離散系統(tǒng)時(shí)域描述差分方程

1、13.1 離散系統(tǒng)時(shí)域描述離散系統(tǒng)時(shí)域描述差分方程差分方程3.2 z變換變換 3.3 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)3.4 離散系統(tǒng)的方塊圖分析離散系統(tǒng)的方塊圖分析 3.5 離散系統(tǒng)的頻域描述離散系統(tǒng)的頻域描述3.6 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3.7 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例2 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ，采樣后為，采樣后為 ( )f t()f kT簡(jiǎn)寫(xiě)簡(jiǎn)寫(xiě)( )f k一階向前差分：一階向前差分：二階向前差分：二階向前差分： ( )(1)( )f kf kf k2( )(1)( )f kf kf k (2)2 (1)( )f kf kf kn階向前差分：階向前差分： 11( )(1)( )nnnf

2、 kf kf k 一階向后差分：一階向后差分： 二階向后差分：二階向后差分： n階向后差分：階向后差分： 11( )( )(1)nnnf kf kf k ( )( )(1)f kf kf k2( )( )( )2 (1)(2)f kf kf kf kf k 3差分方程是確定時(shí)間序列的方程差分方程是確定時(shí)間序列的方程 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)22( )/( )/( )( )d c tdtadc tdtbc tkr t微分用差分代替微分用差分代替 222( )/( )(2)2 (1)( )d c tdtc tc kc kc k ( )/(1)( )dc tdtc kc k (2)2 (1)( ) (1)(

3、 )( )( )c kc kc ka c kc kbc kkr k(2)(2) (1)(1) ( )( )c kac kab c kkr k12(2)(1)( )( )c ka c ka c kkr k一般離散系統(tǒng)的差分方程：一般離散系統(tǒng)的差分方程： 12()(1)(2)( )nc kna c kna c kna c k1()(1)( )omb r kmbr kmb r k差分方程還可用向后差分表示為：差分方程還可用向后差分表示為：12( )(1)(2)()nc ka c ka c ka c kn01( )(1)()mb r kbr kb r kmmnmn( )c k代替代替( )c t代替代

4、替( )r k( )r t4 差分方程的解也分為通解與特解。差分方程的解也分為通解與特解。 通解是與方程初始狀態(tài)有關(guān)的解。通解是與方程初始狀態(tài)有關(guān)的解。 特解與外部輸入有關(guān)，它描述系統(tǒng)在外部輸入作用下的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。特解與外部輸入有關(guān)，它描述系統(tǒng)在外部輸入作用下的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。例例3-1 已知差分方程已知差分方程 ( )0.5 (1)( )c kc kr k(0)0c( )1r k ( )c k，試求，試求( )( )0.5 (1)c kr kc k解：采用遞推迭代法，有：解：采用遞推迭代法，有：1,(1)(1)0.5 (1 1)10.5 (0)1kcrcc 2,(2)(2)0.5 (2 1)10.5

5、 (1)10.51.5kcrcc 3,(3)(3)0.5 (3 1)1 0.5 (2)1 0.5 1.51.75kcrcc 5例例3-1 采用采用MATLAB程序求解程序求解解序列為：解序列為：k=0，1，9時(shí)，時(shí)，n=10;% 定義計(jì)算的點(diǎn)數(shù)定義計(jì)算的點(diǎn)數(shù)c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定義輸入輸出和點(diǎn)數(shù)的初值定義輸入輸出和點(diǎn)數(shù)的初值for i=2:n c(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,k:o) %繪輸出響應(yīng)圖，每一點(diǎn)上用繪輸出響應(yīng)圖，每一點(diǎn)上用o表示表示MATLAB程序：程序： c=0，1.0000，1.500

6、0， 1.7500，1.8750， 1.9375，1.9688， 1.9844，1.9922， 1.9961，差分方程的解序列表示差分方程的解序列表示 說(shuō)明：另一個(gè)求解方法是利用說(shuō)明：另一個(gè)求解方法是利用z變換求解。變換求解。 63.1 離散系統(tǒng)時(shí)域描述離散系統(tǒng)時(shí)域描述差分方程差分方程3.2 z變換變換 3.3 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)3.4 離散系統(tǒng)的方塊圖分析離散系統(tǒng)的方塊圖分析3.5 離散系統(tǒng)的頻域描述離散系統(tǒng)的頻域描述3.6 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3.7 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例71. z變換變換采樣信號(hào)采樣信號(hào) 0*( )() ()kftf kTtkT0*( )*( )

