對(duì)數(shù)學(xué)十個(gè)核心概念的思考20120320

1、對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的思考對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的思考北京教育科學(xué)研究院 吳正憲 北京順義區(qū)教育研究考試中心 張秋爽 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011 年版）提出了 10 個(gè)核心概念。它們是：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。與實(shí)驗(yàn)稿相比，在這 10 個(gè)核心概念中， 有一些是新增加的：運(yùn)算能力、模型思想、幾何直觀、創(chuàng)新意識(shí)；有一些是名稱或內(nèi)涵發(fā)生了變化的：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、數(shù)據(jù)分析觀念； 有一些是保持了原有名稱，基本保持了原有內(nèi)涵：空間觀念、推理能力、應(yīng)用意識(shí)。 這 10 個(gè)核心概念可以分成三層：第一層，主要體現(xiàn)在某一內(nèi)容領(lǐng)域的核心概念。數(shù)感、

2、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力主要體現(xiàn)在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，空間觀念主要體現(xiàn)在圖形與幾何領(lǐng)域，數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域；第二層，體現(xiàn)在不同內(nèi)容領(lǐng)域的核心概念，包括幾何直觀、推理能力和模型思想；第三層，超越課程內(nèi)容，整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)課程都應(yīng)特別注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。 下面就結(jié)合一些課堂實(shí)例對(duì)其中新增的四個(gè)核心概念“運(yùn)算能力、模型思想、幾何直觀、創(chuàng)新意識(shí)”的理解與大家交流。一、一、如何提高學(xué)生的運(yùn)算能力如何提高學(xué)生的運(yùn)算能力運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。一是指運(yùn)算；二是指運(yùn)算能力。運(yùn)算能力不僅僅會(huì)算

3、和算正確，還包括對(duì)于運(yùn)算的本身要有理解，比如運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算的意義、算理等。提到運(yùn)算的意義，我們覺(jué)得要讓學(xué)生積累運(yùn)算的原型，不斷補(bǔ)充進(jìn)而完善學(xué)生對(duì)于運(yùn)算含義的準(zhǔn)確把握。運(yùn)算的多種“原型”包括：加法可以作為合并、移入、增加、繼續(xù)往前數(shù)等的模型；減法可以作為剩余、比較、往回?cái)?shù)、減少或加法逆運(yùn)算等的模型；乘法可以作為相等的數(shù)的和、面積計(jì)算、倍數(shù)、組合等的模型；除法可以作為平均分配、比率或乘法逆運(yùn)算等的模型。提到算理和算法的關(guān)系，我們認(rèn)為“法理”需要平衡。直觀演繹，清晰算法是外在模型,算理是內(nèi)在的魂。而現(xiàn)在的孩子在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前不是一張白紙，他們往往學(xué)會(huì)了一些所謂的計(jì)算方法，但是對(duì)于方法背后的道理卻是知

4、之甚少或一無(wú)所知，怎樣引起他們對(duì)算理的關(guān)注與探究呢？教學(xué)中可以借助直觀模型，架起算理與算法之間的一座橋梁，使學(xué)生能夠直觀地感悟計(jì)算的道理。北京黃城根小學(xué)的史冬梅老師的一節(jié)兩位數(shù)乘兩位數(shù) ，結(jié)合三年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)，借助直觀模型也很好地處理了算理與算法的關(guān)系。片段一：片段一：“算對(duì)了算對(duì)了”就是真明白了嗎？就是真明白了嗎？教師出示問(wèn)題 1412 等于多少.在學(xué)生獨(dú)立試做并利用計(jì)算器驗(yàn)證出結(jié)果后，全班學(xué)生證明計(jì)算結(jié)果正確之后，老師說(shuō)：“既然我們已經(jīng)認(rèn)同了 1412=168 是正確的，大家又會(huì)計(jì)算過(guò)程,是不是就可以下課了呢？”不能下課的呼聲頓時(shí)而起.“媽媽教會(huì)我計(jì)算，但是我不知道為什么這樣計(jì)算。 ”

