偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法（課堂PPT）

1、定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某一鄰的某一鄰域內(nèi)有定義，當域內(nèi)有定義，當y固定在固定在0y而而x在在0 x處有增量處有增量x 時，相應(yīng)地函數(shù)有增量時，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱存在，則稱此極限為函數(shù)此極限為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對x的的偏導(dǎo)數(shù)，記為偏導(dǎo)數(shù)，記為一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)和全微分偏導(dǎo)數(shù)和全微分同理可定義同理可定義函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)

2、數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)任任一一點點),(yx處處對對x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是x、y的的函函數(shù)數(shù)，它它就就稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對對自自變變量量x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 記記作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對自變量對自變量y的偏

3、導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)，記作數(shù)，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 5例例1 1 求求 223yxyxz 在在點點)2 , 1 (處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解例例 2 2 設(shè)設(shè)yxz )1, 0( xx， 求求證證 zyzxxzyx2ln1 .證證解解例例例例 4 4 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體

4、的狀態(tài)方程RTpV （R為常數(shù)） ，求證：為常數(shù)） ，求證：1 pTTVVp.證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xu 是是一一個個整整體體記記號號，不不能能拆拆分分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求設(shè)設(shè)例例如如 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：、 求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例例如如,

5、函函數(shù)數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定義義知知在在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，4、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點點為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0M處處的的切切線線xTM0對

6、對x軸軸的的斜斜率率. 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0M處處的的切切線線yTM0對對y軸軸的的斜斜率率.幾何意義幾何意義: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)12例例 5設(shè)設(shè)13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yx

7、z 2、22yz 及33xz .解解例例6 6 設(shè)設(shè)byeuaxcos ，求求二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).解解定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的兩兩個個二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xyz 2及及yxz 2在在區(qū)區(qū)域域 D D 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那末末在在該該區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)這這兩兩個個二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必相相等等問題：問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？相等？例例 7 7 驗驗證證函函數(shù)數(shù)22ln),(yxyxu 滿滿足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程 . 02222 yuxu解解若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在 點在 點),(000yxP連連續(xù)

8、，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點在點),(000yxP的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？課堂思考題課堂思考題思考題解答思考題解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不不存存在在.例如例如,解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy y

9、z yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx解

10、解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 23),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關(guān)系得三、全微分的定義三、全微分的定義24 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，并并設(shè)設(shè)),(yyxxP 為

11、為這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的任任意意一一點點，則則稱稱這這兩兩點點的的函函數(shù)數(shù)值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 為為函函數(shù)數(shù)在在點點 P對對應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量yx ,的的全全增增量量，記記為為z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念25 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關(guān)，有關(guān)，22)()(yx ，則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數(shù)

12、稱為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz，即，即 dz= =yBxA . .全微分的定義全微分的定義26 函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點點處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分. 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分可微分, 則則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù).事實上事實上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處連連續(xù)續(xù).27四、可微的條件四、可微的條件 定理定理 1 1（必要條

13、件必要條件） 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分，則該函數(shù)在點可微分，則該函數(shù)在點),(yx的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)xz 、yz 必存在，且函數(shù)必存在，且函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的全微分的全微分為為 yyzxxzdz 28證證如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某個個鄰鄰域域)( oyBxAz 總成立總成立,當當0 y時時，上上式式仍仍成成立立，此時此時| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 29一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存

14、在一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在點在點)0 , 0(處有處有 (0,0)(0,0) 0 xyff 30)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點點),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當當 時，時，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函函數(shù)數(shù)在在點點)0 ,

15、 0(處處不不可可微微. 31說明說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在，微分存在，定定理理（充充分分條條件件） 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xz 、yz 在在點點),(yx連連續(xù)續(xù)，則則該該函函數(shù)數(shù)在在點點),(yx可可微微分分 證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 32),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一個方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理在第一個方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)

16、的連續(xù)性）且且當當0, 0 yx時時，01 .其其中中1 為為yx ,的的函函數(shù)數(shù),33xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx處處可可微微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 當當0 y時時，02 ,34習慣上，記全微分為習慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合偏微分

17、之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加疊加原理原理疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況35解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分36解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 37解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 38思路：按有關(guān)定義討論；對于偏導(dǎo)數(shù)需分思路：按有關(guān)定義討論；對于偏

18、導(dǎo)數(shù)需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx討論討論.證證39多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)40證證令令,cos x,sin y則則22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故故函函數(shù)數(shù)在在點點)0 , 0(連連續(xù)續(xù), )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf41當當)0 , 0(),( yx時時， ),(yxfx,1cos)(1sin2

19、2322222yxyxyxyxy 當當點點),(yxP沿沿直直線線xy 趨趨于于)0 , 0(時時,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.42所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不連連續(xù)續(xù).同理可證同理可證),(yxfy在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在點在點)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df43證證),()(tttu 則則);()(tttv 五、復(fù)合函數(shù)的為分法：鏈式法五、復(fù)合函數(shù)的為分法：鏈式法則則定理定

20、理 如果函數(shù)如果函數(shù))(tu 及及)(tv 都在點都在點 t可導(dǎo)，函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)),(vufz 在對應(yīng)點在對應(yīng)點),(vu具有具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則復(fù)合函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則復(fù)合函數(shù))(),(ttfz 在在對應(yīng)點對應(yīng)點t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算：可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算： dtdvvzdtduuzdtdz ，獲獲得得增增量量設(shè)設(shè)tt 44由由于于函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在點點),(vu有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),21vuvvzuuzz 當當0 u，0 v時時，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 當當0 t時時， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv 45.lim0

21、dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz46解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 47 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：而是多元函數(shù)的情況：).,(),(yxyxfz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(vu具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(yx的的兩兩個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .48uvxzy鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 49 類似地再推廣，設(shè)類似地再推廣，設(shè)),(yxu 、),(yxv 、),(yxww