7、()ksTkFsL ftf kT e0( )()kkF zf kT zsTzeln /sz T1ln*( )( )szTFsF z采樣信號(hào)的采樣信號(hào)的z變換變換注意：注意：z變換中，變換中，z-1代表信號(hào)滯后一個(gè)采樣周期，可代表信號(hào)滯后一個(gè)采樣周期，可稱為單位延遲因子。稱為單位延遲因子。 8 在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)控制工程中多數(shù)信號(hào)，在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)控制工程中多數(shù)信號(hào)，z變換所表示的變換所表示的無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的，并可寫(xiě)成閉和形式。無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的，并可寫(xiě)成閉和形式。 z的有理分式：的有理分式： z-1的有理分式的有理分式: 零、極點(diǎn)形式：零、極點(diǎn)形式：*( ), ( ), (), ( )Z ftZ

8、f tZ f kTZ F s11101110()( )mmmnnnK zdzd zdF zzczc zcmn1111011110(1)( )1lmmmnnnKzdzd zd zF zczc zc z lnm11()()( )( )( )()()mnK zzzzKN zF zD zzpzpmn9 求與求與z變換相對(duì)應(yīng)的采樣序列函數(shù)的過(guò)程稱為變換相對(duì)應(yīng)的采樣序列函數(shù)的過(guò)程稱為z反變換。反變換。z反變換唯一，且對(duì)應(yīng)的是采樣序列值。反變換唯一，且對(duì)應(yīng)的是采樣序列值。 1* ( )( )()ZF zftf kT1 ( )( )ZF zf tz變換只能反映采樣點(diǎn)的信號(hào)，不能反映采樣點(diǎn)之間的行為。變換只能反

9、映采樣點(diǎn)的信號(hào)，不能反映采樣點(diǎn)之間的行為。 101線性定理線性定理2實(shí)位移定理（時(shí)移定理）實(shí)位移定理（時(shí)移定理）(1)右位移（延遲）定理右位移（延遲）定理(2)左位移（超前）定理左位移（超前）定理3復(fù)域位移定理復(fù)域位移定理 12( )( )( )( )Z f tf taF zbF z ()( )nZ f tnTzF z10 ()( )()nnkkZ f tnTzF zf kT z( )()ataTZ ef tF ze114初值定理初值定理5終值定理終值定理 若存在極限若存在極限lim( )zF z，則有：，則有：(0)lim( )zfF z假定函數(shù)假定函數(shù)( )F z全部極點(diǎn)均在全部極點(diǎn)均在z

10、平面的單位圓內(nèi)平面的單位圓內(nèi)或最多有一個(gè)極點(diǎn)在或最多有一個(gè)極點(diǎn)在z=1處，則處，則 111lim()lim(1) ( )lim(1) ( )kzzf kTzF zzF z121. z變換方法變換方法(1) 級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法(根據(jù)定義根據(jù)定義)例例3-6 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù) 的的z變換變換 ( )tf te)2()(1)(2*TteTtetfTT2211)(zezezFTT0kkkTze11111|zezeTT條件13利用利用s域中的部分分式展開(kāi)法域中的部分分式展開(kāi)法(2) F(s) 的的z變換變換 ( )f t*( )ft（L反變換）反變換） ( )F s)(zF(z變換變換)(采樣采樣

11、) 例例3-7 試求試求的的z變換。變換。) 1(1)(sssF解：解： 111( )(1)1F ss sss111( )11tf tLess (1)( ) ( )11(1)()TtTTzzzeF zZ F sZezzezze另一種由另一種由F(s) 求取求取F(z) 的方法是留數(shù)計(jì)算方法。本書(shū)對(duì)此不予討論的方法是留數(shù)計(jì)算方法。本書(shū)對(duì)此不予討論 1212( )ininCCCCF sssssssss14利用利用MATLAB軟件中的符號(hào)語(yǔ)言工具軟件中的符號(hào)語(yǔ)言工具箱進(jìn)行箱進(jìn)行F(s)部分分式展開(kāi)部分分式展開(kāi)已知已知，通過(guò)部分分式展開(kāi)法求，通過(guò)部分分式展開(kāi)法求F(z) 。22(1) (3)( )ss

