西方經(jīng)濟(jì)學(xué)高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式大全

1、導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(x ) = x - -1 .(ax) = ax lna .(ex) = ex.0 (cc為任意常數(shù)).ln1)(logaxxa .1)(lnxx (sin x) = cos x.(cos x) = - - sin x.(tan x) = = sec2x .(cot x) = = - - csc2x .(sec x) = = sec x tan x .(csc x) = = - - csc x cot x .,11)(arcsin2xx- - 另外還有反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：另外還有反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

2、：,11)(arccos2xx- - - ,11)(arctan2xx .11)cotarc(2xx - - 定理定理2.2. 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u(x)、v( (x) ) 在在 x 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，)0)()()( xuxuxv在在 x 處也可導(dǎo)，處也可導(dǎo)，(u(x) v(x) = u (x) v (x);(u(x)v(x) = u(x)v (x) + + u (x)v(x);.)()()()()()()(2xuxvxuxvxuxuxv - - 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算且且則它們的和、差、積與商則它們的和、差、積與商推論推論 1(cu(x) = cu (x) (c 為常數(shù)為常數(shù)).推論推論

3、 2.)()()(12xuxuxu - - ()uvwu vwuv wuvw乘法法則的推廣：乘法法則的推廣：補(bǔ)充例題：補(bǔ)充例題： 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解解根據(jù)推論根據(jù)推論 1 可得可得 (3x4) = 3(x4) ，(5cos x) = 5(cos x) ，(cos x) = - - sin x，(ex) = ex， (1) = 0，故故f (x) = (3x4 - - ex + 5cos x - - 1) = (3x4) - -( (ex ) ) + (5cos x) - - (1) = 12x3 - - ex - - 5sin x .f (0) = (12x3 - - ex

4、 - - 5sin x)|x=0 = - - 1又又(x4) = 4x3，例例 1設(shè)設(shè) f (x) = 3x4 ex + 5cos x - - 1，求求 f (x) 及及 f (0).例例 2設(shè)設(shè) y = xlnx ， 求求 y .解解根據(jù)乘法公式，有根據(jù)乘法公式，有y = (xlnx) = x (lnx) (x) lnxxxxln11 .ln1x 解解根據(jù)除法公式，有根據(jù)除法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11 - - - - - - - - xxxxxxxy例例 3設(shè)設(shè),112 - - xxy求求 y .2222)1()1()1()()1()(1( - - - - - -

5、xxxxx.)1(12)1()1(2)1(222222 - - - - - xxxxxxx教材教材P32 P32 例例2 2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：3(1)cosyxx-2(2)xyx e2(3)1xyx-32(4)23 sinyxxxe解：解：332(1)(cos )() (cos )3sinyxxxxxx-2222(2)()()()2(2)xxxxxxyx exex exex exxe22222(1)(1)(3)()1(1)xxxxxyxx-2221( 2 )(1)xxxx-222)1 (1xx- 32(4)(2) (3 sin ) ()yxxxe0)sin( 3)(23-x

6、xx)cos(sin362xxxx- 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)如果可以對(duì)函數(shù)如果可以對(duì)函數(shù) f(x) 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) f (x) 再求導(dǎo)，再求導(dǎo)，所得到的一個(gè)新函數(shù)，所得到的一個(gè)新函數(shù)， 稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f(x) 的二階導(dǎo)數(shù)，的二階導(dǎo)數(shù)，.dd22xy記作記作 f (x) 或或 y 或或如對(duì)二階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)，則如對(duì)二階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)，則稱三階導(dǎo)數(shù)，稱三階導(dǎo)數(shù)，.dd33xy記作記作 f (x) 或或 四階或四階以上導(dǎo)四階或四階以上導(dǎo)數(shù)記為數(shù)記為 y(4)，y(5)， ，y(n),dd44xy,ddnnxy或或 ， 而把而把 f (x) 稱為稱為 f (x) 的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).例例3 3 求下

7、列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(1)cosyxx(2)arctanyx(1)cos( sin )cossinyxxxxxx-xxxxxxxycossin2)cos(sinsin-21(2)1yx222)1 ()1 (xxy-22)1 (2xx-解：解：二階以上的導(dǎo)數(shù)可利用后面的數(shù)學(xué)軟件來(lái)計(jì)算二階以上的導(dǎo)數(shù)可利用后面的數(shù)學(xué)軟件來(lái)計(jì)算 2.2.4 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2.2 ( )( )( ( )( ) ( ) dydy dudxdu dxdyfuu xduu xxyf uuyf u xxx定理若函數(shù)在點(diǎn) 可導(dǎo)，函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn) 可導(dǎo)，且或記作：推論推論設(shè)設(shè) y = f (u

8、) ， u = (v)， v = (x) 均均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) y = f ( (x) 也可導(dǎo)，也可導(dǎo)，.xvuxvuyy 以上法則說(shuō)明：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合以上法則說(shuō)明：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù). .23tan4.1(31) ; 2)sin(2); 3)lncos ;4);5)2xxyxyxyxyey-例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：）32322222222(1)( ), ( )31,( )3( )( )3(31)(31)3(31)618 (31)yux u xxyuxuxu x

