課堂探究 1.3.3導數(shù)的實際應用

1、.課堂探究探究一 收益利潤最大問題利用導數(shù)解決收益利潤最大問題，關鍵是要建立收益利潤的函數(shù)關系式，然后借助導數(shù)研究該函數(shù)的最大值，注意函數(shù)定義域的限制以及實際意義【典型例題1】 某公司準備在兩個工程上投資在A工程上投資的收益萬元與投資額萬元的平方根成正比，且當投資額為9萬元時，投資收益為2萬元；在B工程上的投資收益gt萬元與投資額t萬元的關系式是gt3ln.該公司現(xiàn)準備在兩個工程上共投資350萬元，試求該公司的最大總收益思路分析：設在A工程上的投資額為x萬元，那么在B工程上的投資額為350x萬元，然后將收益表示為x的函數(shù)再用導數(shù)求解解：設該公司在A工程上的投資額為x萬元，依題意，在A工程上的收

2、益為fxk，又當x9時，f92，即k2，所以k，于是fx.這時在B工程上的投資額為350x萬元，那么在B工程上的收益為g350x3ln.于是該公司的總收益為hxfxg350x3ln，其中0x350.于是hx3，令hx0，得15，即x225，當0x225時，hx0；當225x350時，hx0，所以hx在x225處獲得極大值，即最大值，最大值為h2253ln103ln，故該公司最大總收益為萬元探究二 費用最低用料最省問題將費用或用料表示為某個變量的函數(shù)，然后研究該函數(shù)的最值情況多數(shù)情況下，用料最省問題會涉及幾何體的外表積問題，這時要注意結合平面幾何，立體幾何中相關的公式求解【典型例題2】 為了在夏

3、季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造本錢為6萬元該建筑物每年的能源消消耗用C單位：萬元與隔熱層厚度x單位：cm滿足關系：Cx0x10，假設不建隔熱層，每年能源消消耗用為8萬元設fx為隔熱層建造費用與20年的能源消消耗用之和1求k的值及fx的表達式；2隔熱層修建多厚時，總費用fx到達最小，并求最小值思路分析：根據(jù)題設條件構造函數(shù)關系，再應用導數(shù)求最值解：1設隔熱層厚度為x cm，由題設，每年能源消消耗用為Cx.又C08，k40，因此Cx，而建造費用C1x6x，從而隔熱層建造費用與20年的能源消消耗用之和為fx20

4、CxC1x206x6x 0x10；2fx6，令fx0，即6，得x15，x2舍去當0x5時，fx0，當5x10時，fx0.故5是fx的最小值點，對應的最小值為f56570，即當隔熱層修建5 cm厚時，總費用到達最小值70萬元探究三 面積、體積最大問題求面積、體積的最大值問題是生活、消費中的常見問題，解決這類問題的關鍵是根據(jù)題設確定出自變量及其取值范圍，利用幾何性質寫出面積或體積關于自變量的函數(shù)，然后利用導數(shù)的方法來解【典型例題3】 用總長為14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架，假如所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5 m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積思路分析：可設容器

5、的底面的短邊長為x m，那么長邊的長以及高就可用x表示出來，從而得到容積與x的函數(shù)關系式，然后用導數(shù)求得最大值解：設容器底面短邊的邊長為x m，那么另一邊長為x0.5m，高為3.22x.由題意知x0，x0.50，且3.22x0，0x1.6.設容器的容積為V m3，那么有Vxx0.53.22x2x32.2x21.6x0x1.6，V6x24.4x1.6.令V0，有15x211x40，解得x11，x2舍去當x0,1時，Vx0，Vx為增函數(shù)，x1,1.6時，Vx0，Vx為減函數(shù)，V在x0,1.6時取極大值V11.8，這個極大值就是V在x0,1.6時的最大值，即Vmax1.8，這時容器的高為1.2 m，

6、當高為1.2 m時，容器的容積最大，最大值為1.8 m3.探究四 易錯辨析易錯點無視實際問題中變量的取值范圍而出錯【典型例題4】 某廠消費一種機器，其固定本錢即固定投入為0.5萬元但每消費100臺，需要增加可變本錢即另增加投入0.25萬元市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售收入單位：萬元函數(shù)為：Rx5xx20x5，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量單位：百臺1把利潤y表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；2年產(chǎn)量是多少時，工廠所得利潤最大？錯解：1由題意知，本錢函數(shù)Cx0.50.25x，yRxCx0.50.25xx2x0x52yx，令y0，得x4.75，4.75必為最大值點年產(chǎn)量為475臺時，工廠利潤最大錯因分析：實際問題中，該廠消費的產(chǎn)品數(shù)量不一定在500臺之內含500臺，應有x5的情況，錯解無視了此種情況，就出現(xiàn)了錯誤正解：1