如果上天能再給我一次機會-我會選擇看懂麥克斯韋方程組(共19頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上花了好長好長時間寫的，請不要轉(zhuǎn)載。（知乎日報已獲授權(quán)）提問簡直坑爹。不講微積分怎么講麥克斯韋方程組？麥克斯韋方程組里面每個方程都是一個積分或者微分。既然這樣，我只能躲躲閃閃，不細(xì)談任何具體的推導(dǎo)和數(shù)學(xué)關(guān)系，純粹揮揮手扯扯淡地說一說電磁學(xué)里的概念和思想。（知乎日報注：雖然作者已經(jīng)很努力地用通俗的語言講解，下文仍含大量方程和公式，請理性選擇，按需閱讀 ）1. 力、能、場、勢經(jīng)典物理研究的一個重要對象就是力 force。比如牛頓力學(xué)的核心就是F=ma這個公式，剩下的什么平拋圓周簡諧運動都可以用這貨加上微積分推出來。但是力有一點不好，它是個向量 vector（既有大小又有方向

2、），所以即便是簡單的受力分析，想解出運動方程卻難得要死。很多時候，從能量的角度出發(fā)反而問題會變得簡單很多。能量 energy說到底就是力在空間上的積分（能量=功=力距離），所以和力是有緊密聯(lián)系的，而且能量是個標(biāo)量 scalar，加減乘除十分方便。分析力學(xué)中的拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)就繞開了力，從能量出發(fā)，算運動方程比牛頓力學(xué)要簡便得多。在電磁學(xué)里，我們通過力定義出了場 field的概念。我們注意到洛侖茲力總有著F=q(E+vB) 的形式，具體不談，單看這個公式就會發(fā)現(xiàn)力和電荷（或電荷速度）程正比。那么我們便可以刨去電荷（或電荷速度）的部分，僅僅看剩下的這個“系數(shù)”有著怎樣的動力學(xué)性質(zhì)。也就是說

3、，場是某種遍布在空間中的東西，當(dāng)電荷置于場中時便會受力。具體到兩個電荷間的庫侖力的例子，就可以理解為一個電荷制造了電場，而另一個電荷在這個電場中受到了力，反之亦然。類似地我們也可以對能量做相同的事情，刨去能量中的電荷（或電荷速度），剩下的部分便是勢 potential。一張圖表明關(guān)系：積分力能場勢微分具體需要指出，這里的電場（標(biāo)為E）和磁場（標(biāo)為B）都是向量場，也就是說空間中每一個點都對應(yīng)著一個向量。如果我們把 xyz 三個分量分開來看的話，這就是三個標(biāo)量場。而能量和勢是標(biāo)量（電磁學(xué)中的勢其實并不是標(biāo)量，原因馬上揭曉），放到空間中也就是一個標(biāo)量場。在力 / 場和能量 / 勢之間互相轉(zhuǎn)化的時候，

4、我們是在 31 個標(biāo)量場之間轉(zhuǎn)化，必然有一些信息是丟掉了的。怎么辦？一個顯而易見的答案是“保守力場”conservative force field。在這樣一個場中，能量（做功）不取決于你選擇什么樣的路徑。打個比方，你爬一座山，無論選擇什么路徑，只要起點和終點一樣，那么垂直方向上的差別都是一樣的，做的功也一樣多。在這種情況下，我們對力場有了諸多限制，也就是說，我假如知道了一個保守力場的 x 一個分量，那么另兩個分量 yz 就隨之確定了，我沒得選（自由度其實只有一個標(biāo)量場）。有了保守力場這樣的額外限制，向量場F（3 個標(biāo)量場）和（1 個）標(biāo)量場 V 之間的轉(zhuǎn)化便不會失去信息了。具體而言，二者關(guān)系