12、 ssF sF=sym(s+2)/(s*(s+1)2*(s+3)； %傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)F(s)進(jìn)行符號(hào)定義進(jìn)行符號(hào)定義numF,denF=numden(F)；%提取分子分母提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%將分母轉(zhuǎn)化為一般多項(xiàng)式將分母轉(zhuǎn)化為一般多項(xiàng)式pdenF=sym2poly(denF)；%將分子轉(zhuǎn)化為一般多項(xiàng)式將分子轉(zhuǎn)化為一般多項(xiàng)式R,P,K=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展開(kāi)部分分式展開(kāi)MATLAB程序：程序： 運(yùn)行結(jié)果：運(yùn)行結(jié)果：R=0.0833-0.7500-0.50000.6667P=-3.0000-1.0000-1.00000K=（此題無(wú)

13、（此題無(wú)K值）值） 對(duì)應(yīng)部分分式分解結(jié)果為：對(duì)應(yīng)部分分式分解結(jié)果為： 21111( )0.08330.750 00.500 00.666 731(1)F sssss15(3) 利用利用z變換定理求取變換定理求取z變換式變換式例例3-8 已知已知f (t)=sin t的的z變換變換 的的z變換。變換。解：利用解：利用z變換中的復(fù)位移定理可以很容易得到變換中的復(fù)位移定理可以很容易得到 2sin( )2 cos1zTF zzzT試求試求 1( )sinatf tet2222sinsinsin2cos12cosaTaTataTaTaTaTezTezTZ etz ezeTzzeTe16(4) 查表法查表

14、法 實(shí)際應(yīng)用時(shí)可能遇到各種復(fù)雜函數(shù)，不可能實(shí)際應(yīng)用時(shí)可能遇到各種復(fù)雜函數(shù)，不可能采用上述方法進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算。實(shí)際上，前人采用上述方法進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算。實(shí)際上，前人已通過(guò)各種方法針對(duì)常用函數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，已通過(guò)各種方法針對(duì)常用函數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，求出了相應(yīng)的求出了相應(yīng)的F(z)并列出了表格，工程人員并列出了表格，工程人員應(yīng)用時(shí)，根據(jù)已知函數(shù)直接查表即可。具體應(yīng)用時(shí)，根據(jù)已知函數(shù)直接查表即可。具體表格見(jiàn)附錄表格見(jiàn)附錄A。 部分分式部分分式 )(tf)(tfi查表查表 )(zFi求和求和 )(zF 部分分式部分分式 查表查表 )(zFi求和求和 )(zF)(sF( )iF s17(1) 查表法查表法（可以直接從

15、表中查得原函數(shù)）（可以直接從表中查得原函數(shù)）如已知如已知z變換函數(shù)變換函數(shù)F(z) ，可以依，可以依F(z) 直接從直接從給定的表格中求得它的原函數(shù)給定的表格中求得它的原函數(shù)f *(t) 。18(2) 部分分式法部分分式法（較復(fù)雜，無(wú)法直接從表格中查其原函數(shù)）（較復(fù)雜，無(wú)法直接從表格中查其原函數(shù)）1212( )nnAAAF zzzzzzzz1212( )nnA zAzA zF zzzzzzz 部分分式部分分式 查表查表 求和求和 )(zF)(zFi)(*tfi)(*tf查表查表 )(*tf19例例3-9 求下式的求下式的z反變換反變換22223(3)( )21(1)zzzzF zzzzMATL

16、AB程序：程序： Fz=sym(-3*z2+z)/(z2-2*z+1)；%進(jìn)行符號(hào)定義進(jìn)行符號(hào)定義F=Fz/z；numF,denF=numden(F)；%提取分子分母提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%將分母轉(zhuǎn)化為一般多項(xiàng)式將分母轉(zhuǎn)化為一般多項(xiàng)式pdenF=sym2poly(denF)；R,P,K=residue(pnumF,pdenF)% 部分分式展開(kāi)部分分式展開(kāi) 2( )23(1)1F zzzz 223( )(1)1zzF zzz 查表可得查表可得 ( )23 ( )f kku k 10( )00ku kk其中其中 20(3) 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法）冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法

