高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)大全：空間向量與立體幾何

1、高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 空間向量與立體幾何一、考點概要：    1、空間向量及其運算      （1）空間向量的基本知識：           定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向線段表示空間向量，且方向相同、長度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量。         

2、0; 空間向量基本定理：            定理：如果三個向量不共面，那么對于空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使。且把叫做空間的一個基底，都叫基向量。            正交基底：如果空間一個基底的三個基向量是兩兩相互垂直，那么這個基底叫正交基底。         &

3、#160;   單位正交基底：當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱為單位正交基底，通常用表示。            空間四點共面：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間中任意一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使。         共線向量（平行向量）：           定義：

4、如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作。          規(guī)定：零向量與任意向量共線；           共線向量定理：對空間任意兩個向量平行的充要條件是：存在實數(shù)，使。              

5、60;  共面向量：           定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量；空間的任意兩個向量都是共面向量。           向量與平面平行：如果直線OA平行于平面或在內(nèi)，則說向量平行于平面，記作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。          &#

6、160;      共面向量定理：如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是：存在實數(shù)對x、y，使。           空間的三個向量共面的條件：當(dāng)、都是非零向量時，共面向量定理實際上也是、所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。           共面向量定理的推論：空間

7、一點P在平面MAB內(nèi)的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使得，或?qū)τ诳臻g任意一定點O，有。        空間兩向量的夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點O，作，（兩個向量的起點一定要相同），則叫做向量與的夾角，記作，且。兩個向量的數(shù)量積：         定義：已知空間兩個非零向量、，則叫做向量、的數(shù)量積，記作，即：。         規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)

8、量積為0。         注意：兩個向量的數(shù)量積也叫向量、的點積（或內(nèi)積），它的結(jié)果是一個實數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值。         數(shù)量積的幾何意義：叫做向量在方向上的投影（其中為向量和的夾角）。           即：數(shù)量積等于向量的模與向量在方向上的投影的乘積。    

9、60;    基本性質(zhì)：運算律：（2）空間向量的線性運算：       定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下：       加法：       減法：       數(shù)乘向量：       運算律：    

10、;    加法交換律：        加法結(jié)合律：        數(shù)乘分配律：二、復(fù)習(xí)點睛：    1、立體幾何初步是側(cè)重于定性研究，而空間向量則側(cè)重于定量研究。空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個十分有效的工具。    2、根據(jù)空間向量的基本定理，出現(xiàn)了用基向量解決立體幾何問題的向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，形成了用空間坐標(biāo)研究空間圖形的

11、坐標(biāo)法，它們的解答通常遵循“三步”：一化向量問題，二進(jìn)行向量運算，三回到圖形問題。其實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想與等價轉(zhuǎn)化思想的運用。    3、實數(shù)的運算與向量的運算既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律，但不滿足結(jié)合律，因此在進(jìn)行數(shù)量積相關(guān)運算的過程中不可以隨意組合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然適用，數(shù)量積的運算在許多方面和多項式的運算如出一轍，尤其去括號就顯得更為突出，下面兩個公式較為常用，請務(wù)必記住并學(xué)會應(yīng)用：。2、空間向量的坐標(biāo)表示：     （1）空間直角坐標(biāo)系：   

12、      空間直角坐標(biāo)系O-xyz，在空間選定一點O和一個單位正交基底，以點O為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，點O叫做原點，向量叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面。        右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90°角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向；構(gòu)成元素：點（原點）、線（x、y、z軸）、面（xOy平面，yOz平

13、面，zOx平面）；          空間直角坐標(biāo)系的畫法：作空間直角坐標(biāo)系O-xyz時，一般使xOy=135°(或45°), yOz=90°，z軸垂直于y軸，z軸、y軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸（或z軸）的一半；        （2）空間向量的坐標(biāo)表示：         已知空間直角坐

14、標(biāo)系和向量，且設(shè)為坐標(biāo)向量（如圖），由空間向量基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作。         在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對于空間任一點A，對應(yīng)一個向量，若，則有序數(shù)組(x，y，z)叫做點在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)， y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo)，寫點的坐標(biāo)時，三個坐標(biāo)間的順序不能變。         空間任一點的坐標(biāo)的確定：過P分別作三個

15、與坐標(biāo)平面平行的平面（或垂面），分別交坐標(biāo)軸于A、B、C三點，x=OA，y=OB，z=OC，當(dāng)與的方向相同時，x0，當(dāng)與的方向相反時，x0，同理可確y、z（如圖）。規(guī)定：一切空間向量的起點都是坐標(biāo)系原點，于是，空間任意一個向量與它的終點坐標(biāo)一一對應(yīng)。        一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。           設(shè)，    

16、0;      則：   （3）空間向量的直角坐標(biāo)運算： 空間兩點間距離：；       空間線段的中點M（x，y，z）的坐標(biāo)：；       球面方程： 二、復(fù)習(xí)點睛：    4、過定點O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點且一般具有相同的長度單位。這三條軸分別叫做z軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸）；統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。通常把x軸和y軸配置在水平面上，而

17、z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系，點O叫做坐標(biāo)原點。   5、空間直角坐標(biāo)系中的特殊點:      （1）點（原點）的坐標(biāo)：(0,0,0)；      （2）線（坐標(biāo)軸）上的點的坐標(biāo)：x軸上的坐標(biāo)為(x,0,0)，y軸上的坐標(biāo)為(0,y,0)，z軸上的坐標(biāo)為(0,0,z)；      （3）面（xOy平面、yOz平面、zOx平面）內(nèi)的點的坐標(biāo)：平面上的坐標(biāo)為(x,y,0)、平面上的坐標(biāo)為(0,y,z)、平面上的坐標(biāo)為(x,0,z)6、要使向量與z軸垂直，只要z=0即可。事實上，要使向量與哪一個坐標(biāo)軸垂直，只要向量的相應(yīng)坐標(biāo)為0即可