5、可以寫作F=-V。這里不說具體細(xì)節(jié)，你只要知道是一種固定的、把一個標(biāo)量場變成三個標(biāo)量場的算法就可以了（叫做算符 operator）。那么我們想問，電場和磁場是不是保守力場呢？很不幸，不是。在靜電學(xué)中，靜止的電場是保守的，但在電動力學(xué)中，只要有變化的電場和磁場，電場就不是一個保守力場了；而磁場從來都不是保守力場。這也就是說明，在電磁學(xué)中，我們很少涉及能量這個概念，因為它不能完整地描述一個電磁場。我們更多時候只關(guān)注“場”這個概念，盡管因此我們不得不涉足很多向量微積分，但我們沒有辦法，這是不讓信息丟掉的唯一辦法。那么，既然勢也是標(biāo)量，它是否也是一個沒什么用的概念呢？恰恰相反，在電動力學(xué)中我們定義出了

6、“向量勢”vector potential，以保留額外的自由度。后面我會更具體地談到這一點?？偠灾?，我想說明一點，那就是電磁學(xué)的主要研究對象是電場和磁場，而麥克斯韋方程組就是描述電場和磁場的方程。勢（包括電勢和磁向量勢）也是有用的概念，而且不像引力勢是一個標(biāo)量，在電磁學(xué)中勢不得不變成一個向量。2. 麥克斯韋方程組前邊說到，麥克斯韋方程組 Maxwell equations 是描述電場和磁場的方程。前邊也說到，因為電磁場不是保守力場，它們有三個標(biāo)量場的自由度，所以我們必須用向量微積分來描述電磁場。因此，麥克斯韋方程組每個式子都出現(xiàn)了向量微積分，而整個方程組也有積分形式和微分形式兩種。這兩種形式

7、是完全等價的，只是兩種不同的寫法。這里我先全部寫出。積分形式：微分形式：這里E表示電場，B表示磁場，0 和0 只是兩個常數(shù)暫時可以忽略。積分形式中 Q 是電荷，I 是電流，V 表示一塊體積，V 表示它的表面，而 S 表示一塊曲面，S 表示它的邊緣。微分形式中 是電荷密度（電荷 / 體積），J是電流密度（電流 / 面積）， 和 是兩個不同的算符，基本可以理解為對向量的某種微分。先不說任何細(xì)節(jié)，我們可以觀察一下等式的左邊。四個方程中，兩個是關(guān)于電場E的，兩個是關(guān)于磁場B的；兩個是曲面積分 da或者散度 ，兩個是曲線積分 dl或者旋度 。不要管這些術(shù)語都是什么意思，我后面會講到。但光看等式左邊，我們

8、就能看出四個式子分別描述電場和磁場的兩個東西，非常對稱。3. 電荷 - 電場，電流 - 磁場這一部分和下一部分中，我來簡單講解四個式子分別代表什么意思，而不涉及任何定量和具體的計算。我們從兩個電荷之間的庫侖力講起。庫侖定律 Coulombs Law是電學(xué)中大家接觸到的最早的定律，有如下形式：其中 Q 是電荷，r 是電荷之間的距離，r是表示方向的單位向量。像我之前說的，把其中一個電荷當(dāng)作來源，然后刨去另一個電荷，就可以得到電場的表達(dá)式。高中里應(yīng)該還學(xué)過安培定律 Amperes Law，也就是電流產(chǎn)生磁場的定律。雖然沒有學(xué)過具體表達(dá)式，但我們已經(jīng)能看出它與庫侖定律之間的區(qū)別。庫侖定律描述了“兩個”

9、微小來源（電荷）之間的“力”，而安培定律是描述了“一個”來源（電流）產(chǎn)生的“場”。事實上，電磁學(xué)中也有磁場版本的庫侖定律，描述了兩個微小電流之間的力，叫做畢奧 - 薩伐爾定律 Biot-Savart Law；反之，也有電場版本的安培定律，描述了一個電荷產(chǎn)生的磁場，叫做高斯定律 Gausss Law。這四個定律之間有如下關(guān)系：數(shù)學(xué)上可以證明庫侖定律（畢奧 - 薩伐爾定律）和高斯定律（安培定律）在靜電學(xué)（靜磁學(xué)）中是完全等價的，也就是說我們可以任意假設(shè)一個定律，從而推導(dǎo)出另一個定律。然而如果我們想從靜止的靜電學(xué)和靜磁學(xué)推廣到電動力學(xué)，前者是非常不便的而后者很卻容易，所以盡管庫侖定律在中學(xué)中常常提到

