貝塞爾函數(shù)詳細介紹(全面)

1、數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)第五章第五章 貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)(bessel)(bessel)一 貝塞爾函數(shù)的引出0,20, 0),(20 ,),()0 ,(0,20 ,1122222222ttRuRutRuuuauatu( , , )( , ) ( )utVT t TVaTV22TaTVV22令：02VV20Ta T( , )( ) ( )V 0112 22令：0 022 (0)2( )atT tAe數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)0 022 2n, 3 , 2 , 1 , 0nnBnAnnnsi

2、ncos )0(, 0)(, 0222RRnx/xd)(dy 222,()0,(00)x yxyxnyxRyRyddd)(dxxxyxxyd)(dn階貝塞爾方程 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)n階貝塞爾方程 2220 x yxyxny02210)(kkckkkcxaxaxaxaaxy0)()() 1)(022kkckxanxkckckc0)() 1()(02221122022kkckkccxaankcxancxanc0)(022anc0) 1(122anc0)(222kkaankc令：cn cn10a 2(2)kkaaknk135.0aaa二 貝

3、塞爾方程的求解n任意實數(shù)或復數(shù)0n 假設數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)) 1(210nan01)(dxxeppx)() 1(ppp1) 1 (當p為正整數(shù)時 !) 1(pp當p為負整數(shù)或零時 )(p)2/1 (20( 1)( )0! (1) 2nmmnmxJxnmnm2(2)kkaaknkn階第一類貝塞爾函數(shù) 令：22( 1)02! (1)mmnmanmnm當n為正整數(shù)時 (1)()!nmnm20( 1)( )0,1,2,!()! 2nmmnmxJxnm nm20( 1)( )1,2,! (1) 2nmmnmxJxnmnm cn 時數(shù)學物理方程與

4、特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)( )cos( )( )sinnnnJxnJxY xn)()(xBYxAJynn20( 1)( )! (1) 2nmmnmxJxmnmn階第一類貝塞爾函數(shù) 1 n不為整數(shù)時，貝塞爾方程的通解( )nJx( )nJx和線性無關( )( )nnyAJxBJxcotcscAnBn n階第二類貝塞爾函數(shù)（牛曼函數(shù)） )() 1()(xJxJnnnn為整數(shù)時100,1,2(1)(1)mNnm sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn2 n為整數(shù)時，貝塞爾方程的通解( )( )nnyAJxBY x數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊

5、函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)0222 ynxyxyx20( 1)( )! (1) 2nmmnmxJxmnmsin)(cos)(lim)(xJxJxYnn( )( )nnyAJxBY xA、B為任意常數(shù)，n為任意實數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)mnmmnxmnmxJ202) 1(!) 1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性質(zhì)1 有界性 )(xJn)(xYn0 x)0(nY性質(zhì)2 奇偶性 )() 1()(xJxJnnn)() 1()(xYxYnnn三 貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)當n為正整數(shù)時 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特

6、殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)2220dd( 1)( )dd2! (1)mnmnnnmmxx Jxxxmnm mnmmnxmnmxJ202) 1(!) 1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性質(zhì)3 遞推性 22120( 1)222! (1)mnmnmmnm xmnm012122)(!2) 1(mmnmnmnmnmxx)(1xJxnn)()()(11xJxxJnxxJxnnnnnn1( )( )( )nnnxJxnJxxJx11( )( )( )nnnnnnxJxnxJxxJx 1( )( )( )nnnxJxnJxxJx 1d( )( )dnnnnxJxxJxx 1d

7、( )( )dnnnnx Jxx Jxx 01d( )( )dJxJ xx 10d( )( )dxJ xxJxx112( )( )( )nnnnJxJxJxx11( )( )2( )nnnJxJxJx數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù))()(dd1xYxxYxxnnnn)()(dd1xYxxYxxnnnn)(2)()(11xYxnxYxYnnn)(2)()(11xYxYxYnnn1d( )( )dnnnnxJxxJxx 1d( )( )dnnnnx Jxx Jxx 112( )( )( )nnnnJxJxJxx11( )( )2( )nnnJxJxJ

