高中數(shù)學最值問題

1、最值問題一、點擊高考最值問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它分布在各塊知識點，各個知識水平層面。以最值為載體，可以考查中學數(shù)學的所有知識點，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等諸多數(shù)學思想和方法，還可以考查學生的思維能力、實踐和創(chuàng)新能力。因此，它在高考中占有比較重要的地位?；仡櫧鼛啄旮呖?，從題型分布來看，大多數(shù)一道填空或選擇題，一道解答題；從分值來看，約占總分的10%左右。特別是2003年北京卷，選擇、填空題各一道，解答題有兩道，總分值有36分之多；2003年上海卷，填空題各一道，解答題有兩道，總分值有36分之多；2003年上海卷，填空題一道，解答題也是兩道，總分值有近30分，兩份試卷中均有一道實

2、際應用問題。由此看來，最值問題雖然是老問題，但一直十分活躍，尤其導數(shù)的引入，更是為最值問題的研究注入了新的活力。可以預見：2005年的高考命題中，有關(guān)最值問題，題型、題量、分值將保持穩(wěn)定，題目的背景會更貼近學生的實際生活，更關(guān)注社會熱點問題，難度不會太難。二、考點回顧:分析已有考法，最值問題的呈現(xiàn)方式一般有以下幾種：1、函數(shù)的最值；2、學科內(nèi)的其它最值，如三角形的面積最值問題、幾何體的體積最值問題、數(shù)列的最大項等等；3、字母的取值范圍；4、不等式恒成立問題，常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，例如：f(x)0對xR恒成立 f(x)的最小值0成立，f(x)0對xR恒成立f(x)的最大值0成立；5、實際應用問

3、題：實際應用問題中，最優(yōu)化問題占的比例較大，通過建模可化為最值問題。這類題已成為這幾年高考的熱點。可以肯定，這個熱度會繼續(xù)保持。三、知識概要1、求函數(shù)最值的方法：“數(shù)”和“形”，數(shù)形結(jié)合：配方法直接法均值不等式法單調(diào)性代數(shù)方法導數(shù)法判別式法間接法有界性函數(shù)的圖像平面幾何知識幾何方法線性規(guī)劃解析幾何斜率兩點間距離2、求幾類重要函數(shù)的最值方法；（1）二次函數(shù)：配方法和函數(shù)圖像相結(jié)合；（2）:均值不等式法和單調(diào)性加以選擇；（3）多元函數(shù)：數(shù)形結(jié)合成或轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。3、實際應用問題中的最值問題一般有下列三種模型：能直接判斷線性規(guī)劃建立目標函數(shù)曲函數(shù)的最值四、典型例題分析函數(shù)的最值例1(2002

4、83;全國卷·理·21) 設(shè)a為實數(shù)，（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值?！究疾槟康摹勘绢}主要考查函數(shù)的概念，函數(shù)的概念，函數(shù)的奇偶性和分段函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查分類討論的思路和邏輯思維能力。【例題詳解】(1)解法一：常規(guī)思路：利用定義。，若都不成立，故不是奇函數(shù)；若為偶函數(shù)，則，即此等式對恒成立，只能是.故時，為偶數(shù)；時，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。解法二：從特殊考慮： 又，故不可能是奇函數(shù)。若，則，為偶函數(shù)；若，則，知，故在時，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。（2）當時，由二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)知：若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在上的最小值為；若，函數(shù)在上的最小值為，且。當

5、時，函數(shù)。若，函數(shù)在上的最小值為，且；若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)函數(shù)在上的最小值為。綜上所述，當時，函數(shù)的最小值是；當時，函數(shù)的最小值為；當時，函數(shù)的最小值是?！咎貏e提示】1研究函數(shù)奇偶性的關(guān)鍵是考察函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱以及與是否具有相等或相反的關(guān)系；或從特殊情形去估計，再加以驗證。2二次函數(shù)的最值解，一般借助于二次函數(shù)的圖像，考察圖像的對稱軸與所給定義域區(qū)間的相對位置關(guān)系不確定，則需分類討論。3本題根據(jù)絕對值的定義去絕對值后，變形為分段函數(shù)，分段函數(shù)的最值，有些同學概念不清，把每段函數(shù)的最小值都認為是整個函數(shù)的最小值，從而出現(xiàn)了一個函數(shù)有幾個最小值的錯誤結(jié)論。例2、已知函數(shù)（1）

6、當時，求函數(shù)的最小值；（2）若對任意恒成立，試求實數(shù)的取值范圍。【考察目的】本題考查求函數(shù)的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數(shù)單調(diào)性，二次函數(shù)的配方法，考查不等式恒成立問題以及轉(zhuǎn)化化歸思想?！纠}詳解】（1）當時，。，。在區(qū)間上為增函數(shù)。在區(qū)間上的最小值為。（2）在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；在區(qū)間上恒成立；函數(shù)在區(qū)間上的最小值為3即【特別提示】1第（1）題中，這類函數(shù)，若，則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號是否成立，即用均值不等式來求最值時，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。2不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。例3、設(shè)P為圓+=1上的動點，則點P到直線的距離的最

7、小值為?！究疾槟康摹勘绢}考查直線和圓的基礎(chǔ)知識，解幾中的最值問題及多元函數(shù)的最值問題，考查數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學思想方法?！纠}詳解】解法一：設(shè)點P，則點P到直線的距離為：又，令，則當時，有最小值1。解法二：圓心O到直線的距離為2，故圓上的點P到直線的距離的最小值為211?！咎貏e提示】1本題是解析幾何中的最值問題，可借助于形的直觀性直接求解，如解法二；也可建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)而求函數(shù)的最值，如解法一。2解法一涉及到求多元函數(shù)的最值，一般是通過消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。3函數(shù)的最小值，有很多同學誤以為：當cos(取最小值1時，函數(shù)有最小值，忽視了絕對值。例4、設(shè)曲線在點處的切線與軸，軸所圍成的三角形面積為。