10、，麥克斯韋方程組中卻沒有它，有的是高斯定律和安培定律。這兩個定律分別是麥克斯韋方程組里的 (1) 和 (4) 的第一項，即：高斯定律（積分、微分形式）：安培定律（積分、微分形式）：我們繼續(xù)推遲講解數(shù)學(xué)關(guān)系，單看這幾個式子本身，就能看到等式的左邊有電場E（磁場B），而右邊有電荷 Q（電流 I）或電荷密度（電流密度J）?？?，電荷產(chǎn)生電場，電流產(chǎn)生磁場！4. 變化磁場 - 電場，變化磁場 - 電場然而這不是故事的全部，因為事實上電磁場是可以互相轉(zhuǎn)化的。法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)，也就是說變化的磁場是可以產(chǎn)生電場的，這就是法拉第定律 Faradays Law。類似地，麥克斯韋發(fā)現(xiàn)安培定律的描述并不完善，除了

11、電流以外，變化的電場也可以產(chǎn)生磁場，這被稱為安培 - 麥克斯韋定律 Ampere-Maxwell Law。這兩個定律分別是麥克斯韋方程組里的 (2) 和 (4) 的第二項，即：法拉第定律（積分、微分形式）：安培 - 麥克斯韋定律（積分、微分形式）：同樣地，等式的左邊有電場E（磁場B），而右邊有磁場B（電場E）的導(dǎo)數(shù) d/dt 或偏導(dǎo) /t?？?，變化磁場產(chǎn)生電場，變化電場產(chǎn)生磁場！需要指出的是，我這樣的說法其實是不準(zhǔn)確的，因為并不是真的某一個場“產(chǎn)生”的另一個場。這兩個定律只是描述了電場（磁場）和磁場（電場）的變化率之間的定量關(guān)系，而不是因果關(guān)系。小結(jié)一下，我們已經(jīng)搞清楚了麥克斯韋方程組里每一項

12、的意思，基本就是指出了電磁場的來源和變化電磁場的定量關(guān)系。下一步便是往我們這些粗淺的理解中加入數(shù)學(xué)，具體看看這些方程到底說了什么。在這之前，我們必須花一點時間了解一下向量微積分的皮毛。5. 向量積分普通的單變量微積分基本可以理解為乘法的一種拓展。我們想計算一個矩形的面積，我們用長 x 乘寬 y，即 xy。如果寬不是一個定值而是根據(jù)長而變化的（也就是說寬是一個長的函數(shù)，即寬=y(x)），那么我們就需要積分，記為“y(x)dx”。這樣的想法也很容易推廣到更高的維度，比如在一塊體積 V 內(nèi)，若電荷密度為 ，那么這塊體積內(nèi)的總電荷就是 Q=V；如果 在空間中每一點都不一樣，是個關(guān)于坐標(biāo)的函數(shù) (x)，

13、那么就要變成積分 Q=(x)dV（這里三個 表示是一個三維的積分，很多時候也可以省略寫為一個 ）。在向量場中，這個事情比較麻煩。首先兩個向量的乘積的定義稍顯復(fù)雜，必須使用點乘 dot product，即uv，它暗示著兩個向量之間的角度，也就是有多么平行。如果u和v完全平行，它們的點乘是一個正值；如果方向相反，則是一個負(fù)值；如果垂直，那么為 0。另一方面，我們不一定要像上一個電荷的例子一樣積上整個體積 V，我們可以只積一個曲面 S 或者一條曲線 。這就是所謂的曲面積分和曲線積分的概念。曲面積分 surface integral有如下形式：其中 S 表示我們需要積的曲面，F(xiàn)是我們想要積的向量場，代

