一元二次方程根的分布情況歸納(完整版)

1、二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納1、一元二次方程根的分布情況設方程的不等兩根為且，相應的二次函數(shù)為，方程的根即為二次函數(shù)圖象與軸的交點，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負情況）分布情況兩個負根即兩根都小于0兩個正根即兩根都大于0一正根一負根即一個根小于0，一個大于0大致圖象（）得出的結論大致圖象（）得出的結論綜合結論（不討論）表二：（兩根與的大小比較）分布情況兩根都小于即兩根都大于即一個根小于，一個大于即大致圖象（）得出的結論大致圖象（）得出的結論綜合結論（不討論）表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況兩根都在內(nèi)兩根有且僅有一根

2、在內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，大致圖象（）得出的結論或大致圖象（）得出的結論或綜合結論（不討論）根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間外，即在區(qū)間兩側，（圖形分別如下）需滿足的條件是 （1）時，； （2）時，對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：（1）兩根有且僅有一根在內(nèi)有以下特殊情況： 若或，則此時不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為或，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程在區(qū)間上有一根，因為，所以，另一根為，由得即為所求； 方程有且只有一根，且這個根在區(qū)間內(nèi)，即，此時由可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，

3、求出相應的根，檢驗根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應的參數(shù)。如方程有且一根在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍。分析：由即得出；由即得出或，當時，根，即滿足題意；當時，根，故不滿足題意；綜上分析，得出或根的分布練習題例1、已知二次方程有一正根和一負根，求實數(shù)的取值范圍。解：由 即 ，從而得即為所求的范圍。例2、已知方程有兩個不等正實根，求實數(shù)的取值范圍。解：由 或即為所求的范圍。例3、已知二次函數(shù)與軸有兩個交點，一個大于1，一個小于1，求實數(shù)的取值范圍。解：由 即 即為所求的范圍。例4、已知二次方程只有一個正根且這個根小于1，求實數(shù)的取值范圍。解：由題意有方程在區(qū)間上只有一個正根，則 即為所求范圍。（

4、注：本題對于可能出現(xiàn)的特殊情況方程有且只有一根且這個根在內(nèi)，由計算檢驗，均不復合題意，計算量稍大）例1、當關于的方程的根滿足下列條件時，求實數(shù)的取值范圍： （1）方程的兩個根一個大于2，另一個小于2；（2）方程的一個根在區(qū)間上，另一根在區(qū)間上；（3）方程的兩根都小于0； 變題：方程的兩根都小于-1（4）方程的兩根都在區(qū)間上；（5）方程在區(qū)間（-1，1）上有且只有一解；例2、已知方程在區(qū)間-1，1上有解，求實數(shù)m的取值范圍例3、已知函數(shù)f (x)的圖像與x軸的交點至少有一個在原點右側，求實數(shù)m的取值范圍檢測反饋：1若二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_2若、是關于x的方程的兩個實根, 則的

5、最小值為 3若關于的方程只有一根在內(nèi)，則_ _4對于關于x的方程x2+(2m-1)x+4 -2m=0 求滿足下列條件的m的取值范圍：（1）有兩個負根 （2） 兩個根都小于-1 （3）一個根大于2，一個根小于2 （4） 兩個根都在（0 ，2）內(nèi)（5）一個根在(-2，0)內(nèi)，另一個根在(1，3)內(nèi) （6）一個根小于2，一個根大于4（7） 在（0， 2）內(nèi) 有根 （8） 一個正根，一個負根且正根絕對值較大5已知函數(shù)的圖像與x軸的交點至少有一個在原點的右側，求實數(shù)m的取值范圍。2、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值問題探討設，則二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值有如下的分布情況：即圖象最大、最小值對于開口

6、向下的情況，討論類似。其實無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結論：（1）若，則，；（2）若，則，另外，當二次函數(shù)開口向上時，自變量的取值離開軸越遠，則對應的函數(shù)值越大；反過來，當二次函數(shù)開口向下時，自變量的取值離開軸越遠，則對應的函數(shù)值越小。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值練習二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值，討論的情況無非就是從三個方面入手：開口方向、對稱軸以及閉區(qū)間，以下三個例題各代表一種情況。例1、函數(shù)在上有最大值5和最小值2，求的值。解：對稱軸，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)。（1）當時，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故 ；（2）當時，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故 例2、求函數(shù)的最小值。解：對稱軸（1）當時，（2）當時，；（3）當時，改：1本題若修改為求函數(shù)的最大值，過程又如何？解：（1）當時，； （2）當時，。 2本題若修改為求函數(shù)的最值，討論又該怎樣進行？ 解：（1）當時，；（2）當時， ，；（3）當時，；（4）當時， ，。 例3、求函數(shù)在區(qū)間上的最小值。解：對稱軸（1）當即時，；（2）當即時，