17、）12( )(0)( )()()kF zff T zf zT zf kT z*( )(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )() ()ftftf TtTfTtTf kTtkT例例3-10 已知已知 11210( )1 1.50.5zF zzz，求，求 *( )ft1234( )101517.518.75F zzzzz*( )0 10 () 15 (2 )fttTtT17.5 (3 )18.75 (4 )tTtT對(duì)該例，從相關(guān)系數(shù)中可以歸納得：對(duì)該例，從相關(guān)系數(shù)中可以歸納得：*0( )20(1 0.5 ) ()kkfttkT21例例3-11 用用z變換法求差分方程變換法求差分方程 利用利用z

18、變換求解線性常系數(shù)差分方程，將差分方程的求解轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程的求解變換求解線性常系數(shù)差分方程，將差分方程的求解轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程的求解c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=4k解：解：(1) 對(duì)每一項(xiàng)做對(duì)每一項(xiàng)做z變換變換22( )(0)(1) 3( )3(0)2 ( )4zz C zz czczC zzcC zz22(56) ( )(1)(0)5 (0)/(4)zzC zzcz cczz(2) 歸納整理歸納整理 222(0)(1)3(0)( )(4)(32)(32)zz czczcC zzzzzz特解特解 通解通解 (3) z反變換反變換 0.1660.50.33( )421zzzC zzzz

19、查表得查表得 部分分式展開(kāi)部分分式展開(kāi) ( )(0.166(4)0.5(2)0.333)kkc k 假設(shè)初始條件為零，上式第假設(shè)初始條件為零，上式第2項(xiàng)為零項(xiàng)為零 223.1 離散系統(tǒng)時(shí)域描述離散系統(tǒng)時(shí)域描述差分方程差分方程3.2 z變換變換 3.3 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 3.4 離散系統(tǒng)的方塊圖分析離散系統(tǒng)的方塊圖分析 3.5 離散系統(tǒng)的頻域描述離散系統(tǒng)的頻域描述3.6 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 3.7 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例 23定義：在初始條件為零時(shí)，定義：在初始條件為零時(shí)， ( )( )( )C zG zR z離散系統(tǒng)脈沖傳遞離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)函數(shù) 又稱為又稱為z傳

20、遞函數(shù)傳遞函數(shù)輸出量輸出量z變換變換輸入量輸入量z變換變換輸出的采樣信號(hào)：輸出的采樣信號(hào)： *11( ) ( ) ( ) ( )c tZC zZG z R z圖圖3-6脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 241. 離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的求取離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的求取 離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可以看作是系統(tǒng)輸入為單位脈沖時(shí)，其脈離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可以看作是系統(tǒng)輸入為單位脈沖時(shí)，其脈沖響應(yīng)的沖響應(yīng)的z變換。變換。 若已知采樣系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)若已知采樣系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)G(s)，當(dāng)其輸出端，當(dāng)其輸出端加入虛擬開(kāi)關(guān)變?yōu)殡x散系統(tǒng)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)可按下述步驟求?。杭尤胩摂M開(kāi)關(guān)變?yōu)殡x散系統(tǒng)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)可按

21、下述步驟求?。?（1）對(duì)）對(duì)G(s)做拉氏反變換，求得脈沖響應(yīng)做拉氏反變換，求得脈沖響應(yīng) 1( ) ( )g tLG s( )g t（2）對(duì)）對(duì) 采樣，求得離散系統(tǒng)脈沖的響應(yīng)為采樣，求得離散系統(tǒng)脈沖的響應(yīng)為0*( )() ()kgtg kTtkT（3）對(duì)離散脈沖響應(yīng)做）對(duì)離散脈沖響應(yīng)做z變換，即得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為變換，即得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 0( ) *( )()kkG zZ gtg kT z幾種脈沖傳遞函數(shù)的表示法均可應(yīng)用幾種脈沖傳遞函數(shù)的表示法均可應(yīng)用 ( ) *( ) ( ) ( )G zZ gtZ g tZ G s脈沖傳遞函數(shù)完全表征了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入與輸出之間的特性，脈沖傳遞函