14、表點乘，a指向垂直于 S 的方向。因此，我們看到，如果F和 S 是平行的，那么點乘處處得 0，這個曲面積分也為 0。換句話說，曲面積分表示著向量場 F 穿過曲面 S 的程度，因此也很形象地叫做通量 flux。下圖為兩個簡單的例子（虛線 - 表示曲面所在的位置）：曲面積分（通量）為 0： - 曲面積分（通量）不為 0： - 那么曲線積分 line integral也很類似，只不過我們不積一個曲面 S 而是一個一維的曲線 。它有如下形式：其中表示我們需要積的曲線，代表點乘，l指向曲線的方向。不難看出，曲線積分表示著向量場 F 沿著曲線 的程度。下圖為兩個簡單的例子（虛線 - 表示曲線）：曲線積分不

15、為 0： - 曲線積分為 0： - 特別地，如果曲線是閉合的（首尾相連的），那么我們可以在積分符號 上畫一個圈，表示閉合，然后這個特殊的曲線積分叫做環(huán)量 circulation，因為是積了一個環(huán)嘛。很顯然，如果F是個保守力場，那么我隨便找一個閉合曲線，做的功都一定為 0（這就是保守力場的定義啊），所以保守力場的任意環(huán)量都為 0。最后一提，“環(huán)量”這個名字很少使用，一般就直接叫做“閉合曲線的積分”。定義一個通量所使用的曲面 S 則不一定要是閉合的，任何曲面都可以。如果這個曲面很特殊恰好是閉合的，我們也可以在積分符號上畫上一個圈，代表閉合，但這個量則沒有一個特殊的名字了?？偨Y(jié)如下表：6. 麥克斯韋

16、方程組的積分形式我非常不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)孛枋隽饲娣e分和曲線積分分別是什么。我們回頭看看麥克斯韋方程組的積分形式，我們應(yīng)該都能看懂了。(1) 高斯定律：電場E在閉合曲面 V 上的通量，等于該曲面包裹住的體積 V 內(nèi)的電荷（乘上系數(shù) 1/0）；(2) 法拉第定律：電場E在閉合曲線 S 上的環(huán)量，等于磁場B在該曲線環(huán)住的曲面 S 上的通量的變化率（乘上系數(shù) -1）；(3) 高斯磁定律：磁場B在閉合曲面 V 上的通量，等于 0；(4) 安培麥克斯韋定律：磁場B在閉合曲線 S 上的環(huán)量，等于該曲線環(huán)住的曲面 S 里的電流（乘上系數(shù) 0），加上電場E在該曲線環(huán)住的曲面 S 上的通量的變化率（乘上系數(shù) 00）。雖然

17、在我看來，這樣的描述已經(jīng)是非常通俗、沒有任何數(shù)學(xué)了，但對于沒有學(xué)習(xí)過微積分的同學(xué)來說，顯然還是太晦澀了一點。那么我來舉幾個例子吧。(1) 高斯定律：例子 1：假設(shè)我們有一個點電荷 Q，以其為球心作一個球，把這塊體積稱為 V，那么V 就是這個球的表面。這個電荷 Q 產(chǎn)生了一些電場，從中心的 Q 向外發(fā)射，顯然電場線都穿過了球的表面V，所以“閉合曲面V 的通量”是個正數(shù)，不為 0，而“該曲面包裹住的電荷”為 Q，也不為 0。例子 2：假設(shè)我們把電荷 Q 替換為 -Q，那么所有的電場線方向都反過來了，V 的通量（記得通量中的點乘嗎？）也因此獲得了一個負(fù)號，所以“閉合曲面 V 的通量”變成了負(fù)數(shù)，而“

