外接球問(wèn)題典型例題

1、在三柱ABCA4G中，已知AA，平面ABC,AA=2,BC=2j3,/BAC=工，此2三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球的體積為（）A.32 二325 二D 31 二10【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)面垂直的性質(zhì)；球內(nèi)接多面體；球體積的公式.（如圖），【答案解析】A解析：解：直三棱ABC-ABC勺各頂點(diǎn)都在同一球面上，VABC中，？BAC亂.下底面節(jié)ABC的外心P為BC的中點(diǎn)，2同理，可得上底面VA1B1C1的外心Q為B1G的中點(diǎn)，再取PQ中點(diǎn)O ,連接PQ,則PQ與側(cè)棱平行，所以PQ，平面ABC可得：點(diǎn)0到A,B,C,A,B1,C1的距離相等，0點(diǎn)是三棱柱ABC-ABC7卜接球的球心1L1.RTVPOB中，B

2、P=-BC=V3,PQ=-AA1=1,22OB=JBP2+P02=2,即外接球半徑R=2,因此，三棱柱ABCAB0卜接球的球的體積為：V=4pR3=Wp23=32p.|333故選：A.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意并結(jié)合空間線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，可得三棱柱ABC-AB1G外接球的球心是上下底面斜邊中點(diǎn)的連線(xiàn)段PQ的中點(diǎn).在直角RTVPOB中，利用勾股定理算出OB的長(zhǎng)，即得外接球半徑R的大小，再用球的體積公式即可算出所求外接球的體積.四面體ABCD中，已知AB=CD=點(diǎn),AC=BD=a，AD=BC=場(chǎng)，貝U四面體ABCD的外接球的表面積（）A.25nB.45nC.50nD.100n【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的外接球的表面

3、積的求法；割補(bǔ)法的應(yīng)用.【答案解析】C解析：解：由 題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為 全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以廨,434，437為三邊的三角形作為底 面，且以分別x, y, z長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、 高分別為 x, y, z 的長(zhǎng)方體，并且 x2+y2=29, x2+z2=34 , y2+z2=37 ,則有（2R）252=x2+y2+z2=50 （ R為球的半徑），得R2=_5 ,所以球的表面積為S=4兀R2=50兀.故2選：C.【思路點(diǎn)撥】將 四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，通過(guò)求解長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑，然 后求解外接球的表面積.已知正四面

4、體的棱長(zhǎng)為 J2,則它的外接球的表面積的值為 .【知識(shí)點(diǎn)】球內(nèi)接多面體.【答案解析】3p解析：解：正四面體擴(kuò)展為正方體，它們的外接球是同一個(gè)球， 正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)就是球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)為：1；對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為：J3,.棱長(zhǎng)為J2的正四面體的外接球半徑為1/3 2所以外接球的表面積為4p Ir3 = 3p| M2【思路點(diǎn)撥】正 四面體擴(kuò)展為正方體，,故答案為3p .它們的外接球是同一個(gè)球，正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)就是球的直徑，求出直徑即可求出外接球半徑，可求外接球的表面積.如圖是某幾何體的三視圖，則 該幾何體的外接球的表面積 為（）A. 200xB. 1507rC 100kD. 507r惻視圖已知正三棱錐

5、 P-ABC,點(diǎn)P, A, B, C都在半徑為 3的求面上，若 PA, PB, PC兩兩互相垂直，則球心到截面 ABC的距離為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強(qiáng)，難度較大。該題若直接利用三棱錐來(lái)考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱正三棱鍵P-ABC可看作由正方體PADC-BEFG截得，如圖所示,PF為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，且尸F(xiàn) 平面這正方體校長(zhǎng)為則1TQ11、一匕動(dòng)“_尸-x-x2x2x2/?=?由一應(yīng)展一房紀(jì)，得332，所以3，因沙求心到平面ABC的距忑離為3.平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=

6、,即=亞,他CD,將其沿對(duì)角線(xiàn)BD折成四面體A-BCD,使平面MZX工平面BCD,若四面體A-2CP的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（）（A）2（B）37r（C）3（D）27r1 .A根據(jù)題意，如圖，可知用A/BD中，就二助7,8D二也，在R屜CD中,ED=a,CD=1,BC=忑，又因?yàn)槠矫?3DJ,平面8CR,所以球心就是EC的中點(diǎn),半徑為 2 ,所以球的體積為：32正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為8127二A.-B.16nC.9nD.【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為R,則二.棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,.R2=（4-R）2+（近）2,rW,.

