一元二次不等式的解法

1、知識(shí)點(diǎn)一：一元二次不等式的定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式。比如：.任意的一元二次不等式，總可以化為一般形式：或.知識(shí)點(diǎn)二：一般的一元二次不等式的解法設(shè)一元二次方程的兩根為且，則相應(yīng)的不等式的解集的各種情況如下表：二次函數(shù)（）的圖象注意：（1）一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)的取值，是拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集。知識(shí)點(diǎn)三：解一元二次不等式的步驟（1）先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正

2、，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)； （2）寫出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式： 時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）； 時(shí)，求根； 時(shí)，方程無解 （3）根據(jù)不等式，寫出解集.知識(shí)點(diǎn)四：用程序框圖表示求解一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的過程 規(guī)律方法指導(dǎo)1解一元二次不等式首先要看二次項(xiàng)系數(shù)a是否為正；若為負(fù)，則將其變?yōu)檎龜?shù)；2若相應(yīng)方程有實(shí)數(shù)根，求根時(shí)注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法；3寫不等式的解集時(shí)首先應(yīng)判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應(yīng)分類討論；4根據(jù)不等式的解集的端點(diǎn)恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理，找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系；5若所給不等式最高項(xiàng)系數(shù)含有字

3、母，還需要討論最高項(xiàng)的系數(shù)經(jīng)典例題透析類型一：解一元二次不等式1解下列一元二次不等式（1）； （2）； （3）思路點(diǎn)撥：轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，數(shù)形結(jié)合解決，或利用符號(hào)法則解答.總結(jié)升華：1. 初學(xué)二次不等式的解法應(yīng)盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié)合的分析能力；2. 當(dāng)時(shí)，用配方法，結(jié)合符號(hào)法則解答比較簡(jiǎn)潔（如第2、3小題）；當(dāng)且是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，利用因式分解和符號(hào)法則比較快捷，（如第1小題）.3. 當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)小于0時(shí)，一般都轉(zhuǎn)化為大于0后，再解答.舉一反三：【變式1】解下列不等式(1) ；(2) (3) ； (4) .【變式2】解不等式：類型二：已知一元二次不等式的解集求待定系數(shù)

4、2不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集?？偨Y(jié)升華：二次方程的根是二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn).根據(jù)不等式的解集的端點(diǎn)恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理，找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系，這一點(diǎn)是解此類題的關(guān)鍵。舉一反三：【變式1】不等式ax2+bx+120的解集為x|-3x2，則a=_, b=_?！咀兪?】已知的解為,試求、,并解不等式.【變式3】已知關(guān)于的不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集.類型三：二次項(xiàng)系數(shù)含有字母的不等式恒成立恒不成立問題3已知關(guān)于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。思路點(diǎn)撥：不等式對(duì)一切

5、實(shí)數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個(gè)問題還需要討論二次項(xiàng)的系數(shù)。總結(jié)升華：情況(1)是容易忽略的，所以當(dāng)我們遇到二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，一般需討論。舉一反三：【變式1】 若關(guān)于的不等式的解集為空集，求的取值范圍.【變式2】若關(guān)于的不等式的解為一切實(shí)數(shù)，求的取值范圍.【變式3】若關(guān)于的不等式的解集為非空集，求的取值范圍.類型四：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法4解下列關(guān)于x的不等式（1）x2-2ax-a2+1； （2）x2-ax+10； （3）x2-(a+1)x+a0； 總結(jié)升華：對(duì)含字母的二元一次不等式，一般有這樣幾步：定號(hào)：對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)大于零和小于零分類，確定了二次曲線的開口方向；求根：

6、求相應(yīng)方程的根。當(dāng)無法判斷判別式與0的關(guān)系時(shí)，要引入討論，分類求解；定解：根據(jù)根的情況寫出不等式的解集；當(dāng)無法判斷兩根的大小時(shí)，引入討論。舉一反三：【變式1】解關(guān)于x的不等式：【變式2】解關(guān)于的不等式：（）5解關(guān)于x的不等式：ax2(a+1)x+10?？偨Y(jié)升華：熟練掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基礎(chǔ)，對(duì)最高項(xiàng)含有字母系數(shù)的不等式，要注意按字母的取值情況進(jìn)行分類討論，分類時(shí)要“不重不漏”。舉一反三：【變式1】解關(guān)于x的不等式：(ax-1)(x-2)0； 【變式2】解關(guān)于x的不等式：ax22x-10；【變式3】解關(guān)于x的不等式：ax2-x+10學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1不等式x2ax12a20

7、（其中a0）的解集為（ ）A（3a，4a） B（4a，3a） C（3，4） D（2a，6a）2使有意義的x的取值范圍是（ ）A B C D3不等式ax2+5x+c0的解集為，則a，c的值為（ ）Aa=6，c=1 Ba=6，c=1 Ca=1，c=1 Da=1，c=64解不等式得到解集，那么的值等于( )A10 B-10 C14 D-145不等式x2axb0的解集是x|2x3，則bx2ax10的解集是（ ）A BC D6拋物線y=x2+5x5上的點(diǎn)位于直線y=1的上方，則自變量x的取值范圍是_。7如果關(guān)于x的方程x2(m1)x+2m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是_。8解下列不等式(1) 14

8、-4x2x；(2) x2+x+1>0；(3) 2x2+3x+4<0； (4) ；(5) ；(6) ； (7) 9已知不等式ax23x+64的解集為x|x1或xb。（1）求a，b；（2）解不等式ax2(ac+b)x+bc0。10. 不等式mx2+1mx 的解集為實(shí)數(shù)集R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍能力提升：11不等式的解集是全體實(shí)數(shù)，則a的取值范圍是( )A BC D12對(duì)于滿足0p4的實(shí)數(shù)p，使恒成立的x的取值范圍是 _ .13 已知的解集為，則不等式的解集是_.14若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_.15 若使不等式和同時(shí)成立的x的值使關(guān)于x的不等式也成立，則a的取值范圍是_.16若不等式ax2+bx+c0 的解集為x|2x3，則不等式ax2-bx+c0 的解集是_；不等式cx2+bx+a0的解集是_17 已知，(1)如果對(duì)一切xR，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