對數(shù)學十個核心概念的思考20120320

1、對數(shù)學核心概念的思考對數(shù)學核心概念的思考北京教育科學研究院 吳正憲 北京順義區(qū)教育研究考試中心 張秋爽 義務教育數(shù)學課程標準 （2011 年版）提出了 10 個核心概念。它們是：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識。與實驗稿相比，在這 10 個核心概念中， 有一些是新增加的：運算能力、模型思想、幾何直觀、創(chuàng)新意識；有一些是名稱或內(nèi)涵發(fā)生了變化的：數(shù)感、符號意識、數(shù)據(jù)分析觀念； 有一些是保持了原有名稱，基本保持了原有內(nèi)涵：空間觀念、推理能力、應用意識。 這 10 個核心概念可以分成三層：第一層，主要體現(xiàn)在某一內(nèi)容領域的核心概念。數(shù)感、

2、符號意識、運算能力主要體現(xiàn)在數(shù)與代數(shù)領域，空間觀念主要體現(xiàn)在圖形與幾何領域，數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在統(tǒng)計與概率領域；第二層，體現(xiàn)在不同內(nèi)容領域的核心概念，包括幾何直觀、推理能力和模型思想；第三層，超越課程內(nèi)容，整個小學數(shù)學課程都應特別注重培養(yǎng)學生的應用意識和創(chuàng)新意識。 下面就結(jié)合一些課堂實例對其中新增的四個核心概念“運算能力、模型思想、幾何直觀、創(chuàng)新意識”的理解與大家交流。一、一、如何提高學生的運算能力如何提高學生的運算能力運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。一是指運算；二是指運算能力。運算能力不僅僅會算

3、和算正確，還包括對于運算的本身要有理解，比如運算對象、運算的意義、算理等。提到運算的意義，我們覺得要讓學生積累運算的原型，不斷補充進而完善學生對于運算含義的準確把握。運算的多種“原型”包括：加法可以作為合并、移入、增加、繼續(xù)往前數(shù)等的模型；減法可以作為剩余、比較、往回數(shù)、減少或加法逆運算等的模型；乘法可以作為相等的數(shù)的和、面積計算、倍數(shù)、組合等的模型；除法可以作為平均分配、比率或乘法逆運算等的模型。提到算理和算法的關(guān)系，我們認為“法理”需要平衡。直觀演繹，清晰算法是外在模型,算理是內(nèi)在的魂。而現(xiàn)在的孩子在學習新知識之前不是一張白紙，他們往往學會了一些所謂的計算方法，但是對于方法背后的道理卻是知

4、之甚少或一無所知，怎樣引起他們對算理的關(guān)注與探究呢？教學中可以借助直觀模型，架起算理與算法之間的一座橋梁，使學生能夠直觀地感悟計算的道理。北京黃城根小學的史冬梅老師的一節(jié)兩位數(shù)乘兩位數(shù) ，結(jié)合三年級學生的思維特點，借助直觀模型也很好地處理了算理與算法的關(guān)系。片段一：片段一：“算對了算對了”就是真明白了嗎？就是真明白了嗎？教師出示問題 1412 等于多少.在學生獨立試做并利用計算器驗證出結(jié)果后，全班學生證明計算結(jié)果正確之后，老師說：“既然我們已經(jīng)認同了 1412=168 是正確的，大家又會計算過程,是不是就可以下課了呢？”不能下課的呼聲頓時而起.“媽媽教會我計算，但是我不知道為什么這樣計算。 ”

5、 “豎式計算方法為什么上下摞著寫， ” “是誰發(fā)明這樣計算的，人類怎么想到這種方法的， ”看似一句簡單的“是否可以下課” ，引發(fā)了學生的深度思考。教師創(chuàng)設這樣的問題情境，沒有把學生的思維停留在計算的結(jié)果，而是為學生提供質(zhì)疑的空間，讓使學生帶著需求進入后續(xù)知識的研究。片段二：在點子圖上刻畫思維軌跡片段二：在點子圖上刻畫思維軌跡“我們除了用豎式計算和用計算器計算之外，同學們還有很多計算方法，例如1272；1462；1443；1426；1210+124；1252+124，這樣計算有道理嗎？” 學生開始疑惑和茫然，此時教師提供點子圖建議學生在圖中找答案。 （每行有 14 個點，有這樣的 12 行）學生