9、xxxxxx解： 函數(shù)可以分解為(2)2 cos(2) (2) 1cos(2)2cos(2)2xyxxxxxx-把當(dāng)作中間變量，(3)cos1sin(cos )tancoscosxxyxxxx - -把當(dāng)作中間變量，tantan2tan(4)tan()(tan )secxxxxyeexxe把當(dāng)作中間變量，(5)(2 )2 ln2 ()2 ln2xxxxyx- -把當(dāng)作中間變量， 先將要求導(dǎo)的函數(shù)分解成基本初等函數(shù)先將要求導(dǎo)的函數(shù)分解成基本初等函數(shù),或或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商. 任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本

10、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出法則求出. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵: 正確分解初等函數(shù)正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)的復(fù)合結(jié)構(gòu).求導(dǎo)方法小結(jié)：求導(dǎo)方法小結(jié)：2 3221( 1) ; (2)cos3 (3)32 4 lgcos(32)xyxyyxxx - -練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(課堂練習(xí))（）；（ ）222222222(1) 6 ( 1)(2) 3 ln3 sin323(3) 232cos(32)sin(32)(4) (32)4 tan(32)cos(32)cos(32)xxyxxyxyxxxxyxxxxx- - -解:例例5 5：

11、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1） （2）（3） （4）2cosxy 232-xxeyxylnlnln)1ln(2xxy2.2.5 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)00( )yxF xyF xyyy x與 的關(guān)系由方程（ ， ） 確定，未解出因變量的方程（ ， ）= 所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)6( )1.ydyyy xyxedx 例 設(shè)函數(shù)由方程所確定，求(1) (),()(1) 1yyyyyyyyyxyxeyexeex eyxeyeeyxe -解：上式兩邊對(duì) 求導(dǎo)，則有 即1;2.xyyy隱函數(shù)的求導(dǎo)步驟：（）方程兩邊對(duì) 求導(dǎo)，求導(dǎo)過(guò)程中把 視為中間變量，得到一個(gè)含有 的等式（ ）從所得等式中解出227( )

12、cos().dyyy xyxyxdx-例 設(shè)函數(shù)由方程所確定，求222222222222222222 sin() ()1 sin() (22)1 2 sin()2 sin()12 sin() 1 2 sin()1 2 sin()12 sin()xxyxyxyyxyxyyyxxyyxyyyxyyxxyxxyyyxy -解：方程兩邊分別對(duì) 求導(dǎo)，得2( )2.dyyy xxyyxdx練習(xí)：設(shè)函數(shù)由方程所確定，求2 () ()2 22(2 )222xxyyyx yy yxyyyyyxy-解：兩邊分別對(duì) 求導(dǎo)，得 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法求 對(duì)自變量 (或 )的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只須將另一

13、自變量 (或 )看作常數(shù),直接利用一元函數(shù)求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.),(yxfz xyyx例例1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)324( , )23,f x yxx yy-求求( , ),xfx y( , ),yfx y(1,1),xf(1, 1),yf-解：解： xyxyyxxyxfxx43)32(),(2423-32423122)32(),(yxyyxxyxfyy-111413) 1 , 1 (2-xf14) 1(1212) 1, 1 (32-yf例例2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 求),ln()(2222yxyxzxzyz解：解：xxyxyxyxyxxz )ln()ln()(22222222222222

14、2212 ln()()()xxxyxyxyxy222 ln()2xxyx222 ln() 1xxy類似可得類似可得2222222)()ln(2yxyyxyxyyz222 ln()1yxy 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)函數(shù) z = f ( x , y ) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)),(yxfxzx ),(yxfyzy 一般說(shuō)來(lái)仍然是一般說(shuō)來(lái)仍然是 x , y 的函數(shù)，的函數(shù)， 如果這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于如果這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于 x , y 的偏導(dǎo)數(shù)也存在，的偏導(dǎo)數(shù)也存在， 則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是 f (x , y)的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).依照對(duì)變量的不同求導(dǎo)次序，依照對(duì)變量的不

15、同求導(dǎo)次序，二階偏導(dǎo)數(shù)有四二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)：（用符號(hào)表示如下）個(gè)：（用符號(hào)表示如下） xzxxzx22xz ),(yxfxx ;xxz xzyxzyyxz 2),(yxfxy ;xyz yzxyzxxyz 2),(yxfyx ;yxz yzyyzy22yz ),(yxfyy .yyz 其中其中 及及 稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù).),(yxfxy ),(yxfyx 類似的，可以定義三階、四階、類似的，可以定義三階、四階、 、n 階偏導(dǎo)數(shù)，階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，),(,),(yxfyyxfx而稱為函數(shù)稱為函數(shù) f ( x , y ) 的一階偏導(dǎo)數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù).注：當(dāng)兩個(gè)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，它們是相等的注：當(dāng)兩個(gè)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，它