8、x例1 求下列微積分0d(1)()dJxx)(0 xJ)(1xJ001(2)( )( )JxJxx)(1)(11xJxxJ)(21)(21)(21)(212020 xJxJxJxJ)(2xJ00(3)3( )4( )JxJx)(4)(311xJxJ )(2)(2)(3201xJxJxJ)()()(2)(33111xJxJxJxJ)(3xJ數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)2(4)( )dxJxx xxJxxd)(212)(d112xJxx2111d)()(xxJxxxJxxJxxJd)(2)(11)(d2)(01xJxxJCxJxxJ)(2)(01)

9、()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn00(6)( )cos dRJxx x RRxxJxxxxJ0000cos)(d|cos)(RxxxJxxJxRRRJ0000dsin)(cos)(cos)(RxxxxJxxxJRRRJ0110dsin)(cos)(cos)(RxxxxJRRRJ010dsin)(cos)(RRRJRRRJsin)(cos)(1030(5)( )dx Jxx )(d12xxJxxxJxxJxd)(2)(1213)(d2)(2213xJxxJxCxJxxJx)(2)(2

10、2131(7)()dnnxJxxttJtnnd)(1ttJtnnnd)(112)(d1112tJtnnnCtJtnnn)(121數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)mnmmnxmnmxJ202) 1(!) 1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性質(zhì)4 初值 1)0(0J0)0(nJ(0)n )0(nY21)0()0(21)0(201JJJ0)0()0(21)0(11nnnJJJ1n)(2)()(11xJxJxJnnn性質(zhì)5 零點 有無窮多個對稱分布的零點 )(xJn和 )(1xJn的零點相間分布 )(xJn的零點趨于周期分布， )()(

11、1limnmnmm( )()0nnmJ數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)20( 1)( )! (1) 2nmmnmxJxmnm性質(zhì)6 半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù) 122102( 1)( )32! ()2mmmxJxmmmmmxmm22102)21(2121221121!) 1( mmmmxmm221012)21(12531!2) 1(mmmmxm2210122!122) 1(2102( 1)21 !mmmxxmxxsin2xxxJcos2)(21xxxxxxJnnnnsindd12) 1()(2121xxxxxxJnnncosdd12)(21)21(210

12、( 1)221 !mmmxmx數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)mnmmnxmnmxJ202) 1(!) 1()(sin)(cos)(lim)(xJxJxYnn性質(zhì)7 大宗量近似 241cos2)(nxxxJn241sin2)(nxxxYn0)(, 0)(,xYxJxnn數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)性質(zhì)8 正交性 ( )( )222( )2( )0110,d()(),22nnRmknnnnnmnmmkrJr JrrRRRRJJmk)()()(1xxJxnJxJxnnn1( )( )( )nnnxJxn

13、JxxJx ( )( )( )11 ()()()nnnnmnmnmJJJ ( )()0nnmJ( )20nRmnrJr drR貝塞爾函數(shù) 的模( )nmnJrR( )1( )nmmnmf rA JrR( )202( )11( )d()2nRmmnnnmArf r JrrRRJ數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)例2：證明 0212222 yxmyxy的解為 )( xJxym)()(1xJxxJxymm)()()()(12112xJxxJxxJxxJxymmmm )(1)(2)(212xJxxJxxJxmmm )()()(21)(1)(2)(222212

14、12xJxxmxJxxJxxxJxxJxxJxmmmmmm )()()(222212xJxmxxJxxJxmmm )()()(222222xJmxxJxxJxxmmm )()()(2222tJmttJ ttJtxmmm 0數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)例3：將1在 10 x區(qū)間內(nèi)展成 )()0(0 xJi的級數(shù)形式 1)0(0)(1iiixJC101)0(0)0(010)0(0d )()(d)(xxJCxxJxxxJiiijj)0(002)0(d)(1jtttJj)(2)0(1)0(jjjJC1)0(1)0()0(0)()(21iiiiJxJxx