5、 “豎式計(jì)算方法為什么上下摞著寫(xiě)， ” “是誰(shuí)發(fā)明這樣計(jì)算的，人類怎么想到這種方法的， ”看似一句簡(jiǎn)單的“是否可以下課” ，引發(fā)了學(xué)生的深度思考。教師創(chuàng)設(shè)這樣的問(wèn)題情境，沒(méi)有把學(xué)生的思維停留在計(jì)算的結(jié)果，而是為學(xué)生提供質(zhì)疑的空間，讓使學(xué)生帶著需求進(jìn)入后續(xù)知識(shí)的研究。片段二：在點(diǎn)子圖上刻畫(huà)思維軌跡片段二：在點(diǎn)子圖上刻畫(huà)思維軌跡“我們除了用豎式計(jì)算和用計(jì)算器計(jì)算之外，同學(xué)們還有很多計(jì)算方法，例如1272；1462；1443；1426；1210+124；1252+124，這樣計(jì)算有道理嗎？” 學(xué)生開(kāi)始疑惑和茫然，此時(shí)教師提供點(diǎn)子圖建議學(xué)生在圖中找答案。 （每行有 14 個(gè)點(diǎn)，有這樣的 12 行）學(xué)生

6、在點(diǎn)子圖中演繹計(jì)算道理。如下圖所示。 學(xué)生在點(diǎn)子圖中找到計(jì)算的道理，并證明實(shí)以上幾種方法都是正確的。史老師接著追問(wèn)：“哪個(gè)圖能恰當(dāng)?shù)捏w現(xiàn)豎式的計(jì)算過(guò)程？”史老師在這節(jié)課上沒(méi)有將會(huì)寫(xiě)“豎式”作為最終的教學(xué)目標(biāo)，而是在學(xué)生已經(jīng)能夠初步掌握豎式計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，提供給學(xué)生直觀的點(diǎn)子圖作為研究素材，使學(xué)生的種種思維軌跡在點(diǎn)子圖上留下足跡，使學(xué)生豐富多彩的學(xué)習(xí)成果得以證明。學(xué)生計(jì)算的方法不完全相同，但都是采用“先分后合”的思路，這一點(diǎn)恰恰就是乘法豎式計(jì)算的基本思路。其中最后的追問(wèn)也體現(xiàn)了直觀與抽象的關(guān)系，讓學(xué)生進(jìn)一步理解計(jì)算的道理。片段三：在點(diǎn)子圖中，把抽象的算理和外顯的算法進(jìn)行勾連片段三：在點(diǎn)子圖中，

7、把抽象的算理和外顯的算法進(jìn)行勾連“豎式計(jì)算中用到的四句口訣（二四得八，一四得四，一二得二，一一得一）計(jì)算的是哪部分？為什么第二層的積要錯(cuò)位寫(xiě)？能在點(diǎn)子圖上找到豎式計(jì)算的過(guò)程并說(shuō)明道理嗎？”提出的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考，學(xué)生開(kāi)始在點(diǎn)子圖上尋覓豎式計(jì)算的步驟。在點(diǎn)子圖中找每個(gè)算式對(duì)應(yīng)的位置。如下圖所示：接著將點(diǎn)子圖抽象成矩形，并用數(shù)形結(jié)合表示計(jì)算的過(guò)程和道理，如下圖： 然后，說(shuō)明第二層積為什么要錯(cuò)位書(shū)寫(xiě)的道理。 最后將所有的積相加，就是 1214 的計(jì)算結(jié)果。在點(diǎn)子圖中尋覓豎式計(jì)算的足跡，幫助學(xué)生還原最簡(jiǎn)單、最直觀的道理和方法，使算理與算法融為一體。在進(jìn)行學(xué)生前測(cè)時(shí)，多數(shù)學(xué)生掌握的是計(jì)算的流程，但是為什