22、數(shù)完全表征了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入與輸出之間的特性，并且也只由系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。并且也只由系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。 252. 脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與零點(diǎn)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與零點(diǎn) 極點(diǎn)極點(diǎn) 當(dāng)當(dāng)G(z)是是G(s)由通過(guò)由通過(guò)z變換得到時(shí)，它的極點(diǎn)是變換得到時(shí)，它的極點(diǎn)是G(s)的極點(diǎn)的極點(diǎn)按按z=e-sT的關(guān)系一一映射得到。由此可知，的關(guān)系一一映射得到。由此可知，G(z)的極點(diǎn)位置的極點(diǎn)位置不僅與不僅與G(s)的極點(diǎn)有關(guān)，還與采樣周期的極點(diǎn)有關(guān)，還與采樣周期T密切相關(guān)。當(dāng)采樣密切相關(guān)。當(dāng)采樣周期周期T足夠小時(shí)，足夠小時(shí)，G(s)的極點(diǎn)都將將密集地映射在

23、的極點(diǎn)都將將密集地映射在z=1附近。附近。 零點(diǎn)零點(diǎn) G(z)的零點(diǎn)是采樣周期的零點(diǎn)是采樣周期T的復(fù)雜函數(shù)。采樣過(guò)程會(huì)增加額外的復(fù)雜函數(shù)。采樣過(guò)程會(huì)增加額外的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。 若連續(xù)系統(tǒng)若連續(xù)系統(tǒng)G(s)沒(méi)有不穩(wěn)定的零點(diǎn)，且極點(diǎn)數(shù)與零點(diǎn)數(shù)之差沒(méi)有不穩(wěn)定的零點(diǎn)，且極點(diǎn)數(shù)與零點(diǎn)數(shù)之差大于大于2，當(dāng)采樣周期較小時(shí)，當(dāng)采樣周期較小時(shí)，G(z)總會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的零點(diǎn)，總會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的零點(diǎn)，變成非最小相位系統(tǒng)。變成非最小相位系統(tǒng)。 有不穩(wěn)定零點(diǎn)的連續(xù)系統(tǒng)有不穩(wěn)定零點(diǎn)的連續(xù)系統(tǒng)G(s)，只要采樣周期取得合適，離，只要采樣周期取得合適，離散后也可得到?jīng)]有不穩(wěn)定零點(diǎn)的散后也可得到?jīng)]有不穩(wěn)定零點(diǎn)的G(z) 。261.

24、 由差分方程求脈沖傳遞函數(shù)由差分方程求脈沖傳遞函數(shù)已知差分方程已知差分方程 10( )()()nmijijc kac kib r kj，設(shè)初始條件為零。，設(shè)初始條件為零。兩端進(jìn)行兩端進(jìn)行z變換變換 10( )( )( )nmijijijC za z C zb zR z脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 00( )( )( )1mjjjniiib zC zG zR za z系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 1( )1niiiza z 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出 00( )( ) ( )( )1mjjjniiib zC zG z R zR za z272. 由脈沖傳遞函數(shù)求差分方程由脈沖傳遞函數(shù)求差分方程 z反變換反

25、變換 00( )( )( )1mjjjniiib zC zG zR za z10( )( )( )nmijijijC za z C zb zR z10( )()()nmijijc kac kib r kjz反變換反變換 283.1 離散系統(tǒng)時(shí)域描述離散系統(tǒng)時(shí)域描述差分方程差分方程3.2 z變換變換 3.3 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 3.4 離散系統(tǒng)的方塊圖分析離散系統(tǒng)的方塊圖分析 3.5 離散系統(tǒng)的頻域描述離散系統(tǒng)的頻域描述3.6 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 3.7 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例 291. 采樣系統(tǒng)中連續(xù)部分的結(jié)構(gòu)形式采樣系統(tǒng)中連續(xù)部分的結(jié)構(gòu)形式( )( ) ( )C s

26、G s R s*( ) ( ) ( )*CsG s R s( ) ( ) ( )( )C zZ Gs R sGR z( )( ) ( )C zGz Rz( )( ) *( )CsGs R s并不是所有結(jié)構(gòu)都能寫(xiě)出環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)并不是所有結(jié)構(gòu)都能寫(xiě)出環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù) 302. 串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)21( )( ) ( ) ( )( ) ( )C zG z G z RzGz Rz12( )( )( )( )( )C zG zG z G zR z1212( ) ( )( )( )( )G zZ G sZ G s G sGG z1212( )( )( )G z G zGG