18、該曲面包裹住的電荷”為 -Q，也變成了負(fù)數(shù)。等式再一次成立。例子 3：假設(shè)我們把這個球的半徑擴(kuò)大為原來的 2 倍，這個球的表面積就變成了原來的 4 倍。與此同時，由于庫侖力的反比平方定律，由于球表面與球心電荷 Q 的距離變成了原來的 2 倍，在球表面 V 的電場強度也變成了原來的 1/4。通量（電場和面積的積分）獲得一個系數(shù) 4，又獲得一個系數(shù) 1/4，所以“閉合曲面 V 的通量”沒有變，而“該曲面包裹住的電荷”顯然仍然為 Q，也沒有變。例子 4：事實上，我們隨便怎么改變這一塊表面積的大小、體積，算出來的通量都不會變（盡管會非常難算），因為等式的右邊“該曲面包裹住的電荷”一直都沒有變。例子 5

19、：假設(shè)我們把電荷移到這個曲面外面，那么電場線會從這個球的一面穿透進(jìn)去，然后從另一面出來，所以當(dāng)我們做積分的時候，兩個方向的通量抵消了，整個“閉合曲面V 的通量”為 0，而此時我們的曲面沒有包裹住任何電荷，所以“該曲面包裹住的電荷”也為 0。等式成立。(2) 法拉第定律：例子 6：一圈閉合導(dǎo)線，環(huán)住了一塊曲面 S，則記這個曲線的位置為 S，那么經(jīng)過 S 的電場E的環(huán)量其實就是導(dǎo)線內(nèi)的電勢（電壓）。垂直于 S 通過一些磁場B，則通過 S 的磁通量不為 0。然而此時導(dǎo)線內(nèi)并沒有電流，也就是說，并沒有電壓，“閉合曲線 S 的環(huán)量”為 0。這是很顯然的，因為磁通量并沒有變化，沒有電磁感應(yīng)，換句話說，“曲

20、面 S 上的通量的變化率”為 0。例子 7：這個時候我突然增加磁場，所以磁通量變大了，“磁通量的變化率”為正，不為 0。因此，等式的左邊“閉合曲線 S 的環(huán)量”也為正，不為 0，也就是說，導(dǎo)線內(nèi)產(chǎn)生了一些電壓，繼而產(chǎn)生了一些感應(yīng)電流。這正是大家熟悉的法拉第電磁感應(yīng)。例子 8：如果我不是增加磁場，而是減小磁場，那么磁通量變小了，“磁通量的變化率”為負(fù)。那么等式左邊“閉合曲線 S 的環(huán)量”也獲得了一個負(fù)號，換句話說，感應(yīng)電流的方向反了過來。(3) 高斯磁定律：例子 9：隨便選擇一個閉合曲面，整個曲面上的磁通量一定為 0。這和電場的情況迥然不同，因此說明，不像有可以產(chǎn)生電場的“電荷”，這個世界上是沒

21、有能單獨產(chǎn)生磁場的“磁荷”（也就是“磁單極子”）的。(4) 安培 - 麥克斯韋定律：例子 10：假設(shè)我們有一個電流 I，以其為軸作一個圓，把這個圓稱為 S，那么 S 就是這個圓的邊緣。這個電流 I 產(chǎn)生了一些磁場，（按照右手定則）繞著導(dǎo)線。顯然磁場線和S 都是“繞著導(dǎo)線”，方向一致，所以“閉合曲線 S 的環(huán)量”是個正數(shù)，不為 0，而“該曲線環(huán)住的電流”為 I，也不為 0。例子 11：假設(shè)我們改變電流方向，即把 I 變成 -I，那么所有的磁場線方向都反過來了，S 的環(huán)量也因此獲得了一個負(fù)號，所以“閉合曲線 S 的環(huán)量”和“該曲線環(huán)住的電流”均獲得一個負(fù)號。等式再一次成立。例子 12：和高斯定律很

