專題訓練螞蟻爬行地最短路徑

1、螞蟻爬行的最短路徑1一只螞蟻從原點 0出發(fā)來回爬行，爬行的各段路程依次為：+5, -3, +10, -8, -9, +12 ,-10.I I II I £Y-109-7-6-5-4-3-2-1 0 I 2 3 4 5 7 T 9W回答下列問題：(1) 螞蟻最后是否回到出發(fā)點0 ；(2) 在爬行過程中，如果每爬一個單位長度獎勵2粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故沒有回到 0;(2) (|+5|+卜3|+|+10|+卜8|+卜9|+|+12|+卜10|) X2=114 粒2. 如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正

2、方體的外表面爬到頂點B的最短距離是.第6題解：如圖將正方體展開，根據(jù)兩點之間，線段最短”知，線段AB即為最短路線.AB= 2 125 .3. ( 2006?)如圖，點A、B分別是棱長為2的正方體左、右兩側(cè)面的中心，一螞蟻從點A沿其表面爬到點 B的最短路程是cm解：由題意得，從點 A沿其表面爬到點 B的最短路程是兩個棱長的長，即2+2=4 .路線是（）A. A? P? BB. A? Q? BC. A? R? BD . A? S? B解：根據(jù)兩點之間線段最短可知選A.故選A.5.如圖，點A的正方體左側(cè)面的中心，點B是正方體的一個頂點，正方體的棱長為2,螞蟻從點A沿其表面爬到點B的最短路程是（）解：

3、如圖，AB= , 1 2 2 12,10 .故選 C.6.正方體盒子的棱長為 2,BC的中點為M，只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為（）解：展開正方體的點 M所在的面，/ BC的中點為M ,1所以 MC= BC=1 ,2在直角三角形中 AM=.7如圖，點 A和點B分別是棱長為20cm的正方體盒子上相鄰面的兩個中心，一只螞蟻在 盒子表面由A處向B處爬行，所走最短路程是 cm。解：將盒子展開，如圖所示：1111AB=CD=DF + FC= EF+ GF= X20+ X20=20cm.2 2 2 2故選C.8. 正方體盒子的棱長為2, BC的中點為 M, 只螞蟻從 A點爬行到 M點的最短距離為.解：

4、將正方體展開，連接 M、D1,根據(jù)兩點之間線段最短，MD = MC+CD=1+2=3，MD1= . MD2 DU2. 32 22.13 .9. 如圖所示一棱長為 3cm的正方體，把所有的面均分成 3X3個小正方形.其邊長都為1cm, 假設一只螞蟻每秒爬行 2cm，則它從下底面點 A沿表面爬行至側(cè)面的 B點，最少要用 2.5 秒鐘.解：因為爬行路徑不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線.(1) 展開前面右面由勾股定理得 AB= = cm；(2) 展開底面右面由勾股定理得 AB= =5cm；所以最短路徑長為 5cm,用時最少：5吃=2.5秒.10. (2009?州)

5、如圖，長方體的長為 15,寬為10,高為20，點B離點C的距離為5, 一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是 。解：將長方體展開，連接 A、B,根據(jù)兩點之間線段最短，AB= =25 .11. 如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處(三條棱長如圖所示)，問怎樣走路線最短？最短路線長為 .解：正面和上面沿 AiBi展開如圖，連接 ACi, ABCi是直角三角形,- ACi= ： AB BCi41 24 3512如圖所示：有一個長、寬都是2米，高為3米的長方體紙盒，一只小螞蟻從 A點爬到B點，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為 米。解：由題意得

6、，路徑一：AB=；路徑二：AB= =5 ；路徑三：AB=; > 5, 5米為最短路徑.13.如圖，直四棱柱側(cè)棱長為 4cm,底面是長為5cm寬為3cm的長方形.一只螞蟻從頂點 A 出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點B.求：(1 )螞蟻經(jīng)過的最短路程；(2 )螞蟻沿著棱爬行(不能重復爬行同一條棱)的最長路程.解：(1) AB的長就為最短路線.然后根據(jù) 若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為(cm);若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為(cm),或(cm)所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是cm.(2)5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最長路程是30cm.14.如圖，在一個長為50cm