27、 z313. 并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)1212( )( )( )( )( )( )( )C zG zG zG zZ G sZ G sR z根據(jù)疊加定理有：根據(jù)疊加定理有： 32圖圖3-10采樣控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)采樣控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)E(z) = R(z)-B(z)B(z) = G2G3H(z)U(z)E(z) = R(z) - G2G3H(z)U(z)C(z) = G2G3(z)U(z)U(z) = G1(z)E(z)C(z) = G2G3(z)G1(z)E(z) E(z) = R(z) / 1+G1(z)G2G3H(z) )()()(1)()()(321321zRzHGGzG

28、zGGzGzC123123( )( )( )( )( )1( )( )G z G G zC zzR zG z G G H z123( )1( )( )1( )( )eE zzR zG z G G H z( )1zC zz前 向 通 道 所 有獨(dú)立 環(huán)節(jié)變換的乘積閉 環(huán) 回 路 中 所有獨(dú) 立環(huán)節(jié)變換的乘積一般系統(tǒng)輸出一般系統(tǒng)輸出z變換可按以下公式直接給出：變換可按以下公式直接給出： 331. 數(shù)字部分的脈沖傳遞函數(shù)數(shù)字部分的脈沖傳遞函數(shù) 控制算法，通常有以下兩種形式：控制算法，通常有以下兩種形式：差分方程差分方程 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)D(z)連續(xù)傳遞函數(shù)連續(xù)傳遞函數(shù) 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函

29、數(shù)D(z)(z變換法變換法)(第第5章的離散法章的離散法)342. 連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù) 計(jì)算機(jī)輸出的控制指令計(jì)算機(jī)輸出的控制指令u*(t)是經(jīng)過(guò)零階保持器加到系統(tǒng)是經(jīng)過(guò)零階保持器加到系統(tǒng)的被控對(duì)象上的，因此系統(tǒng)的連續(xù)部分由零階保持器和被的被控對(duì)象上的，因此系統(tǒng)的連續(xù)部分由零階保持器和被控對(duì)象組成。控對(duì)象組成。 )(1)()(00sGsesGsGTsh被控對(duì)象傳被控對(duì)象傳遞函數(shù)遞函數(shù) 圖圖3-11 連續(xù)部分的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)連續(xù)部分的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)100( )11( )( )(1)( )( )TsC zeG zZG szZG sU zss353. 閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取

30、例例3-12 求下圖所示計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，已知求下圖所示計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，已知T=1秒。秒。 1( )1D ss 解：解： 112( ) ( )1zD zZ D sz1101111(1)( )( )(1)1(1)(1)TsThTeezG zG G zZzZsss sez00( )( )( )( )( )1( )( )hhD z G G zC zzR zD z G G z111111(2)(1)(1)(1)(2)(1)TTTzezzezzez2(1.2640.399)( )0.1040.05zzzzT=1s36c =0 0.6321d =1.0000 -0.3679M

31、ATLAB命令：命令： num=1;den=1, 1; c,d=c2dm(num,den,0.1, zoh)計(jì)算輸出計(jì)算輸出即得到即得到110.63210.6321( )0.36791 0.3679zG zzz1( )1G ss37 根據(jù)線性系統(tǒng)疊加定理，可分別計(jì)算指令信號(hào)和干擾信號(hào)根據(jù)線性系統(tǒng)疊加定理，可分別計(jì)算指令信號(hào)和干擾信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。作用下的輸出響應(yīng)。 圖圖3-13 有干擾時(shí)的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)有干擾時(shí)的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)R(s)單獨(dú)作用時(shí)的單獨(dú)作用時(shí)的系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出N(s)=0干擾單獨(dú)作用時(shí)的干擾單獨(dú)作用時(shí)的系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出R(s)=0共同作用時(shí)共同作用時(shí)的系統(tǒng)輸出的系統(tǒng)輸出( )

32、( ) ( )( )1( ) ( )RR z D z G zCzD z G z2( )( )1( ) ( )NNG zCzD z G z)()(1)(21sGsGseZzGsT2( ) ( ) ( )( )( )( )( )1( ) ( )RND z G z R zNG zC zCzCzD z G z383.1 離散系統(tǒng)時(shí)域描述離散系統(tǒng)時(shí)域描述差分方程差分方程3.2 z變換變換 3.3 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 3.4 離散系統(tǒng)的方塊圖分析離散系統(tǒng)的方塊圖分析 3.5 離散系統(tǒng)的頻域描述離散系統(tǒng)的頻域描述3.6 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 3.7 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例 39 在離

