高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題與存在性問題

1、“恒成立問題”的解法常用方法：函數(shù)性質(zhì)法； 主參換位法； 分離參數(shù)法； 數(shù)形結(jié)合法。一、函數(shù)性質(zhì)法nmoxynmoxy1.一次函數(shù)型：給定一次函數(shù),若在m,n內(nèi)恒有，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于；同理，若在m,n內(nèi)恒有，則有.例1.對(duì)滿足的所有實(shí)數(shù),求使不等式恒成立的的取值范圍。略解：不等式即為,設(shè),則在上恒大于0，故有：，即.2.二次函數(shù)：.若二次函數(shù)（或）在R上恒成立，則有（或）；.若二次函數(shù)（或）在指定區(qū)間上恒成立，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布等知識(shí)求解。例2.已知函數(shù)，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)，與的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ )A(0，2) B(0，8) C(2，8)

2、 D(，0)選B。例3.設(shè),當(dāng)時(shí)，都有恒成立，求的取值范圍。解：設(shè)，（1)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，對(duì)一切，恒成立；-1oxy（2）當(dāng)時(shí)，由圖可得以下充要條件： 即 ; 綜合得的取值范圍為-3，1。例4.關(guān)于的方程恒有解，求的范圍。解法：設(shè),則.則原方程有解即方程有正根。.3.其它函數(shù)：恒成立（若的最小值不存在，則恒成立的下界0）；恒成立（若的最大值不存在，則恒成立的上界0）.例5設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)， （1）討論的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍。.s.5.u.c.o.m 解：（2）由（I）知，當(dāng)時(shí)，在或處取得最小值。；則由題意得 即 。二、主參換位法：某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會(huì)遇到討論

3、的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮把主元與參數(shù)換個(gè)位置，再結(jié)合其它知識(shí)，往往會(huì)取得出奇制勝的效果。例6已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)（1）已知函數(shù)在處取得極值，求的值；（2）已知不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：由題設(shè)知“對(duì)都成立，即對(duì)都成立。設(shè)（），則是一個(gè)以為自變量的一次函數(shù)。恒成立，則對(duì)，為上的單調(diào)遞增函數(shù)。 所以對(duì)，恒成立的充分必要條件是，于是的取值范圍是。三、分離參數(shù)法：利用分離參數(shù)法來確定不等式（,為實(shí)參數(shù)）恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍的基本步驟:（1） 將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；（2） 求在上的最大（或最?。┲?；（3） 解不等式(或)

4、，求得的取值范圍。適用題型：（1）參數(shù)與變量能分離；（2）函數(shù)的最值易求出。例7當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍是 .解: 當(dāng)時(shí)，由得.令，則易知在 上是減函數(shù)，所以，所以，.例8.已知時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：原不等式即為：，要使上式恒成立，只需-a+5大于的最大值，因?yàn)?，即或，解得a<8.O四、數(shù)形結(jié)合（對(duì)于型問題，利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的關(guān)系再處理）：若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例9若對(duì)任意,不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）(A) (B) (C) （D） 選B。例10.當(dāng))時(shí)， 恒成立，求a的取值范圍。答案：.xyo12y1=(x-1)2y2=logax例11.已知關(guān)于x的方程有唯一解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。解：原問題即為：方程有唯一解。令，,則如圖所示，要使和在軸上有 唯一交點(diǎn)，則直線必須位于和之間。（包括但不包括)。當(dāng)直線為時(shí)，;當(dāng)直線為時(shí)，的范圍為。另解：方程在方程上有唯一解有唯一解。五。根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)：函數(shù)