7、,寬為40cm,高為30cm的長方體盒子的頂點 A處有一只螞蟻,它要爬到頂點B處去覓食，最短的路程是多少?解：圖1中，cm.圖2中，cm.圖3中，cm.采用圖3的爬法路程最短，為cm15.如圖，長方體的長、寬、高分別為6cm, 8cm, 4cm. 只螞蟻沿著長方體的表面從點A爬到點B.則螞蟻爬行的最短路徑的長是 解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面,則這個長方形的長和寬分別是12cm和6cm,則所走的最短線段是 =6 cm；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是10cm和8cm,所以走的最短線段是 =cm;第三種情況：把我們所看到的前面和右

8、面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是14cm和4cm,所以走的最短線段是 =2 cm；三種情況比較而言，第二種情況最短.16. 如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20cm、3cm、2cm. A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點 B的最短路程為 cm解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為20cm,寬為(2+3) X3cm,則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長.可設螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xcm,由勾股定理得：x2=202+ ( 2+3) X32=252,解得x=25 .故答案為25.17

9、. 如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm, 3cm和1cm, A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到 B點去吃可口的食物請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是 cm。解：將臺階展開，如下圖，因為 AC=3X3+1X3=12 , BC=5, 所以 AB2=AC2+BC2=169,所以 AB=13 (cm),所以螞蟻爬行的最短線路為13cm.答：螞蟻爬行的最短線路為13cm.18. ( 2011?荊州)如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達 Q點，則螞奴爬行的最短路徑長為

10、cm.解：/ PA=2X (4+2) =12, QA=5 PQ=13.故答案為：13.19. 如圖，一塊長方體磚寬 AN=5cm,長ND=10cm, CD上的點B距地面的高 BD=8cm,地面上A處的一只螞蟻到 B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少?解：如圖1在磚的側(cè)面展開圖 2上，連接AB, 則AB的長即為A處到B處的最短路程.因為 AD=AN + ND=5+10=15 , BD=8,所以 AB2=AD2+ BD2=152+82=289=172.所以 AB=17cm.故螞蟻爬行的最短路徑為17cm.20. (2009?)如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙) 螞蟻從柜角A

11、處沿著木柜表面爬到柜角 C1處.，有一只(1)請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑;(2)當AB=4, BC=4, CC1=5時，求螞蟻爬過的最短路徑的長;(3)求點B1到最短路徑的距離.解：(1)如圖，木柜的表面展開圖是兩個矩形ABC1D1和ACC1A1.故螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的AiC'i和ACi. （2分）（2） 螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段 AiBi到Ci，爬過的路徑的長是 .（3分）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段 BBi到Ci，爬過的路徑的長是 .（4分）li> 12,故最短路徑的長是.（5分）（3）作 BiE丄 ACi 于 E,則？ ？為所求.（8分）2i 有一

12、圓柱體如圖，高 4cm,底面半徑5cm, A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到蟻爬行的最短距離.解：AC的長就是螞蟻爬行的最短距離.C, D分別是BE, AF的中點.AF =2 n5=i0 兀 AD=5 兀AC= JaD2 CD2 i6m.故答案為：i6cm.22.有一圓形油罐底面圓的周長為24m,高為6m, 一只老鼠從距底面 im的角B處吃食物，它爬行的最短路線長為 .C處，求螞A處爬行到對解：AB= v52 i22 i3m23如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AAi的端點A到達Ai,若圓柱底面半徑為，高為5,則螞蟻爬行的最短距離為6解：因為圓柱底面圓的周長為2nX-6=12，高為5,所以將側(cè)面展