8、么這樣計(jì)算，豎式是怎樣演變來(lái)的，人類為什么這樣規(guī)定計(jì)算流程，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。點(diǎn)子圖將“冷冰冰”的算法和“神秘秘”的算理，揭示得如此透徹，讓學(xué)生清楚“法中見(jiàn)理，理中得法，原本不可剝離” 。回顧以往的教學(xué)，不少老師認(rèn)為計(jì)算教學(xué)沒(méi)什么道理可講，或者不重視引導(dǎo)學(xué)生探索計(jì)算的過(guò)程，或者當(dāng)學(xué)生剛剛探索出方法后，就立即引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)豎式，在學(xué)生對(duì)豎式運(yùn)算的每個(gè)環(huán)節(jié)沒(méi)有真正理解的情況下就開(kāi)始追求計(jì)算方法，這就很可能造成學(xué)生在沒(méi)有真正理解道理的情況下，只能靠記憶法則來(lái)習(xí)得方法和技能。這顯然對(duì)學(xué)生的發(fā)展是不利的，而這節(jié)課恰恰體現(xiàn)了算理與算法有機(jī)融合的鮮活而典型的案例。因此，教師要給學(xué)生提供可以操作、圈畫(huà)的素材

9、，促使學(xué)生有意識(shí)地審視自己的操作過(guò)程，自覺(jué)地把操作過(guò)程中所獲得的認(rèn)識(shí)進(jìn)行整理提升，使抽象的算理變得直觀形象，使學(xué)生在明理中順利、自然的掌握了算法，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，提高運(yùn)算能力。二、如何建立模型思想二、如何建立模型思想“模型思想”是新增的核心概念， 標(biāo)準(zhǔn)指出：”模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)” 。標(biāo)準(zhǔn)首先說(shuō)明了模型思想的價(jià)值，即建立了

10、數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。小學(xué)階段有兩個(gè)典型的模型“路程速度時(shí)間” 、 “總價(jià)單價(jià)數(shù)量” 。 方程是個(gè)建模的過(guò)程，怎樣幫學(xué)生建立好這個(gè)數(shù)學(xué)模型？從事件中尋找等量關(guān)系，列出方程，可以說(shuō)是一種建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程；如何讓學(xué)生更好的經(jīng)歷這個(gè)建模的過(guò)程，使學(xué)生更輕松的接受這個(gè)模型，我認(rèn)為單方面去讓學(xué)生經(jīng)歷從事件中提取還不能夠讓學(xué)生充分接受。 “數(shù)學(xué)源自生活，又回歸于生活”這就告訴我們，建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是提取加還原的過(guò)程，所以，在教學(xué)中，前期我們可以搜集較為豐富的生活事件，引導(dǎo)學(xué)生不斷地經(jīng)歷提取等量關(guān)系，列方程的過(guò)程；但在后期應(yīng)讓學(xué)生面對(duì)方程這個(gè)已有模型，讓學(xué)生去賦予它更多現(xiàn)實(shí)含義，當(dāng)學(xué)生能夠把模型與生活建立

11、聯(lián)系時(shí)，他才真的開(kāi)始接受這個(gè)模型了。1.1.方程是個(gè)建模的過(guò)程方程是個(gè)建模的過(guò)程下面以陳千舉老師方程一課的教學(xué)流程為例，說(shuō)明如何在體現(xiàn)模型思想的同時(shí)，又滲透了從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過(guò)渡？【片段片段 1】1】借助天平建立方程借助天平建立方程 陳教師大膽地在教具上做文章，把過(guò)去由教室一手操作的電腦中的天平變成了孩子們可以任意動(dòng)手?jǐn)[動(dòng)得紙制天平。動(dòng)態(tài)演示，直觀解讀，讓學(xué)生在直觀教具模型的動(dòng)態(tài)演示中感悟理解方程的意義。因此課堂上出現(xiàn)了學(xué)生可以自己可以動(dòng)一動(dòng)的天平模型。 隨著天平上物體的變化，學(xué)生把“未知的物體”作為“已知量”參與“尋找等量關(guān)系”的探索，天平讓學(xué)生很容易認(rèn)識(shí)到左右兩邊物體質(zhì)量的關(guān)系，有利