7、球的表面積為4兀？（與）2=UL.故選：A444一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，俯視圖是一個(gè)等腰直角三角形,則該幾何體的外接球的表面積為【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖的應(yīng)用、球的表面積16【答案解析】上二解析：解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的側(cè)面SAC與底面垂直，高3SO為百，如圖：其中OA=OB=OC=1,SO,平面ABC,其外接球的球心在SO上，設(shè)球心為M,OM=x,則+x2=j3x，得x=遺,:外接球的半徑R=2/3.幾何體的外接球的表面積33S=4X4=16二.33再求若=30.【思路點(diǎn)撥】由三視圖解決幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的判斷出原幾何體的基本形狀特征；幾何體

8、的外接球的表面積與體積時(shí)，能直接確定圓心位置的可通過(guò)圓心位置求球的半徑,圓心位置難以確定可考慮用補(bǔ)形法轉(zhuǎn)化為正方體或長(zhǎng)方體外接球問(wèn)題；棱錐F-ABC中，平面PAC1平面=PC=AR=23tAC=%/卅4c若三棱銖P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為.18二如圖，三棱錐P-ABC中，/ABC=90它的三視圖如下，求該棱錐的（I）全面積；（n）內(nèi)切球體積；（出）外接球表面積.正視圖側(cè)視圖俯視圖【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù) 三視圖的定義正確讀取三棱錐 P-ABC中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系, 內(nèi)切球半徑、外切球半徑的求法 .【答案解析】(1) 48+12J2； (2) 36(4一向37T ; (3)34

9、3289 二解析：解：（1）由三視圖可知此三棱錐是：底面是腰長(zhǎng)為6的等腰直角三角形幾何體ABC,頂點(diǎn)P在底面上射影是底面直角三角形斜邊中點(diǎn)E,且高為4的三棱錐。 側(cè)面PAB、PAC的高都是5,底面斜邊長(zhǎng)6J2,所以全面積為：111_-662-65-624=4812、,2:222(2)設(shè)內(nèi)切球球心0,半徑r,則由Vp_ABC-VO_ABC+Vo_PAB+VO_PAC+VO_PBC得11664-114812,2r,解得r=6323272884-x2二所以?xún)?nèi)切球體積為343（3）設(shè)外接球球心M,半徑R,M在高PE所在直線(xiàn)上，因?yàn)?372,2-2c17989-：所以（R4）+（3J2）=R2,解得R=

10、17,所以外接球表面積為44?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）三視圖的定義正確讀取三棱錐P-ABC中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，從而求得三棱錐的全面積.（2）內(nèi)切球球心與三棱錐各頂點(diǎn)連線(xiàn)，把原三棱錐分割成四個(gè)小三棱錐，利用等體積法求內(nèi)切球半徑。（3）分析外切球球心位置，利用已知的數(shù)量，求外切圓半徑。三棱錐A-BCD的外接球?yàn)榍?，?的直徑是AD,且ABC,BCD都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則三棱錐A-BCD的體積是（）.212【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的體積【答案解析】A解析：因?yàn)榻孛鏋榈妊苯侨切?，其面積為B0C與直徑AD垂直而皿0=4所以三角形BOC1,2、21一父父=，而AD=v2所以二棱錐ABCD2224的體積為11

11、5223412【思路點(diǎn)撥】求棱錐的體積若直接利用所給的底面求體積不方便時(shí)，可通過(guò)換底面法或補(bǔ)形法或分割法求體積，本題采取分割法求體積即把一個(gè)棱錐分割成兩個(gè)棱錐的體積的和.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，俯視圖是一個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為側(cè)視圖【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖的應(yīng)用、球的表面積【答案解析】16二解析：解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的側(cè)面SAC與底面垂直，高so為耶，如圖:其中OA=OB=OC=1,SO,平面ABC,其外接球的球心在SO上，設(shè)球心為M,OM=x,則+X2=石一X，得x=心,:外接球的半徑R=Z，3,.幾何體的外接球的表面

12、積33S=44.33【思路點(diǎn)撥】由三視圖解決幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的判斷出原幾何體的基本形狀特征；再求幾何體的外接球的表面積與體積時(shí)，能直接確定圓心位置的可通過(guò)圓心位置求球的半徑，若圓心位置難以確定可考慮用補(bǔ)形法轉(zhuǎn)化為正方體或長(zhǎng)方體外接球問(wèn)題已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，/AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為A.36兀B.64兀C.144兀D.256?！敬鸢浮緾【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最11c1a大，設(shè)球O的半徑為R,此時(shí)VO“BC=VCOB=XR2MR=-R3=36,故R=6,則OABCC

13、-AOB326球O的表面積為._2S=4nR=144元,故選C.SC為已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的求面上，AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,球O的直徑，且SC=2;則此棱錐的體積為()2322(A)(B)(C)(D)6632【答案】A設(shè)球心為Of過(guò)ABC三點(diǎn)的小園的圓心為。1r則001，平面ABC,延戶(hù)C。1交球于點(diǎn)D,川士口_1_=面氏8。.X0廣323，00.1人達(dá)）2二包，、332J&，高SD=200i二,3二-ABC是邊長(zhǎng)為工的正三角形，?.SABC=r4v1JI2以丘3436I-：故答案為上.6直三棱柱44G的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若否避g3g_斑,則此球的表面積等于。解:在A(yíng)A8C中您二4c二2,BAC二120，可得BC=2M，由正弦定理，可得如犯外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為。，球