13、開為一長為 12,寬為5的矩形，根據(jù)勾股定理，對角線長為=13.故螞蟻爬行的最短距離為 13.24. 如圖，一圓柱體的底面周長為24cm，高AB為9cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,則螞蟻爬行的最短路程是解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為 24cm,則 AD=24X =i2cm.2又因為 CD=AB=9cm,所以 AC= =15cm.故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是15cm.故答案為：15.25. （ 2006?荊州）有一圓柱體高為 10cm,底面圓的半徑為 4cm, AA1, BB1為相對的兩條母 線.在AA1上有一個蜘蛛 Q

14、, QA=3cm;在BB1上有一只蒼蠅 P, PB1=2cm，蜘蛛沿圓柱體 側(cè)面爬到P點吃蒼蠅，最短的路徑是cm.（結(jié)果用帶 n和根號的式子表示）解：QA=3, PB1=2 ,即可把PQ放到一個直角邊是 4 n和5的直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：QP =A處爬行到對26. 同學的茶杯是圓柱形，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蟻，從面的中點B處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖.問題：某正方體盒子，如圖左邊下方A處有一只螞蟻，從 A處爬行到側(cè)棱 GF上的中點M點處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖.解：如圖，將圓柱的側(cè)面展開成一個長方形，如圖示，則A、B分別位于如圖所示的

15、位置,連接AB,即是這條最短路線圖.如圖，將正方體中面圖所示的位置，連接 AM，即是這條最短路線圖.27. 如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm,假若點B有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點 P處的食物，那么它爬行的最短路程是.解：圓錐的底面周長是n 4180 n=180°即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180°,在圓錐側(cè)面展開圖中 AP=2 , AB=4，/ BAP=90° ,在圓錐側(cè)面展開圖中BP= . 20 2 = 5 ,故答案是：2 . 5 cm.28. 如圖，圓錐的底面半徑 R=3dm,母線l=5dm, AB為底面直徑，C為

16、底面圓周上一點，/ COB=150°, D為VB上一點，VD=.現(xiàn)有一只螞蟻，沿圓錐表面從點C爬到D .則螞蟻爬行的最短路程是（）解：=,設弧BC所對的圓心角的度數(shù)為 n,解得n=90,/ CVD=90°, CD= =4 ,29. 已知圓錐的母線長為 5cm,圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，且/AOAi=120 ° 只螞蟻欲從圓錐的底面上的點 A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點A.則螞蟻爬行的最短路程長為 。解：連接AA',作OC丄AA 于 C,圓錐的母線長為 5cm,/ AOAi=l20 ° AA ' =AC=5、3 .30. 如圖，底面半徑為

17、1,母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點，它爬行的最短路線長是 .第4題解：由題意知，底面圓的直徑為2,故底面周長等于2n根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得,解得n=90°，4 n180所以展開圖中圓心角為90°31. (2006?)如圖，底面半徑為1,母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出發(fā)，繞側(cè)面根據(jù)勾股定理求得到點 A的最短的路線長是：-,16 16.32 4 2 .周又回到A點，它爬行的最短路線長是 解：由題意知底面圓的直徑 =2,故底面周長等于2n設圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°4n根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2n=4

18、n-180解得n=90° ,所以展開圖中的圓心角為 90°根據(jù)勾股定理求得它爬行的最短路線長為4、2 .32. (2009?)如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線PB的長為6, D為PB的中點.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點D，則螞蟻爬行的最短路程為解：由題意知，底面圓的直徑 AB=4,故底面周長等于4 n設圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得4廬I ,360解得 n=120° , 所以展開圖中/ APD=120°吃=60° , 根據(jù)勾股定理求得 AD= 3.3 ,所以螞蟻爬行的最短距離為3.3 .33.如圖，圓錐底面半徑為 r，母線長為3r，底面圓周上有一螞蟻位于 A點，它從A點出發(fā) 沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點，請你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑.解：把圓錐沿過點 A的母線展成如圖