12、于直接尋找到表示左右兩邊相等的式子。尋找等量關(guān)系對(duì)于建立方程概念顯得很是重要。動(dòng)態(tài)天平模型的出現(xiàn)，為學(xué)生理解“含有未知數(shù)的等式叫做方程”給與了重要的認(rèn)知支持?！酒纹?2】2】尋找內(nèi)隱的天平尋找內(nèi)隱的天平 并不是所有的情景都是稱質(zhì)量，離開(kāi)了天平情景，學(xué)生該怎么做呢？對(duì)尋找心中的天平，找出等量關(guān)系是關(guān)鍵。 師：下面請(qǐng)同學(xué)們看圖，你能在此圖中找到一組相等的關(guān)系嗎？生 1：每塊月餅質(zhì)量4=380 師：每塊月餅質(zhì)量不知道，我們可以用什么來(lái)表示？生 2：我們可以用字母表示。 師：你能利用一個(gè)式子來(lái)表示這組相等的關(guān)系嗎？（組織學(xué)生自己寫(xiě)：） 生 3：4x=380 生 4: 4A=380 師：沒(méi)有天平了，

13、你們通過(guò)心中的天平也找到了等量關(guān)系，列出了方程?？磥?lái)，天平的威力還真不小。 師：再看這幅圖，先說(shuō)說(shuō)圖意，其中的等量關(guān)系是什么？請(qǐng)用個(gè)式子表示這組相等的系。（學(xué)生獨(dú)立思考、寫(xiě)出答案后交流。 ）生 5：一個(gè)大水壺能盛 2000 毫升水，剛好倒?jié)M 2 個(gè)熱水瓶和 1 紙杯，紙杯的容量是 200毫升。生 6：這幅圖的等量關(guān)系：兩個(gè)熱水瓶的盛水量200 毫升=2000 毫升 相等關(guān)系可以用 2x+20=2000。 師：你是用什么表示每個(gè)暖瓶的盛水量的？ 生 6：我是用 x 來(lái)表示的。師：生活情境中找到等量關(guān)系，就可以找到方程的影子。 （教師請(qǐng)一名學(xué)生和自己站在一起） ，問(wèn)：我們兩個(gè)在這兒一站，有方程嗎？

14、 （1）指名讓學(xué)生為站在一起的老師和學(xué)生構(gòu)造方程，師在其中有目的地追問(wèn)相應(yīng)的等量關(guān)系。（2）同學(xué)身高 x 厘米，我們兩個(gè)相差 32 厘米，陳老師身高 180 厘米。師：這次你都能列出哪些方程？ （x32=180 180 x=32 18032=x）教師創(chuàng)設(shè)看似尋常不過(guò)的情境，在學(xué)生尋找方程的過(guò)程中，讓學(xué)生不僅再一次加深了對(duì)方程意義的理解；更重要的是讓學(xué)生感受到方程就在我們的身邊，生活中處處有方程?！酒纹?3】3】在講故事中理解方程在講故事中理解方程 陳老師的課堂別開(kāi)生面，學(xué)生在講故事中感悟理解方程的意義，也給我們帶來(lái)了新的思考即“面對(duì)著抽象的數(shù)學(xué)概念，小學(xué)生需要什么樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)？”20+x=

15、100 賦予生活意義，講個(gè)故事。生 1：有 20 個(gè)黑雞蛋，黑雞蛋和白雞蛋共 100 個(gè)，白雞蛋多少個(gè)？生 2：有 100 個(gè)饅頭，陳老師吃了 20 個(gè)，還剩多少個(gè)？生 3：到超市買東西，付給售貨員 100 元，售貨員找回 20 元，花了多少元？生 4：叔叔要去 100 千米外的河北出差，還剩 20 千米，已經(jīng)行了多少千米？ 生 5：一個(gè)動(dòng)畫(huà)片兩集全場(chǎng) 100 分鐘，已經(jīng)播了 20 分鐘，還剩多少分鐘就播完？從具體事件中尋找等量關(guān)系，列出方程，可以說(shuō)是一種建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。老師讓學(xué)生親自經(jīng)歷這個(gè)建模的過(guò)程，使學(xué)生自然接受這個(gè)數(shù)學(xué)模型。他引導(dǎo)學(xué)生從生活中提取數(shù)學(xué)模型，又將數(shù)學(xué)模型回歸于生活他說(shuō)