15、JxxJCiijid )()(110)0(0)0(0 xxxJCjjd )(10)0(02)(21)0(21jjJC)0(012)0()(d1jttJj)(1)0(1)0(jjJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)例4：將x在0 x2區(qū)間內(nèi)展成 )2()1(1xJi的級數(shù)形式 1)1(1)2(iiixJCx201)1(1)1(120)1(1d )2()2(d)2(xxJCxxJxxxxJiiijj)1(01

16、23)1(d)(8jttJtj)(4)1(2)1(jjjJC1)1(2)1()1(1)()2/(4ijjiJxJxxxJxxJCiijid )2()2(120)1(0)1(1 xxxJCjjd )2(20)1(12)(2)1(22jjJC)1(0223)1()(d8jtJtj)(8)1(2)1(jjJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)例5：將 21x在0 x1區(qū)間內(nèi)展成 )()0(0 xJi的級數(shù)形式 1

17、)0(02)(1iiixJCx101)0(0)0(010)0(02d )()(d)(1xxJCxxJxxxJxiiijj)0(002)0(22)0(d)(/11jtttJtjj)()(4)0(21)0(22)0(jjjjJJC1)0(13)0()0(02)()(81ijjiJxJxxxJxxJCiijid )()(110)0(0)0(0 xxxJCjjd )(10)0(02)(21)0(21jjJC)0(012)0(22)0()(d/11jttJtjjttJtjj)0(0124)0(d)(2)(2)0(22)0(jjJ)()()(24)0(21)0(0)0(1)0(2)0(jjjjjJJJ)(

18、8)0(13)0(jjJ)()(dd1xJxxJxxnnnn)()(dd1xJxxJxxnnnn)(2)()(11xJxnxJxJnnn)(2)()(11xJxJxJnnn數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)22222222211,02 ,0( , ,0)1,02( , , )0,02 ,0uuuuauaRttuRu Rtt 1,1)0 ,(0, 0), 1 (0, 1,12222uttutuuatuTu TrTaT12 rTaT1202TaT022 rrr0) 1 ()0(例5:解下列定解問題數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝

19、塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)1,1)0 ,(0, 0), 1 (0, 1,12222uttutuuatu022 rrr0) 1 (R)0(R002 rrlnBA002)()(00BYAJ)(0AJ0)() 1 (0AJ)0(n, 3 , 2 , 1,2)0(nnn)()0(0nnnJA0222 02)j ()j (00BYAJ0j222 02TaT022)0(nnnTaTtannneBT22)0(1)0(022)0()(ntannneJCu1)0(02)()0 ,(1nnnJCu)(21d)(1)0(2110)0(02nnnJJC1)0(13)0()0(0)()(822)0(nnntanJeJun)(

20、8)0(13)0(nnJ數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)22222221,0( , )0,(0, )0( ,0)( ,0)0,1,0uuuaR ttu R tuttuuRtR Tu TTaT12 12TaT02 TaT0222 )0(, 0)(R002 lnBA00A02)()(00BYAJ)(0AJ0( )()RA JRn)1(, 3 , 2 , 1,2)1(nRnn)()1(0RJAnnn022 1()0AJR 例6:解下列定解問題數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第5 5章貝塞爾函數(shù)章貝塞爾函數(shù)22222221,0( , )0,0( ,0)( ,0)0,1,uuuaR ttu R ttuuRtR 02 TaT000A, 3 , 2 , 1,2)1(nRnn)()1(0RJAnnn000 T000TC tD00000uTE tF 0022)1( nnnTaRTatRDatRCTnnnnn)1()1(sincos(1)(1)(1)0001cossin()nnnnnnuE tFEatFat