6、在點子圖中演繹計算道理。如下圖所示。 學生在點子圖中找到計算的道理，并證明實以上幾種方法都是正確的。史老師接著追問：“哪個圖能恰當?shù)捏w現(xiàn)豎式的計算過程？”史老師在這節(jié)課上沒有將會寫“豎式”作為最終的教學目標，而是在學生已經(jīng)能夠初步掌握豎式計算方法的基礎上，提供給學生直觀的點子圖作為研究素材，使學生的種種思維軌跡在點子圖上留下足跡，使學生豐富多彩的學習成果得以證明。學生計算的方法不完全相同，但都是采用“先分后合”的思路，這一點恰恰就是乘法豎式計算的基本思路。其中最后的追問也體現(xiàn)了直觀與抽象的關(guān)系，讓學生進一步理解計算的道理。片段三：在點子圖中，把抽象的算理和外顯的算法進行勾連片段三：在點子圖中，

7、把抽象的算理和外顯的算法進行勾連“豎式計算中用到的四句口訣（二四得八，一四得四，一二得二，一一得一）計算的是哪部分？為什么第二層的積要錯位寫？能在點子圖上找到豎式計算的過程并說明道理嗎？”提出的問題引發(fā)學生思考，學生開始在點子圖上尋覓豎式計算的步驟。在點子圖中找每個算式對應的位置。如下圖所示：接著將點子圖抽象成矩形，并用數(shù)形結(jié)合表示計算的過程和道理，如下圖： 然后，說明第二層積為什么要錯位書寫的道理。 最后將所有的積相加，就是 1214 的計算結(jié)果。在點子圖中尋覓豎式計算的足跡，幫助學生還原最簡單、最直觀的道理和方法，使算理與算法融為一體。在進行學生前測時，多數(shù)學生掌握的是計算的流程，但是為什

8、么這樣計算，豎式是怎樣演變來的，人類為什么這樣規(guī)定計算流程，激發(fā)了學生的學習需求。點子圖將“冷冰冰”的算法和“神秘秘”的算理，揭示得如此透徹，讓學生清楚“法中見理，理中得法，原本不可剝離” ?；仡櫼酝慕虒W，不少老師認為計算教學沒什么道理可講，或者不重視引導學生探索計算的過程，或者當學生剛剛探索出方法后，就立即引導學生學習豎式，在學生對豎式運算的每個環(huán)節(jié)沒有真正理解的情況下就開始追求計算方法，這就很可能造成學生在沒有真正理解道理的情況下，只能靠記憶法則來習得方法和技能。這顯然對學生的發(fā)展是不利的，而這節(jié)課恰恰體現(xiàn)了算理與算法有機融合的鮮活而典型的案例。因此，教師要給學生提供可以操作、圈畫的素材

9、，促使學生有意識地審視自己的操作過程，自覺地把操作過程中所獲得的認識進行整理提升，使抽象的算理變得直觀形象，使學生在明理中順利、自然的掌握了算法，促進學生思維的發(fā)展，提高運算能力。二、如何建立模型思想二、如何建立模型思想“模型思想”是新增的核心概念， 標準指出：”模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識” 。標準首先說明了模型思想的價值，即建立了

10、數(shù)學與外部世界的聯(lián)系。小學階段有兩個典型的模型“路程速度時間” 、 “總價單價數(shù)量” 。 方程是個建模的過程，怎樣幫學生建立好這個數(shù)學模型？從事件中尋找等量關(guān)系，列出方程，可以說是一種建立數(shù)學模型的過程；如何讓學生更好的經(jīng)歷這個建模的過程，使學生更輕松的接受這個模型，我認為單方面去讓學生經(jīng)歷從事件中提取還不能夠讓學生充分接受。 “數(shù)學源自生活，又回歸于生活”這就告訴我們，建立數(shù)學模型應該是提取加還原的過程，所以，在教學中，前期我們可以搜集較為豐富的生活事件，引導學生不斷地經(jīng)歷提取等量關(guān)系，列方程的過程；但在后期應讓學生面對方程這個已有模型，讓學生去賦予它更多現(xiàn)實含義，當學生能夠把模型與生活建立

11、聯(lián)系時，他才真的開始接受這個模型了。1.1.方程是個建模的過程方程是個建模的過程下面以陳千舉老師方程一課的教學流程為例，說明如何在體現(xiàn)模型思想的同時，又滲透了從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡？【片段片段 1】1】借助天平建立方程借助天平建立方程 陳教師大膽地在教具上做文章，把過去由教室一手操作的電腦中的天平變成了孩子們可以任意動手擺動得紙制天平。動態(tài)演示，直觀解讀，讓學生在直觀教具模型的動態(tài)演示中感悟理解方程的意義。因此課堂上出現(xiàn)了學生可以自己可以動一動的天平模型。 隨著天平上物體的變化，學生把“未知的物體”作為“已知量”參與“尋找等量關(guān)系”的探索，天平讓學生很容易認識到左右兩邊物體質(zhì)量的關(guān)系，有利