16、“建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是提取加還原的過(guò)程” 。因此他在在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生搜集豐富的生活資源，不斷地經(jīng)歷提取等量關(guān)系，列方程的過(guò)程，從而理解方程得意義。最后把抽象的方程與生活情境建立聯(lián)系，讓學(xué)生換個(gè)思路理解方程，為方程增添些許生命力，從而加深和豐富學(xué)生對(duì)方程意義地理解。 2.2.乘法分配律是個(gè)建模的過(guò)程乘法分配律是個(gè)建模的過(guò)程在學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)，我們可以先通過(guò)學(xué)生熟悉的生活情景：買套服、買桌椅、買套餐等情景入手，體會(huì)乘法的意義，進(jìn)一步列出算式；接著可以根據(jù)這些算式的特點(diǎn)，試著寫(xiě)幾個(gè)這樣的等式，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證它們結(jié)果相等，最后分析算式的特點(diǎn)，進(jìn)而總結(jié)出乘法分配律。在學(xué)生理解運(yùn)算律的過(guò)程中，將圖、式、數(shù)、

17、情景進(jìn)行溝通和聯(lián)系，體現(xiàn)多重表達(dá)方式。除此之外，我們還可以利用圖形的直觀性，幫助學(xué)生理解乘法分配律。當(dāng)然，在學(xué)生理解了乘法分配律后還可以讓學(xué)生根據(jù)算式編故事。例如，北師大版教材的例題：給廚房貼瓷磚，正面是一個(gè)長(zhǎng)方形，橫著貼 6 塊，豎著貼 9 行。側(cè)面也是一個(gè)長(zhǎng)方形，橫著貼 4 塊，豎著貼 9 行。一共需要多少塊瓷磚？方法 1：6949=90（塊）方法 2：（64）9=90（塊）對(duì)于解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，可以直接用平面圖形求面積和或面積差，應(yīng)用的也是乘法分配律。先讓學(xué)生說(shuō)明每個(gè)算式的意義，接著讓學(xué)生在圖中指一指每個(gè)算式所對(duì)應(yīng)的面積，最后把兩種方法書(shū)寫(xiě)在一起，讓學(xué)生進(jìn)行比較，進(jìn)一步明確等式左邊和

18、右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。這樣采用多種表征去認(rèn)識(shí)乘法分配律，能夠加深學(xué)生對(duì)運(yùn)算律的認(rèn)識(shí)與把握。對(duì)于乘法分配律的內(nèi)容，通過(guò)學(xué)習(xí)新知，學(xué)生有了理解，但如何真正內(nèi)化理解了呢？如何通過(guò)學(xué)習(xí)活動(dòng)讓不同水平的學(xué)生各有所獲呢？于是，教學(xué)時(shí)教師便提出：你能用“43+63”說(shuō)一道實(shí)際問(wèn)題，表達(dá)出乘法分配律的內(nèi)容嗎？用自己喜歡的方式擺一擺，畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)?？梢杂梦淖值?，也可以用圖表的。怎樣把你的想法記錄下來(lái)，并讓大家能一眼看懂？學(xué)生作品如下：文字式 實(shí)物圖式圖文并茂式 抽象符號(hào)式平面圖形式 線段圖式總結(jié)概括式反饋時(shí)，依據(jù)思維程度的不同由低到高呈現(xiàn)學(xué)生的思考結(jié)果，讓學(xué)生交流幾種思路，這樣使不同思維層次的學(xué)生面臨不同的挑戰(zhàn)，促