22、像，我們隨便怎么改變這一個環(huán)的大小、面積，只要環(huán)住的電流不變，算出來的環(huán)量都不會變（盡管可能會非常難算）。而若電流在這個環(huán)外面，盡管仍然有磁場存在，但在計算環(huán)量時相互抵消，使得等式兩邊都變成 0。例子 13：“變化的電場產(chǎn)生磁場”（即第二項）的例子非常難找，這也正是安培當(dāng)年沒有自己發(fā)現(xiàn)、非要等到麥克斯韋幫忙才發(fā)現(xiàn)的原因。我這里不妨不再細(xì)述，讀者只要接受這個設(shè)定就好。有興趣的讀者可以自己思考一個這種情況的例子。最后，還記得我們之前說過“保守力場的任意環(huán)量都為 0”嗎？顯然，要想讓磁場的環(huán)量為 0，那就只能既沒有電流（方程 (4) 中的第一項），也沒有變化的電通量（第二項），那么磁場只能為 0。換

23、言之，任何磁場都不是保守力場。想讓電場的通量為 0 還比較簡單，只需要令磁通量不變（方程 (2)）就好了。換言之，只有在靜電學(xué)（電磁場均靜止不變）中，靜電場才是保守力場。7. 向量微分麥克斯韋方程組描述了所有的電磁現(xiàn)象，從每個方程的名字也可以看出，方程組總結(jié)、整合了前人（庫侖、高斯、安培、法拉第等）發(fā)現(xiàn)的各種現(xiàn)象和其方程（在麥克斯韋以前這樣的方程可能有數(shù)十個），而麥克斯韋把它們總結(jié)歸納到了一起，用短短四個公式涵蓋了所有現(xiàn)象，非常了不起。然而平心而論，積分形式仍然顯得頗為繁瑣，原因有二：1. 積分是很難算的，雖然每一個方程的左右兩邊都必然相等，但隨便給你一個場和一個曲面 / 曲線，想把左側(cè)的積分

24、算出來極為困難；2. 也正因為如此，我們盡管有可以描述電磁場的方程，但給定一個特定的來源（比如天線中一個來回?fù)u擺的電荷），我們想算出具體的E和B也是極為困難，因為我們只知道 E 和 B 在某個特殊曲面 / 曲線上的積分。這就是微分形式的好處。首先，計算一個給定向量場的微分（散度和旋度）是很簡單的，只要使用之前提到過的 和 算符就好，而這兩個算符都有一套固定的算法。其次，散度和旋度代表著一個向量場的兩種不同的自由度，有著非常直接的幾何意義，從這兩個量中恢復(fù)出向量場也是比較直觀的過程。當(dāng)然，我們又需要再準(zhǔn)備一些向量微積分的知識，其中的重點就是散度和旋度。散度 divergence，顧名思義，是指一

25、個向量場發(fā)散的程度。一個向量場F的散度是一個標(biāo)量場（向量場的每一點有一個自己的散度），寫作 F（這個寫法也很直白，因為點乘就是標(biāo)量）。如果一個點的散度為正，那么在這一點上F有向外發(fā)散的趨勢；如果為負(fù)，那么在這一點上F有向內(nèi)收斂的趨勢。旋度 curl則指一個向量場旋轉(zhuǎn)的程度。一個向量場F的旋度是一個向量場（向量場的每一點有一個自己的旋度，而且是一個向量；這是因為旋轉(zhuǎn)的方向需要標(biāo)明出來），寫作 F（這個寫法也很直白，因為叉乘就是向量）。如果一個點的旋度不為 0，那么在這一點上F有漩渦的趨勢，而這個旋度的方向表明了旋轉(zhuǎn)的方向。舉些例子，以下是兩個向量場的例子。其中第一個向量場往外發(fā)散，但完全沒有旋轉(zhuǎn)