8、（1）求切線的方程；（2）求的最大值?！究疾槟康摹勘绢}考查導數(shù)公式，導數(shù)的幾何意義，以及導數(shù)的應用等導數(shù)的基礎(chǔ)知識，考查綜合應用能力?！纠}詳解】（1）在點M（t,e）處的切線的斜率為切線的方程為（2）令得令得 令又【特別提示】1.由導數(shù)的幾何意義知，函數(shù)在點M處的導數(shù)值就是曲線在點M處的切線的全斜率，這是本題的突破口2.建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)而求目標函數(shù)的最值，這是通法。3.導數(shù)法是求函數(shù)最值的通法，但不一定是最佳方法，注意選擇。最值的實際應用例1（2004·江蘇卷·19）制訂投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損。某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預

9、測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？【考查目的】本題主要考查簡單線性規(guī)劃的基本知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力?！纠}詳解】設(shè)投資人分別用萬元投資甲、乙兩個項目，由題意知目標函數(shù)上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分（含邊界）是可行域作直線的一組直線與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點，此時縱截距最大，這里點M是直線。解方程組得此時(萬元)。時取得最大值。答：投資人用4萬元投資甲項

10、目、6萬元投資乙項目，才能在確?？赡艿奶潛p不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大。【特別提示】1.有關(guān)用料最省、成本最低、利潤最大等問題，可考慮建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。2.本題的條件是一組二元一次不等式組，所求目標函數(shù)是二元一次線性函數(shù)，所以考慮應用線性規(guī)劃的知識來求解最值。3.應用線性規(guī)劃求解最值，關(guān)鍵是目標函數(shù)相應的直線的傾角的大小，角的大小不一樣，直線經(jīng)過可行域上的最大值點就不一樣。例2（2003·北京卷·理·19）有三個新興城鎮(zhèn)，分別位于A、B、C三點，且今計劃俁建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)居民就醫(yī)，準備建在的垂直平分線上的處（建立坐標系如

11、圖），（1）若希望點到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，點應位于何處？（2）若希望點到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，點P位于何處？【考查目的】本題主要考查二次函數(shù)、分段函數(shù)的最值、不等式等基本知識，考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力，考查分數(shù)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法?！纠}詳解】（1）由題設(shè)可知，設(shè)點的坐標為（），則點至三鎮(zhèn)距離的平方和為當時，函數(shù)取得最小值。點的坐標是（）。（2）解法一：至三鎮(zhèn)的最遠距離為由記當即時，在上是增函數(shù)，而在上是減函數(shù)。由此可知，當時，函數(shù)取得最小值當即時，函數(shù)在上先減后增，當時，取得最小值，而可見，當時，函數(shù)取得最小值當時，點P的坐標為；當時，點的坐標為（0，0）。其中。

12、解法二：點至三鎮(zhèn)的最遠距離為由于是當?shù)膱D象如圖（1）所示。當時，函數(shù)取得最小值。當?shù)膱D象如圖（2）所示當時，函數(shù)取得最小值。當時，點的坐標為當點的坐標為（0，0），其中【特別提示】1.有關(guān)涉及用料最省，成本最低，利潤最大，距離和最大（?。┑葢脝栴}，可考慮建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題來解決。2.解決第（2）問首先要理解“點到三鎮(zhèn)的最遠距離”的含義，才能分兩種情形列式。3.函數(shù)的單調(diào)性在求最值中有著重要作用，運用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是函數(shù)中常用的技巧之一。4.第（2）問的解法二，借助圖象比較大小，直觀有效，新穎別致，望加以體會。【例3】如圖，四邊形是一塊邊長為4km的正方形地域，地域

13、內(nèi)有一條河流，其經(jīng)過的路線是以中點為頂點且開口向右的拋物線（河流寬度忽略不計）.新長城公司準備投資建一個大型炬形游樂園（如圖所示）問如何施工才能使游樂園面積最大？并求出最大面積.【考查目的】本題考查解析幾何，函數(shù)最值以及導數(shù)應用等基本知識，考查建模解模的能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法。【例題詳解】以為原點，AB所在直線為y軸建立直角坐標系，依題意可設(shè)拋物線方程。四邊形ABCD是邊長為4的正方形，M為AB中點，點D坐標為（4,2）由此得42·4拋物線方程為設(shè)是曲線MD上任一點，則矩形游樂園面積S 對S求導，得令，得解之得 或當時，函數(shù)為增函數(shù)；當時， ，函數(shù)為減函數(shù)；所以當時，S有最

14、大值。此時，游樂園最大面積為【特別提示】1.通過建系，可把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題來解決。2.商次整式函數(shù)的最值通常應用導數(shù)來求解。五、能力訓練(一)、選擇題 1、已知，則的最小值是( ) A.-2 B.2 C.- D. 2、下列的函數(shù)中，最小值為4的是( )A. B.C. D. 3、函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值分別是( )A.1，-1 B.1，-17 C.23，-17 D.9，-19函數(shù)的最小值是( ) . A. B. C. D.3 5.在區(qū)間上，已知函數(shù)與在同一點取得相同的最小值，那么在上的最大值( )A. B.4 C.8 D. 6、某汽車運輸公司為增強市場競爭力，購買了一批豪華客車投入客運，據(jù)市場分析，每輛客車營運的總利潤(萬元)與營運年數(shù)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖) .若使每輛客車營運的年平均利潤最大，則每輛客車營運的年數(shù)為( ) . A.3 B.4 C.5 D.6(二)、填空題 7、已知，則的最小值是_. 8、若函數(shù)且在上的最大