19、使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)物抽象到用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的過(guò)程，這就是解構(gòu)的過(guò)程。模型思想的建立需要一個(gè)循環(huán)往復(fù)的過(guò)程，從大量的生活實(shí)例（具體形象、舊知識(shí)）來(lái)抽象出運(yùn)算定律再用自己的方式解讀。這也是一個(gè)建構(gòu)和解構(gòu)的過(guò)程，這兩個(gè)過(guò)程缺一不可，共同承擔(dān)學(xué)生建立模型思想的全過(guò)程。除方程、乘法分配律這兩個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容能夠幫助學(xué)生建立模型外，教材中還有很多內(nèi)容：植樹(shù)問(wèn)題、雞兔同籠及一些基本的數(shù)量關(guān)系、函數(shù)等，建議大家從低年級(jí)開(kāi)始就可以滲透，做到前有孕伏，后有照應(yīng)。三、如何在教學(xué)中體現(xiàn)幾何直觀？三、如何在教學(xué)中體現(xiàn)幾何直觀？幾何直觀是標(biāo)準(zhǔn)中新增的核心概念，主要是指“利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明

20、、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用” 。 （運(yùn)用圖來(lái)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，運(yùn)用圖直觀表示正反比例關(guān)系、利用統(tǒng)計(jì)圖來(lái)直觀地描述數(shù)據(jù)等。 ）1.1. 運(yùn)用圖分析問(wèn)題和解決問(wèn)題運(yùn)用圖分析問(wèn)題和解決問(wèn)題把畫(huà)圖作為一種解決問(wèn)題的策略。由于孩子年齡的局限，他們對(duì)符號(hào)、運(yùn)算性質(zhì)的推理可能會(huì)發(fā)生一些困難，如果適時(shí)的。讓孩子們自己在紙上涂一涂、畫(huà)一畫(huà)，可以拓展學(xué)生解決問(wèn)題的思路，幫助他們找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵。因此我們認(rèn)為，畫(huà)圖應(yīng)該是孩子們掌握的一種基本的解決問(wèn)題的策略。為什么說(shuō)畫(huà)圖很重要呢？主要是比較直觀，通過(guò)畫(huà)圖能夠把一些抽象的數(shù)學(xué)

21、問(wèn)題具體化，把一些復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。如：這個(gè)問(wèn)題是一道出現(xiàn)了不同單位“1”的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，對(duì)學(xué)生的思維具有挑戰(zhàn)性。利用線段圖理解分?jǐn)?shù)的意義，轉(zhuǎn)化單位“1” ，用份數(shù)來(lái)解答問(wèn)題。 這道題轉(zhuǎn)化為把 52 本書(shū)平均分成 13 份，姐姐占 3 份，妹妹占 10 份。通過(guò)畫(huà)線段圖把這種復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)單明了，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、可視化。解決問(wèn)題的策略也躍然紙上。2 2運(yùn)用圖像表示正反比例關(guān)系運(yùn)用圖像表示正反比例關(guān)系函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)重要數(shù)學(xué)模型，它刻劃的是變量與變量之間依賴關(guān)系的模型，函數(shù)是聯(lián)結(jié)兩類對(duì)象的橋梁，體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)有多種表示形式：解析式、表格、圖像、自然語(yǔ)言。這就是人們通常所

22、說(shuō)的函數(shù)的多重表示。多重表示的方法不僅可以加強(qiáng)概念的理解，也是解決問(wèn)題的重要策略。如下圖所示：圖 1、圖 2 用都采用了表格形式反應(yīng)兩類對(duì)象之間的關(guān)系。圖 1 表示的是總量一定，每杯盛水的數(shù)量與杯數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生能夠知道，每杯水的數(shù)量越多，杯數(shù)越少?？梢员硎緸?xy=600；圖 2 表示汽車行駛的速度與時(shí)間之間的關(guān)系，速度不變，時(shí)間越長(zhǎng)，行的路程越長(zhǎng)?？梢员硎緸?y=90 x。 圖圖 1 1 圖圖 2 2圖像對(duì)于理解變量之間的關(guān)系具有十分重要的意義，函數(shù)關(guān)系用圖像來(lái)表示，它的直觀性是其他表示方式所不能替代的，它是“看見(jiàn)”兩種量之間的關(guān)系和變化情況的途徑之一。圖 3、圖 4 采用了圖像反應(yīng)兩類