12、于直接尋找到表示左右兩邊相等的式子。尋找等量關(guān)系對于建立方程概念顯得很是重要。動態(tài)天平模型的出現(xiàn)，為學生理解“含有未知數(shù)的等式叫做方程”給與了重要的認知支持?！酒纹?2】2】尋找內(nèi)隱的天平尋找內(nèi)隱的天平 并不是所有的情景都是稱質(zhì)量，離開了天平情景，學生該怎么做呢？對尋找心中的天平，找出等量關(guān)系是關(guān)鍵。 師：下面請同學們看圖，你能在此圖中找到一組相等的關(guān)系嗎？生 1：每塊月餅質(zhì)量4=380 師：每塊月餅質(zhì)量不知道，我們可以用什么來表示？生 2：我們可以用字母表示。 師：你能利用一個式子來表示這組相等的關(guān)系嗎？（組織學生自己寫：） 生 3：4x=380 生 4: 4A=380 師：沒有天平了，

13、你們通過心中的天平也找到了等量關(guān)系，列出了方程。看來，天平的威力還真不小。 師：再看這幅圖，先說說圖意，其中的等量關(guān)系是什么？請用個式子表示這組相等的系。（學生獨立思考、寫出答案后交流。 ）生 5：一個大水壺能盛 2000 毫升水，剛好倒?jié)M 2 個熱水瓶和 1 紙杯，紙杯的容量是 200毫升。生 6：這幅圖的等量關(guān)系：兩個熱水瓶的盛水量200 毫升=2000 毫升 相等關(guān)系可以用 2x+20=2000。 師：你是用什么表示每個暖瓶的盛水量的？ 生 6：我是用 x 來表示的。師：生活情境中找到等量關(guān)系，就可以找到方程的影子。 （教師請一名學生和自己站在一起） ，問：我們兩個在這兒一站，有方程嗎？

14、 （1）指名讓學生為站在一起的老師和學生構(gòu)造方程，師在其中有目的地追問相應的等量關(guān)系。（2）同學身高 x 厘米，我們兩個相差 32 厘米，陳老師身高 180 厘米。師：這次你都能列出哪些方程？ （x32=180 180 x=32 18032=x）教師創(chuàng)設看似尋常不過的情境，在學生尋找方程的過程中，讓學生不僅再一次加深了對方程意義的理解；更重要的是讓學生感受到方程就在我們的身邊，生活中處處有方程?！酒纹?3】3】在講故事中理解方程在講故事中理解方程 陳老師的課堂別開生面，學生在講故事中感悟理解方程的意義，也給我們帶來了新的思考即“面對著抽象的數(shù)學概念，小學生需要什么樣的數(shù)學學習？”20+x=

15、100 賦予生活意義，講個故事。生 1：有 20 個黑雞蛋，黑雞蛋和白雞蛋共 100 個，白雞蛋多少個？生 2：有 100 個饅頭，陳老師吃了 20 個，還剩多少個？生 3：到超市買東西，付給售貨員 100 元，售貨員找回 20 元，花了多少元？生 4：叔叔要去 100 千米外的河北出差，還剩 20 千米，已經(jīng)行了多少千米？ 生 5：一個動畫片兩集全場 100 分鐘，已經(jīng)播了 20 分鐘，還剩多少分鐘就播完？從具體事件中尋找等量關(guān)系，列出方程，可以說是一種建立數(shù)學模型的過程。老師讓學生親自經(jīng)歷這個建模的過程，使學生自然接受這個數(shù)學模型。他引導學生從生活中提取數(shù)學模型，又將數(shù)學模型回歸于生活他說

16、“建立數(shù)學模型應該是提取加還原的過程” 。因此他在在教學中，引導學生搜集豐富的生活資源，不斷地經(jīng)歷提取等量關(guān)系，列方程的過程，從而理解方程得意義。最后把抽象的方程與生活情境建立聯(lián)系，讓學生換個思路理解方程，為方程增添些許生命力，從而加深和豐富學生對方程意義地理解。 2.2.乘法分配律是個建模的過程乘法分配律是個建模的過程在學習乘法分配律時，我們可以先通過學生熟悉的生活情景：買套服、買桌椅、買套餐等情景入手，體會乘法的意義，進一步列出算式；接著可以根據(jù)這些算式的特點，試著寫幾個這樣的等式，通過計算驗證它們結(jié)果相等，最后分析算式的特點，進而總結(jié)出乘法分配律。在學生理解運算律的過程中，將圖、式、數(shù)、