33、散系統(tǒng)中，一個(gè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性是指，在正弦在離散系統(tǒng)中，一個(gè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性是指，在正弦信號(hào)作用下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復(fù)數(shù)比隨輸信號(hào)作用下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復(fù)數(shù)比隨輸入正弦信號(hào)頻率變化的特性。入正弦信號(hào)頻率變化的特性。 TjezTjjszGeGsGjG| )()(| )()(離散系統(tǒng)：連續(xù)系統(tǒng)：圖圖3-14 離散系統(tǒng)的頻率特性離散系統(tǒng)的頻率特性40離散系統(tǒng)頻率特性的指數(shù)形式離散系統(tǒng)頻率特性的指數(shù)形式 () |()|()j Tj Tj TG eG eG e幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性1. 數(shù)值計(jì)算法數(shù)值計(jì)算法按按 表達(dá)式逐點(diǎn)計(jì)算它的幅相頻率特性。表達(dá)式逐點(diǎn)計(jì)算它

34、的幅相頻率特性。 ()j TG e1( )1G ss111( )(1)sTTTeeG zZssze0.5Ts211()arctan11G jj連續(xù)系統(tǒng)：連續(xù)系統(tǒng)：(1)0.3930.393()0.606cos(0.5 )0.606sin(0.5 )Tj Tj TTj TeG eeeej離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)：220.393|()|cos(0.5 )0.606sin (0.5 )j TG esin(0.5 )()arctancos(0.5 )0.606 j TG e例例3-13 要求繪制它們的頻率特性。要求繪制它們的頻率特性。 41Gs=sym(1/(s+1)；%傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)F(s)T=0.5；

35、numGs,denGs=numden(Gs)；%提取分提取分子分母子分母%將分母轉(zhuǎn)化為一般多項(xiàng)式將分母轉(zhuǎn)化為一般多項(xiàng)式pnumGs=sym2poly(numGs)；pdenGs=sym2poly(denGs)；%Z變換變換pnumGz,pdenGz=c2dm(pnumGs,pdenGs,T,zoh)；w=0:0.1:19；mag,pha=bode(pnumGs,pdenGs,w)；dmag,dpha=dbode(pnumGz,pdenGz,T,w)；for i=1:1:90 if dpha(i)=-180 dpha(i)=dpha(i)+360 endendfor i=1:1:190if dp

36、ha(i)=-180dpha(i)=dpha(i)+360；endendfigure(1);plot(w,mag,blue);hold on;plot(w,dmag,red);Grid on;axis(0,19,0,1.2);figure(2);plot(w,pha,blue);hold on;plot(w,dpha,red);Grid on;axis(0,19,-200,200);42圖圖3-15 例例3-13的幅頻和相頻特性曲線的幅頻和相頻特性曲線432. 幾何作圖法幾何作圖法00()()()mj Tij Tinj TiiezG eep112()()()()j Tj Tj Tj TezG

37、eepep1,2mn111212|()|()()|j Tj Tj Tj TezrG eepepl l112()() ()()j Tj Tj Tj TG eezepep 12()0s02Tj Te繞園一周441. 特點(diǎn)特點(diǎn)(1)周期性：周期為周期性：周期為(2)幅頻特性為幅頻特性為 的偶對(duì)稱的偶對(duì)稱(3)相頻特性為相頻特性為 的奇對(duì)稱的奇對(duì)稱()()()sjTj TG eG e ()()j Tj TG eG e s說(shuō)明：說(shuō)明： 由于離散環(huán)節(jié)由于離散環(huán)節(jié) 頻率特性不是頻率特性不是 的有理分式函數(shù)，的有理分式函數(shù)，在繪制對(duì)數(shù)頻率特性時(shí)，不能像連續(xù)系統(tǒng)那樣使用漸近對(duì)數(shù)頻率特性。在繪制對(duì)數(shù)頻率特性時(shí)，不

