高數(shù)讀書筆記

1、高等數(shù)學(xué)讀書筆記 定積分與不定積分 馬燕妮 四川農(nóng)業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)學(xué) 中國成都 611130 【摘要】本文首先介紹了不定積分與定積分的基本定義，而后主要探究幾種比較重要的積分法。定積分是微積分學(xué)中的主要概念之一，它是從各種各樣的積累中抽象出來的數(shù)學(xué)概念，它是函數(shù)的一種特定結(jié)構(gòu)和式的極限。不定積分又與定積分進(jìn)行對比記憶，對不定積分的計算進(jìn)行系統(tǒng)整理?！娟P(guān)鍵字】定積分；不定積分；面積；湊微分法；分部積分法；換元積分法；有理函數(shù)不定積分 【Abstract】This paper first introduces the basic d

2、efinition of indefinite integral and definite integral, and then explores several of the more important integral method. Definite integral is one of the major concepts of 

3、;calculus, it comes from the accumulation of various of abstracting mathematical concept, it is the function of the limit of a particular structure with type. Comparing t

4、he indefinite integral and definite integral memory, calculation of indefinite integral system. 【Key words】Definite integral；Indefinite integral；Area；differentiation division integral method；Integral method in&

5、#160;yuan；The indefinite integral rational function1、 不定積分與定積分的定義（一）、定積分的定義： 設(shè)f是定義在a,b上的一個函數(shù)，對于a,b的一個分割T= ，任取點(diǎn)，n,并作和式稱此和式為函數(shù)f在a,b上的一個積分和，也稱黎曼和。設(shè)f是定義在a,b上的一個函數(shù)，J是一個確定的實(shí)數(shù)。若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對a,b的任何分割T，以及在其上任意選取的點(diǎn)集 ，只要|T|<,就有,則成函數(shù)f在區(qū)間a,b上可積；數(shù)J稱為f在a,b上的定積分記作J=其中，f稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，a,b

6、稱為積分區(qū)間，a,b分別稱為這個定積分的下限和上限。（二）、不定積分的定義函數(shù)在區(qū)間I的所有的原函數(shù)稱為函數(shù)的不定積分，表為（，C為積分常數(shù)）,其中稱為積分符號，x稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，C稱為積分常數(shù)。在這里要特別注意：一個函數(shù)的不定積分既不是一個數(shù)，也不是一個函數(shù)，而是一個函數(shù)族。列如：，而；,而；，而.這也就是說：和是不相等的，即前者的結(jié)果是一個函數(shù)，而后者是無窮多個函數(shù)，所以，在書寫計算結(jié)果時一定不能忘記積分常數(shù)。二、基本積分 三、定積分與不定積分的性質(zhì)（一）、定積分的性質(zhì)1若f在a,b上可積，K為常數(shù)，則kf在a,b上也可積，且2若f、g都在a,bz上可積，則f&

7、#177;在a,b上也可積，且3若f、g都在a,b上可積，則f*g在a,b上也可積.4 f在a,b上可積的充要條件是：任給c（a,b）,f在a,c與c,b上都可積。此時又有等式5.設(shè)f為a,b上的可積函數(shù).若f(x)0,xa,b,則. 若f與g為a,b上的兩個可積函數(shù)，且f(x)g(x),xa,b,則有6.若f在a,b上可積，則|f|在a,b上也可積，且 積分中值定理：若f在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)使得（推廣的積分第一中值定理）若f與g都在a,b上連續(xù)，且g(x)在a,b上不變號，則至少存在一點(diǎn)使得（2） 、不定積分的性質(zhì)1、函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和；即：設(shè)函數(shù)發(fā)f（x

