高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇-40-平面向量的數(shù)量積

1、40 平面向量的數(shù)量積教材分析兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一，對(duì)它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對(duì)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1. 理解并掌握平面向量的數(shù)量積、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)初步使用平面向量的數(shù)量積來處理有關(guān)

2、長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件2. 通過對(duì)數(shù)量積的引入和應(yīng)用，初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程和運(yùn)用過程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣任務(wù)分析兩個(gè)向量的數(shù)量積從形式和實(shí)質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個(gè)概念帶來了一些困難在學(xué)習(xí)時(shí)，要充分讓學(xué)生理解、明白兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積的值是這兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量夾角余弦的乘積，其符號(hào)由夾角余弦值的正負(fù)而確定兩向量的數(shù)量積“a·b”不同于兩實(shí)數(shù)之積“ab”通過實(shí)例理解a·bb·c與ac的關(guān)系，a·b0與a0或b0的關(guān)系，以及（a·b）ca（b·c）與（

3、ab）ca（bc）的不同教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情景如圖40-1所示，一個(gè)力f作用于一個(gè)物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計(jì)算這個(gè)力所做的功由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算Wsfcos其中fcos就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量問題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個(gè)向量來確定我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？二、建立模型1. 引導(dǎo)學(xué)生從“功”的模型中得到如下概念：已知兩個(gè)非零向量a與b，把數(shù)量abcos叫

4、a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作a·babcos其中是a與b夾角，acos（bcos）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為由上述定義可知，兩個(gè)向量與的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)說明：向量a與b的夾角是指把a(bǔ)，b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角，其中0當(dāng)時(shí)，稱a和b垂直，記作ab為方便起見，a與b的夾角記作a，b2. 引導(dǎo)學(xué)生思考討論根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出（1）設(shè)e是單位向量，a·eacosa，e（2）設(shè)a·b是非零向量，則aba·b0（3）a·aa2，于是a.（4）cosa，b.（5）a·bab（這與實(shí)數(shù)abab不同）三、

5、解釋應(yīng)用例題已知a5，b4，a，b120°，求a·b解：a·babcosa，b5×4×cos120°10練習(xí)1. 已知a3，在上的投影為2，求：（1）a·（2）a在b上的投影2. 已知：在ABC中，a5，b8，c60°，求·四、建立向量數(shù)量積的運(yùn)算律1. 出示問題：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運(yùn)算律，這樣數(shù)量積運(yùn)算才更富有意義回憶實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運(yùn)算律嗎？它們成立嗎？為什么？2. 運(yùn)算律及其推導(dǎo)已知：向量a，b，c和R，則（1）a&#

6、183;bb·a（交換律）證明：左abcos右（2）（a）·b（a·b）a·（b）（數(shù)乘結(jié)合律）證明：設(shè)a，b夾角為，當(dāng)0時(shí)，a與b的夾角為，（a）·b（a）·bcosabcos（a·b）；當(dāng)0時(shí)，a與b的夾角為（），（a）·babcos（）ab（cos）abcos（a·b）；當(dāng)0時(shí)，（a）·b0·b0（a·b）總之，（a）·b（a·b）；同理a·（b）（a·b）（3）（ab）·ca·cb·c（乘法對(duì)加法的

7、分配律）證明：如圖40-2，任取一點(diǎn)O，作a，cab（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即abcosacos1bcos2，cabcosc（acos1bcos2）cacos1cbcos2c·ac·b，（ab）·ca·cb·c思考：（1）向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律，即（a·b）ca（b·c）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果a·bc·b，那么ac嗎？五、應(yīng)用與深化例題1. 對(duì)實(shí)數(shù)a，b，有（ab）2a22abb2，（ab）（ab）a2b2類似地，對(duì)任意向量a，b，也有類似結(jié)論嗎？為什么？解

8、：類比完全平方和公式與平方差公式，有（ab）2a22a·bb2，（ab）·（ab）a2b2其證明是：（ab）2（ab）·（ab）a·aa·bb·ab·ba22a·bb2，（ab）·（ab）a·aa·bb·ab·ba2b2有類似結(jié)論2. 已知a6，b4，a，b60°，求（a2b）·（a3b）解：（a2b）·（a3b）a23a·b2b·a6b2a2abcos60°6b2723. 已知a3，b4，且a與b不共線當(dāng)

9、k為何值時(shí)，（akb）（akb）？解：（akb）（akb），即（akb）·（akb）0，即a2k2b20，即9k2×160，k±因此，當(dāng)k±時(shí)，有（akb）（akb）4. 已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，并且a，b，c，求abc解法1：abc2，abc22解法2：abc2（abc）2a2b2c22a·b2a·c2b·c1122×1×1×cos90°2×1× ×2×1××8，abc2練習(xí)1. a4，b3，（2a3b）·

10、（2ab）61，求a與b的夾角2. 在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，求···六、拓展延伸1. 當(dāng)向量a，b的夾角為銳角時(shí)，你能說明a·b的幾何意義嗎？如圖40-3，a·b，即以b在a上射影的長(zhǎng)和的長(zhǎng)為兩鄰邊的矩形面積（OAOA1）2. 平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，試說明平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系3. 三個(gè)單位向量a，b，c有相同終點(diǎn)且abc0，問：它們的起點(diǎn)連成怎樣的三角形？解法1：如圖40-5，abc1，abc0，abc，（ab）2（c）2，a2b22a·bc2，2a·bcos

11、AOC1，cosAOC，AOC120°同理BOCAOC120°，故AOB，BOC，BOC全等，ABACBC，即該ABC為等邊三角形解法2：如圖40-6，c，a，b，由abc0，即ab1，OADB為菱形又1，AOB120°同理AOCBOC120°，4. 在ABC中，···，問：O點(diǎn)在ABC的什么位置？解：由··，即·（）0，即·0，同理，故O是ABC的垂心點(diǎn)評(píng)這篇案例的一個(gè)突出特點(diǎn)是使用類比方法，即在研究向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律時(shí)，經(jīng)常以實(shí)數(shù)為對(duì)象進(jìn)行類比以物理學(xué)中的力對(duì)物體做功的實(shí)例，引入數(shù)量積的過程比較自然，學(xué)生容易接受在“拓展