數(shù)學(xué)必修4三角函數(shù)概念講義

1、第1章 ：三角函數(shù)部分一：任意角和弧度制一、任意角 角的定義（動態(tài)定義）： 平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.如圖，一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角.旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn). 正角、負(fù)角、零角的定義： 我們規(guī)定: 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角； 按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角； 如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角. 角的記法：為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可簡記為.象限角、軸線角 1、象限角： 角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終

2、邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.如教材圖1.1-4中的角、角分別是第一象限角和第三象限角. 2、軸線角： 如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角.請同學(xué)們思考：初中所學(xué)的銳角、直角、鈍角、平角、周角是第幾象限角? 終邊相同的角的集合一般地,我們有:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與整數(shù)個周角的和.總結(jié)一：見下表終邊位置集合表示終邊為的非負(fù)半軸終邊為的負(fù)半軸終邊為軸終邊為軸非負(fù)半軸終邊為軸負(fù)正半軸：2 / 16終邊為軸：終邊為坐標(biāo)軸：總結(jié)二：見下表終邊位置集合表示第一象限第二象限第三象限或

3、第四象限或二、弧度制： 1角度制規(guī)定：將一個圓周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制與角度制之間如何換算？請看課本，自行解決上述問題.2.弧度制的定義 長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).3、 角度和弧度的轉(zhuǎn)化： ,度4、 扇形中的幾個重要公式： (1); (2); (3).其中是半徑,是弧長,為圓心角,是扇形的面積.例題講解：例1下列的角請判斷是象限角還是軸線角，并進(jìn)一步判斷終邊的位置。（1） （2） （3

4、） （2） 例2 寫出下列各邊相同的角的集合，并把中適合不等式的元素寫出來： （1）； （2）； （3）例3、已知是銳角，請判斷、所在的象限？變式練習(xí)：我們把已知中的銳角，如果改成是直角，鈍角的時候，結(jié)果會有著怎樣的變化？例4、已知是第一象限的角，請同學(xué)們判斷、所在的象限變式練習(xí)：1、已知是第二象限的角，請同學(xué)們判斷、所在的象限 2、已知終邊在軸非負(fù)半軸角，請同學(xué)們判斷、所在的象限例5. 填寫特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表:度弧度例6 （1）已知扇形的圓心角為，半徑，求弧長及扇形面積。（2）已知扇形周長為，當(dāng)扇形的中心角為多大時它有最大面積，最大面積是多少？ 例7 如圖，扇形的面積是，它的周長是

5、，求扇形的中心角及弦的長。作業(yè)：1集合的關(guān)系是（ ）（A） （B） （C） （D）以上都不對。2已知集合，則等于（ ）（A） （B） （C） （D）或3圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?，而弧長不變，則該弧所對的圓心角是原來的 倍。4若2弧度的圓心角所對的弧長是，則這個圓心角所在的扇形面積是 5在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的單位圓中，一條弦的長度為，所對的圓心角的弧度數(shù)為 6試寫出終邊在直線上所有角的集合，并指出上述集合中介于與之間的角。7若角是第三象限角，問是哪個象限的角？是哪個象限的角？8一個扇形周長等于它的弧所在圓的周長的一半，若圓的半徑為，求扇形的面積。9弧度的圓心角所對的弦長為2，求這個圓心角所對的弧長，

6、及圓心角所夾扇形面積（要求作圖）。10已知扇形的周長為30，當(dāng)它的半徑和圓心角各取多少值時，扇形面積最大，最大值為多少？部分二、任意角的三角函數(shù)1、 中，設(shè)對邊為，對邊為，對邊為，銳角的正弦、余弦、正切依次為 1 三角函數(shù)定義2、在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個任意角，終邊上任意一點(diǎn)（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，那么（1）比值叫做的正弦，記作，即；（2）比值叫做的余弦，記作，即；（3）比值叫做的正切，記作，即；3、三角函數(shù)的定義域、值域函 數(shù)定 義 域值 域4三角函數(shù)的符號由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號，我們可以得知：正弦值對于第一、二象限為正（），對于第三、四象限為負(fù)（）；余

7、弦值對于第一、四象限為正（），對于第二、三象限為負(fù)（）；正切值對于第一、三象限為正（同號），對于第二、四象限為負(fù)（異號）說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。5誘導(dǎo)公式由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：，其中，當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足時，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示三角函數(shù)線。6單位圓：圓心在圓點(diǎn)，半徑等于單位長的圓叫做單位圓。7有向線段：坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時為正，與坐標(biāo)方向相反時為負(fù)。8三角函數(shù)線的定義：設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)P，過作軸的

8、垂線，垂足為；過點(diǎn)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交與點(diǎn).（）（）（）（）由四個圖看出：當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時，有向線段，于是有， ，我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。說明：三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與的終邊的交點(diǎn)。三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的為負(fù)值。三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。3例題分析例1 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求的六個函數(shù)制值。例2 求下列各角的六個三角函數(shù)值：（1）；（2）；（3） 例3 已知角的終邊過點(diǎn)，求的六個三角函數(shù)值。例4、試確定下列三角函數(shù)值的符號：（1）；（2）；（3）；（4） 例5 作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。（1）； （2）； （3）； （4）例6 利用單位圓寫出符合下列條件的角的范圍。（1）； （2）； （3）且；（4）； （5）且作業(yè)：1、已知點(diǎn)，在角的終邊上，求、的值。2：已知且，（1）求角的集合；（2）求角終邊所在的象限；（3）試判斷的