8、）及g（x）的原函數(shù)存在，則2、 求不定積分時，被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外面來。即：設(shè)函數(shù)f（x）的原函數(shù)存在，k非零常數(shù)，則三、定積分與不等積分的計算方法1 .分項(xiàng)積分法我們常把一個復(fù)雜的函數(shù)分解成幾個簡單的函數(shù)之和：，若右端的積分會求，則應(yīng)用法則,其中，是不全為零的任意常數(shù)，就可求出積分，這就是分項(xiàng)積分法.例1計算定積分. 解 利用加減一項(xiàng)進(jìn)行拆項(xiàng)得=+=+.=.2. 分段積分法 分段函數(shù)的定積分要分段進(jìn)行計算，這里重要的是搞清楚積分限與分段函數(shù)的分界點(diǎn)之間的位置關(guān)系，以便對定積分進(jìn)行正確的分段.被積函數(shù)中含有絕對值時，也可以看成分段函數(shù)，這是因?yàn)檎龜?shù)與負(fù)數(shù)的絕對值是以不同的方式

9、定義的，0就是其分界點(diǎn).例2 計算定積分.解 由于為偶函數(shù)，在上的分界點(diǎn)為，所以=+=. 3. 換元積分法（變量替換法）換元積分法可以分為兩種類型：3.1 第一類換元積分法（俗稱為“湊微分法”）例3 計算定積分.解 = =.3.2 第二換元積分法常用的變量替換有：三角替換；冪函數(shù)替換；指數(shù)函數(shù)替換倒替換下面具體介紹這些方法 三角替換例4 計算定積分.解 由于=，故可令，于是=.冪函數(shù)替換例5 計算定積分. 解 作變量代換，得到=，因此=.倒替換例6 計算定積分. 解 =令得=.替換公式三角代換(1)被積函數(shù)含有根式，令(2)被積函數(shù)含有根式，令(3)被積函數(shù)含有根式，令倒代換根式代換被積函數(shù)含

10、有4. 分部積分法若，在上連續(xù)，則或.利用分部積分求的解題方法（1）首先要將它寫成得形式選擇，使用分布積分法的常見題型：5. 帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式在定積分計算中的應(yīng)用 若函數(shù)在點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，則，有+，其中稱為積分型余項(xiàng)例7 計算.解 設(shè)，則=.4、 定積分和不定積分的運(yùn)用（1） 、定積分1. 平面圖形的面積一般地，有上、下兩條連續(xù)曲線y=f2(x)與y=f1(x)以及兩條直線x=a與x=b（a<b）所圍的平面圖形如圖（1）所示，它的面積計算公式為 A=。 （1） (1)設(shè)曲線C有參數(shù)方程x=x(t),y=y(t),t (2)給出，在上y(t)連續(xù)可微且(t)0（對于y(t)

11、連續(xù)可微且0的情形可類似討論）。記a=x(a<b或b<a),則由曲線C及直線x=a,x=b和x軸所圍的圖形，其面積計算公式為A=.如果由參數(shù)方程（2）所表示的曲線自身所圍圖形是封閉的，既有且在（）內(nèi)自身不再相交，那么由曲線自身所圍圖形的面積為A=（或）。例1 求由拋物線y2=x與直線x-2y-3=0所圍平面圖形的面積A.解 該平面圖形如圖（2）所示。先求出拋物線與直線的交點(diǎn)P（1，-1）與Q(9,3).用直線x=1把圖形分為左、 右兩部分，分別求得它們的面積為A1=，所以.也可把拋物線方程和直線方程改寫成.并改寫積分變量為y，于是得 2. 立體的體積用類似求平面圖形面積的思想我們也可以求一個立體圖形的體積, 常見的已知幾何體的截面積求幾何體的體積,另一種是求旋轉(zhuǎn)體的體積,例如求一個鐵塊的體積,可以將此鐵塊劃分成許多基本的小鐵塊,每一塊的厚度為(x),假設(shè)每一個基本的小鐵塊的橫切面積為A(x),則此小鐵塊的體積大約是A(x)(x),將所有的小鐵塊加起來,令n=(x)0,我們就可以得到其體積v v=其中b和c分別為計算體積是的起始值和終了值，例2橢圓面所為立體的體積解:以平面 )截橢球面,得橢圓在YOZ平面上的正投影 所以截面面積函數(shù)為 于是求得橢球體積顯然當(dāng)=r 時,就等于球的體積3. 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題參考文獻(xiàn) 1 張良云 編，“十二五