26、扭曲的趨勢；第二個向量場形成了一個標(biāo)準(zhǔn)的漩渦，但沒有任何箭頭在往外或往里指，沒有發(fā)散或收斂的趨勢。（顯然這兩個圖都是用字符直接畫的；大家湊合著看，有空我再搞張好看點的圖）散度不為 0、但旋度為 0 的向量場： 旋度不為 0、但散度為 0 的向量場： 因此，如你所見，散度和旋度描述的都是非常直觀的幾何性質(zhì)。只要知道一個向量場的散度和旋度，我們就可以唯一確定這個向量場本身（這是亥姆霍茲定理，我要是有興致可以以后簡單談?wù)劊?。麥克斯韋方程組的微分形式，就是要描述電磁場的散度和旋度。我前邊說到，微分形式和積分形式是完全等價的，我很也可以很輕松地從一個形式推導(dǎo)出另一個形式，用的是高斯定理（不要和高斯定律混

27、淆、又叫散度定理）和斯托克斯定理。高斯定理 Gausss Theorem：一個向量場F在閉合曲面 V 上的通量，等于該曲面包裹住的體積 V 里的F全部的散度（F的散度的體積積分）。這是可以想象的，畢竟通量就是在計算有多少場從這個閉合曲面里發(fā)散出去了，也就是總共的散度（散度的積分）。斯托克斯定理 Stokes Theorem：一個向量場F在閉合曲線 S 上的環(huán)量，等于該曲線環(huán)住的曲面 S 上的F全部的旋度（F的旋度的曲面積分）。這也是可以想象的，畢竟環(huán)量就是在計算有多少場和這個環(huán)方向一樣（有多少場在沿著這個環(huán)旋轉(zhuǎn)），也就是總共的旋度（旋度的積分）?？偨Y(jié)如下表：8. 麥克斯韋方程組的微分形式了解了

28、散度和旋度的概念之后，我們便可以讀懂麥克斯韋方程組的微分形式了。(1) 高斯定律：電場E的散度，等于在該點的電荷密度 （乘上系數(shù) 1/0）；(2) 法拉第定律：電場E的旋度，等于在該點的磁場B的變化率（乘上系數(shù) -1）；(3) 高斯磁定律：磁場B的散度，等于 0；(4) 安培麥克斯韋定律：磁場B的旋度，等于在該點的電流密度J（乘上系數(shù) 0），加上在該點的電場E的變化率（乘上系數(shù) 00）。我們可以看出，電荷和電流對電場和磁場干的事情是不一樣的：電荷的作用是給電場貢獻(xiàn)一些散度，而電流的作用是給磁場貢獻(xiàn)一些旋度。然而變化的電磁場對對方干的事情是一樣的，都是給對方貢獻(xiàn)一些旋度。想看一些具體例子的同學(xué)要

29、失望了。微分形式的例子比較難舉，因為微分形式主要是讓計算更加簡便，在數(shù)學(xué)上比較有優(yōu)勢，而應(yīng)用到具體的現(xiàn)象上則不那么顯而易見。不過，至少靜電磁場的例子還是可以舉的。比如，我們知道電場線總是從正電荷出發(fā)、然后進(jìn)入負(fù)電荷，這正是在說電場的散度在正電荷處為正，在負(fù)電荷處為負(fù)。再例如我們知道磁場線總是繞著電流，而不會進(jìn)入或發(fā)源于電流，這也就是在說磁場有旋度而一定沒有散度。9. 電磁波我剛剛提到，微分形式的主要好處是數(shù)學(xué)上處理起來很簡便，我現(xiàn)在就給一個例子，也就是著名的光速。想象我們在真空中，周圍什么都沒有。這個時候，顯然電荷密度和電流密度均為 0，所以麥克斯韋方程組的微分形式變成了：這四個公式簡直太對稱了！而且它們的含義也很清晰，基本就是說，變化的電場產(chǎn)生磁場，而變化的磁場產(chǎn)生電場。這就是電磁波 electromagnetic wave的方程，電磁波也就是電場和磁場此消彼長、相互轉(zhuǎn)化、向前傳播的形式