38、能像連續(xù)系統(tǒng)那樣使用漸近對(duì)數(shù)頻率特性。 j Te|()| |()|j Tj TG eG e452. 應(yīng)注意問(wèn)題應(yīng)注意問(wèn)題 (1)離散環(huán)節(jié)頻率特性不是離散環(huán)節(jié)頻率特性不是 的有理分式函數(shù)，在繪的有理分式函數(shù)，在繪制對(duì)數(shù)頻率特性時(shí)，不能像連續(xù)系統(tǒng)那樣使用漸制對(duì)數(shù)頻率特性時(shí)，不能像連續(xù)系統(tǒng)那樣使用漸近對(duì)數(shù)頻率特性。近對(duì)數(shù)頻率特性。(2) 離散環(huán)節(jié)頻率特性形狀與連續(xù)系統(tǒng)頻率特性形離散環(huán)節(jié)頻率特性形狀與連續(xù)系統(tǒng)頻率特性形狀有較大差別，特別是當(dāng)采樣周期較大以及頻率狀有較大差別，特別是當(dāng)采樣周期較大以及頻率較高時(shí)，由于混疊，使頻率特性形狀有較大變化，較高時(shí)，由于混疊，使頻率特性形狀有較大變化，主要表現(xiàn)有主要

39、表現(xiàn)有:高頻時(shí)會(huì)出現(xiàn)多個(gè)峰值；高頻時(shí)會(huì)出現(xiàn)多個(gè)峰值；可能出現(xiàn)正相位；可能出現(xiàn)正相位；僅在較小的采樣周期或低頻段與連續(xù)系統(tǒng)頻率特性相僅在較小的采樣周期或低頻段與連續(xù)系統(tǒng)頻率特性相接近。接近。 463.1 離散系統(tǒng)時(shí)域描述離散系統(tǒng)時(shí)域描述差分方程差分方程3.2 z變換變換 3.3 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 3.4 離散系統(tǒng)的方塊圖分析離散系統(tǒng)的方塊圖分析 3.5 離散系統(tǒng)的頻域描述離散系統(tǒng)的頻域描述3.6 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 3.7 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例 47 求下圖所示天線計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)、狀態(tài)方求下圖所示天線計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程并利用程并利用

40、MATLAB軟件計(jì)算系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及開(kāi)環(huán)軟件計(jì)算系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性。對(duì)數(shù)頻率特性。 圖圖3-26 天線控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖天線控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖48 電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)加天線負(fù)載的傳遞函數(shù)電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)加天線負(fù)載的傳遞函數(shù)( )( )( )1mmmmKsGsUsT s機(jī)電時(shí)間常數(shù)機(jī)電時(shí)間常數(shù) 電機(jī)傳動(dòng)系數(shù)電機(jī)傳動(dòng)系數(shù) 速度閉環(huán)傳統(tǒng)函數(shù)速度閉環(huán)傳統(tǒng)函數(shù)( )( )( )1cKsGsUsT s速度閉環(huán)回路增益速度閉環(huán)回路增益 速度回路時(shí)間常數(shù)速度回路時(shí)間常數(shù) 天線角速度天線角速度 與轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)角的傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù) 速度閉環(huán)回路的傳遞函數(shù)速度閉環(huán)回路的傳遞函數(shù)( )1( )( )

41、sGssisi 為角速度與角度為角速度與角度之間的減速比之間的減速比 (1) 分別求取以下傳遞函數(shù)分別求取以下傳遞函數(shù) 49圖圖3-27天線控制系統(tǒng)簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖天線控制系統(tǒng)簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖( )1,10,0.1 ,5dD zKKTs i0.02Ts假定假定，采樣周期，采樣周期211(1)( )(1)()TsTsKeKeG zZZsT sisssa/20,1/10KKiTaT1210( )2(1)(10)G zzZss0.2120.20.02(1)2(1)(1)10(1)()zezzzzz e0.00374(0.939)(1)(0.8187)zzz( )( ) ( )0.00374(0.939)( )( )1( ) ( )(1)(0.8187)0.00374(0.939)rzD z G zzzzD z G zzzz20.00374(0.939)1.8150.8222zzz0.00374(0.939)(0.815)(1)zzz(2) 求取閉環(huán)傳遞函數(shù)求取閉環(huán)傳遞函數(shù)50閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程( )0.00374(0.939)( )( )(0.815)(1)rzzzzzz圖圖3-28 閉環(huán)傳遞函數(shù)串行結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)傳遞函數(shù)串行結(jié)構(gòu)圖22(1)0.8187( )0.0