的坐標(biāo)隨著 的變化而變化. 設(shè) 點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 (, x y ,你能否將 x 、 y 分別表示成以 為自變量的函數(shù)?根據(jù)三角函數(shù)的定義, cos sin x r y r =, 顯然,對(duì)于 的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的 點(diǎn) (, P x y 都在圓 O 上。我們把方程組叫做圓心為原點(diǎn)、半徑為 r 的 圓的參數(shù)方程 , 是參數(shù). (2圓心為 1(, O a b ,半徑為 r 的圓的參數(shù)方程是怎樣的?圓 1O 可以看成由圓 O 按向量 (,

19、 v a b =平移得到的(如圖, 由 11O P OP = 可以得到圓心為 1(, Oa b , 半徑為 r 的圓的參數(shù)方程是 cos sin x a r y b r =+=+ (為參數(shù)在取定的坐標(biāo)系中,如果曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) x 、 y都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù),即 (x f t y g t =并且對(duì)于 t 的每一個(gè)允許值,方程組所確定的點(diǎn) (, M x y 都在這條曲線(xiàn)上,那么方程組就叫做這條曲線(xiàn)的參數(shù)方程,聯(lián)系 x 、 y 之間關(guān)系的變數(shù)叫做 參變數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù).xy0Px(, P x yy相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō)，前面學(xué)過(guò)的直接給出曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo) x 、 y 關(guān)系的方程，叫做曲線(xiàn)的普通方程

20、普通方程 普通方程 將曲線(xiàn)的參數(shù)方程中的參數(shù)消去，可得到曲線(xiàn)的普通方程。參數(shù)方程和普通方程可以互化 2 2 2 如：將圓的參數(shù)方程的參數(shù) 消去，就得到圓的普通方程 ( x a + ( y b = r （三）例題分析： 例 1把下列參數(shù)方程化為普通方程： 2 x = 1+ t 2 x = a (t + 1 x = 2 + 3cos 2 t （1） （ 為參數(shù)）（2） （ t 為參數(shù)）（3） （t 為參數(shù)） b 1 2t y = 2 (t t y = 3+ 2sin y = 1+ t 2 x2 3 = cos ， (1 解：（1）(利用同角公式化簡(jiǎn) 利用同角公式化簡(jiǎn) ， 利用同角公式化簡(jiǎn) y 3

21、= sin ， (2 2 2 ( x 2 ( y 3 2 由 (1 2 + (2 2 得 + = 1 ，這就是所求的普通方程 9 4 y y 2 2 （2）（整體代入消元 整體代入消元）由原方程組得 = t ，把 t = 代入 x = 得x = ， 整體代入消元 2 y 2 x x 1+ t 1+ ( x 2 2 化簡(jiǎn)得： x + y 2 x = 0 （ x 0 ），這就是所求的普通方程 （3）平方后加減消元 平方后加減消元 說(shuō)明：1、 說(shuō)明： 、將參數(shù)方程和普通方程的互化，要注意參數(shù)的取值范圍與 x 、 y 的取值范圍之間的制約關(guān)系，保 持等價(jià)性2、注意消參的方法，及參數(shù)的幾何性質(zhì)。 例 2

22、如圖，已知點(diǎn) P 是圓 x 2 + y 2 = 16 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn) A (12, 0 ，當(dāng)點(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段 PA 的 中點(diǎn) M 的軌跡是什么？ 解：設(shè)點(diǎn) M ( x, y ，圓 x 2 + y 2 = 16 的參數(shù)方程為 x = 4 cos ， y = 4sin 4 cos + 12 x = 2 設(shè)點(diǎn) P (4 cos , 4 sin ，由線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 ， y = 4sin 2 y x = 2 cos + 6 P 即點(diǎn) M 軌跡的參數(shù)方程為 ， y = 2sin 點(diǎn) M 的軌跡是以點(diǎn) (6, 0 為圓心、 2 為半徑的圓 【思考】 ：這個(gè)問(wèn)題不用參數(shù)方程怎么解？（相關(guān)點(diǎn)法） 又解：設(shè) M ( x, y ， P ( x0 , y0 ， O x x0 + 12 x = 2 x0 = 2 x 12 點(diǎn) M 是線(xiàn)段 PA 的中點(diǎn)， ， ， y0 = 2 y y = y0 2 2 2 點(diǎn) P ( x0 , y0 在圓上， x0 + y0 = 16 ， (2 x 12 2 + (2 y 2 = 16 ， 2 2 即點(diǎn) M 的軌跡方程為 ( x 6 + y = 4 ， 點(diǎn) M 的軌跡是以點(diǎn) (6, 0 為圓心、 2 為半徑的圓 6 變式：若 Q 分 PA 的比為 1：2，求 Q 點(diǎn)的軌跡方程。 x = 3 + r cos , 例 3：設(shè)圓 （ 為參數(shù)）上有且僅有