17、情景進行溝通和聯(lián)系，體現(xiàn)多重表達方式。除此之外，我們還可以利用圖形的直觀性，幫助學生理解乘法分配律。當然，在學生理解了乘法分配律后還可以讓學生根據(jù)算式編故事。例如，北師大版教材的例題：給廚房貼瓷磚，正面是一個長方形，橫著貼 6 塊，豎著貼 9 行。側(cè)面也是一個長方形，橫著貼 4 塊，豎著貼 9 行。一共需要多少塊瓷磚？方法 1：6949=90（塊）方法 2：（64）9=90（塊）對于解決生活中的實際問題，可以直接用平面圖形求面積和或面積差，應用的也是乘法分配律。先讓學生說明每個算式的意義，接著讓學生在圖中指一指每個算式所對應的面積，最后把兩種方法書寫在一起，讓學生進行比較，進一步明確等式左邊和

18、右邊的結(jié)構(gòu)特點。這樣采用多種表征去認識乘法分配律，能夠加深學生對運算律的認識與把握。對于乘法分配律的內(nèi)容，通過學習新知，學生有了理解，但如何真正內(nèi)化理解了呢？如何通過學習活動讓不同水平的學生各有所獲呢？于是，教學時教師便提出：你能用“43+63”說一道實際問題，表達出乘法分配律的內(nèi)容嗎？用自己喜歡的方式擺一擺，畫一畫、寫一寫。可以用文字的，也可以用圖表的。怎樣把你的想法記錄下來，并讓大家能一眼看懂？學生作品如下：文字式 實物圖式圖文并茂式 抽象符號式平面圖形式 線段圖式總結(jié)概括式反饋時，依據(jù)思維程度的不同由低到高呈現(xiàn)學生的思考結(jié)果，讓學生交流幾種思路，這樣使不同思維層次的學生面臨不同的挑戰(zhàn)，促

19、使學生經(jīng)歷從實物抽象到用數(shù)學符號表示的過程，這就是解構(gòu)的過程。模型思想的建立需要一個循環(huán)往復的過程，從大量的生活實例（具體形象、舊知識）來抽象出運算定律再用自己的方式解讀。這也是一個建構(gòu)和解構(gòu)的過程，這兩個過程缺一不可，共同承擔學生建立模型思想的全過程。除方程、乘法分配律這兩個學習內(nèi)容能夠幫助學生建立模型外，教材中還有很多內(nèi)容：植樹問題、雞兔同籠及一些基本的數(shù)量關(guān)系、函數(shù)等，建議大家從低年級開始就可以滲透，做到前有孕伏，后有照應。三、如何在教學中體現(xiàn)幾何直觀？三、如何在教學中體現(xiàn)幾何直觀？幾何直觀是標準中新增的核心概念，主要是指“利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明

20、、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用” 。 （運用圖來分析問題和解決問題，運用圖直觀表示正反比例關(guān)系、利用統(tǒng)計圖來直觀地描述數(shù)據(jù)等。 ）1.1. 運用圖分析問題和解決問題運用圖分析問題和解決問題把畫圖作為一種解決問題的策略。由于孩子年齡的局限，他們對符號、運算性質(zhì)的推理可能會發(fā)生一些困難，如果適時的。讓孩子們自己在紙上涂一涂、畫一畫，可以拓展學生解決問題的思路，幫助他們找到解決問題的關(guān)鍵。因此我們認為，畫圖應該是孩子們掌握的一種基本的解決問題的策略。為什么說畫圖很重要呢？主要是比較直觀，通過畫圖能夠把一些抽象的數(shù)學

21、問題具體化，把一些復雜的問題簡單化。如：這個問題是一道出現(xiàn)了不同單位“1”的分數(shù)應用題，對學生的思維具有挑戰(zhàn)性。利用線段圖理解分數(shù)的意義，轉(zhuǎn)化單位“1” ，用份數(shù)來解答問題。 這道題轉(zhuǎn)化為把 52 本書平均分成 13 份，姐姐占 3 份，妹妹占 10 份。通過畫線段圖把這種復雜的數(shù)量關(guān)系變得簡單明了，將抽象的數(shù)學問題直觀化、可視化。解決問題的策略也躍然紙上。2 2運用圖像表示正反比例關(guān)系運用圖像表示正反比例關(guān)系函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的一個重要數(shù)學模型，它刻劃的是變量與變量之間依賴關(guān)系的模型，函數(shù)是聯(lián)結(jié)兩類對象的橋梁，體現(xiàn)了對應關(guān)系。函數(shù)有多種表示形式：解析式、表格、圖像、自然語言。這就是人們通常所