23、對(duì)象之間的關(guān)系。圖 3 反應(yīng)了正方形周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的變化情況圖，隨著邊長(zhǎng)的增加，周長(zhǎng)也增加，而且它們之間總是 4 倍關(guān)系，圖像是一條直線；圖 4 反應(yīng)的是面積一定時(shí)，長(zhǎng)與寬這兩類對(duì)象之間的關(guān)系，長(zhǎng)增大，寬就減少，它們之間的積是固定不變的，圖像是一條曲線。圖圖 3 3 圖圖 4 4北京實(shí)驗(yàn)一小郭雯硯老師執(zhí)教的成正比例的量 ，這節(jié)課上郭老師緊緊抓住了“圖像”作為幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解正比例的重要素材。圖像反應(yīng)的是我們學(xué)校給住宿的同學(xué)買蘋(píng)果的情況。給出數(shù)據(jù)和具體的情境。師：給出數(shù)據(jù)后，你又能從圖中發(fā)現(xiàn)哪些信息？（12 千克蘋(píng)果 48 元。 ）你怎么看出來(lái)的？生 1：從橫軸上找到 12 千克，向上找到直線上對(duì)

24、應(yīng)的點(diǎn)，再向左找到縱軸上的值。生 2：還能看出 40 元可以買 10 千克蘋(píng)果。生 3：還有每千克蘋(píng)果 4 元。師：學(xué)校又買來(lái)一些香蕉，哪個(gè)更貴呢？學(xué)生覺(jué)得兩幅圖像分開(kāi)畫(huà)不太容易觀察，利用電腦把兩個(gè)圖像合在一起。這時(shí)，學(xué)生都認(rèn)為香蕉更貴，表示香蕉購(gòu)買情況的這條直線更陡一些。師：為什么直線越陡，價(jià)格就越貴？生 1：同樣的數(shù)量，比如都是 6 千克，從橫軸上 6 千克的位置向上看，香蕉的黃線在蘋(píng)果的上面，說(shuō)明香蕉的總價(jià)比蘋(píng)果的多，所以香蕉更貴。生 2：同樣的總價(jià)，比如都是 48 元，向右看可以買 10 千克香蕉或 12 千克蘋(píng)果，買的蘋(píng)果比香蕉多，所以香蕉比蘋(píng)果貴。師：如果還買了一些橙子，我們已經(jīng)知

25、道橙子的價(jià)格比蘋(píng)果貴，你覺(jué)得這條直線應(yīng)該畫(huà)在哪里？生 3:畫(huà)在蘋(píng)果的上面。生 4:畫(huà)在香蕉的上面。生 5:畫(huà)在蘋(píng)果和香蕉之間。由此可以看出，圖像已經(jīng)成為了學(xué)生分析變化關(guān)系，理解變化關(guān)系，呈現(xiàn)變化關(guān)系的重要工具了。的確，圖像讓抽象的變化關(guān)系變得直觀，變得讓學(xué)生有更容易有“感覺(jué)”了。這是學(xué)生第一次接觸函數(shù)圖像，在此之前他們甚至都沒(méi)有見(jiàn)過(guò)圖像，不知道圖像是什么樣的。教師應(yīng)在這部分內(nèi)容的教學(xué)中，大膽地為學(xué)生設(shè)計(jì)猜想、探究、實(shí)驗(yàn)和驗(yàn)證的活動(dòng)，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)將已有的舊知識(shí)與新形式建立聯(lián)系，在圖像的觀察、繪制和分析中豐富對(duì)變化的認(rèn)識(shí)，讓零散的連起來(lái)，讓靜止的動(dòng)起來(lái)，讓具體數(shù)變得抽象起來(lái)，這個(gè)過(guò)程就是函數(shù)思想滲透的重要過(guò)程。3.3.利用統(tǒng)計(jì)圖直觀描述數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計(jì)圖直觀描述數(shù)據(jù)第二學(xué)段（標(biāo)準(zhǔn)例 38）： 對(duì)全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析。說(shuō)明 在上面的例子中，已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)全班同學(xué)的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析。在這個(gè)學(xué)段中，要求學(xué)生結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù)，進(jìn)行進(jìn)一步的整理，然后進(jìn)行分析。整理的目的是為了便于分析。例如，條形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不