22、說的函數(shù)的多重表示。多重表示的方法不僅可以加強概念的理解，也是解決問題的重要策略。如下圖所示：圖 1、圖 2 用都采用了表格形式反應兩類對象之間的關(guān)系。圖 1 表示的是總量一定，每杯盛水的數(shù)量與杯數(shù)之間的關(guān)系。學生能夠知道，每杯水的數(shù)量越多，杯數(shù)越少?？梢员硎緸?xy=600；圖 2 表示汽車行駛的速度與時間之間的關(guān)系，速度不變，時間越長，行的路程越長?？梢员硎緸?y=90 x。 圖圖 1 1 圖圖 2 2圖像對于理解變量之間的關(guān)系具有十分重要的意義，函數(shù)關(guān)系用圖像來表示，它的直觀性是其他表示方式所不能替代的，它是“看見”兩種量之間的關(guān)系和變化情況的途徑之一。圖 3、圖 4 采用了圖像反應兩類

23、對象之間的關(guān)系。圖 3 反應了正方形周長與邊長的變化情況圖，隨著邊長的增加，周長也增加，而且它們之間總是 4 倍關(guān)系，圖像是一條直線；圖 4 反應的是面積一定時，長與寬這兩類對象之間的關(guān)系，長增大，寬就減少，它們之間的積是固定不變的，圖像是一條曲線。圖圖 3 3 圖圖 4 4北京實驗一小郭雯硯老師執(zhí)教的成正比例的量 ，這節(jié)課上郭老師緊緊抓住了“圖像”作為幫助學生認識和理解正比例的重要素材。圖像反應的是我們學校給住宿的同學買蘋果的情況。給出數(shù)據(jù)和具體的情境。師：給出數(shù)據(jù)后，你又能從圖中發(fā)現(xiàn)哪些信息？（12 千克蘋果 48 元。 ）你怎么看出來的？生 1：從橫軸上找到 12 千克，向上找到直線上對

24、應的點，再向左找到縱軸上的值。生 2：還能看出 40 元可以買 10 千克蘋果。生 3：還有每千克蘋果 4 元。師：學校又買來一些香蕉，哪個更貴呢？學生覺得兩幅圖像分開畫不太容易觀察，利用電腦把兩個圖像合在一起。這時，學生都認為香蕉更貴，表示香蕉購買情況的這條直線更陡一些。師：為什么直線越陡，價格就越貴？生 1：同樣的數(shù)量，比如都是 6 千克，從橫軸上 6 千克的位置向上看，香蕉的黃線在蘋果的上面，說明香蕉的總價比蘋果的多，所以香蕉更貴。生 2：同樣的總價，比如都是 48 元，向右看可以買 10 千克香蕉或 12 千克蘋果，買的蘋果比香蕉多，所以香蕉比蘋果貴。師：如果還買了一些橙子，我們已經(jīng)知

25、道橙子的價格比蘋果貴，你覺得這條直線應該畫在哪里？生 3:畫在蘋果的上面。生 4:畫在香蕉的上面。生 5:畫在蘋果和香蕉之間。由此可以看出，圖像已經(jīng)成為了學生分析變化關(guān)系，理解變化關(guān)系，呈現(xiàn)變化關(guān)系的重要工具了。的確，圖像讓抽象的變化關(guān)系變得直觀，變得讓學生有更容易有“感覺”了。這是學生第一次接觸函數(shù)圖像，在此之前他們甚至都沒有見過圖像，不知道圖像是什么樣的。教師應在這部分內(nèi)容的教學中，大膽地為學生設計猜想、探究、實驗和驗證的活動，讓學生有機會將已有的舊知識與新形式建立聯(lián)系，在圖像的觀察、繪制和分析中豐富對變化的認識，讓零散的連起來，讓靜止的動起來，讓具體數(shù)變得抽象起來，這個過程就是函數(shù)思想滲透的重要過程。3.3.利用統(tǒng)計圖直觀描述數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計圖直觀描述數(shù)據(jù)第二學段（標準例 38）： 對全班同學的身高的數(shù)據(jù)進行整理和分析。說明 在上面的例子中，已經(jīng)引導學生對全班同學的身高數(shù)據(jù)進行初步分析。在這個學段中，要求學生結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù)，進行進一步的整理，然后進行分析。整理的目的是為了便于分析。例如，條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不