數(shù)學(xué)分支巡禮之七：解析幾何

1、.數(shù)學(xué)分支巡禮之七：解析幾何數(shù)學(xué)分支巡禮之七解析幾何的產(chǎn)生十六世紀(jì)以后，由于消費(fèi)和科學(xué)技術(shù)的開(kāi)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對(duì)幾何學(xué)提出了新的需要。比方，德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽(yáng)沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽(yáng)處在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗(yàn)著拋物線運(yùn)動(dòng)的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致理解析幾何的出現(xiàn)。1637年，法國(guó)的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)表了他的著作?方法論?，這本書(shū)的后面有三篇附錄，一篇叫?折光學(xué)?，一篇叫?流星學(xué)?，一篇叫?幾何學(xué)?。當(dāng)時(shí)的這個(gè)“幾何學(xué)實(shí)際上指的是數(shù)學(xué)，就像我國(guó)古代“算術(shù)和“數(shù)

2、學(xué)是一個(gè)意思一樣。笛卡爾的?幾何學(xué)?共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質(zhì)；第三卷是立體和“超立體的作圖，但他實(shí)際是代數(shù)問(wèn)題，討論方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家都把笛卡爾的?幾何學(xué)?作為解析幾何的起點(diǎn)。從笛卡爾的?幾何學(xué)?中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來(lái)。他設(shè)想，把任何數(shù)學(xué)問(wèn)題化為一個(gè)代數(shù)問(wèn)題，在把任何代數(shù)問(wèn)題歸結(jié)到去解一個(gè)方程式。為了實(shí)現(xiàn)上述的設(shè)想，笛卡爾茨從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(duì)x,y的對(duì)應(yīng)關(guān)系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點(diǎn)，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的根本

3、思想。詳細(xì)地說(shuō)，平面解析幾何的根本思想有兩個(gè)要點(diǎn)：第一，在平面建立坐標(biāo)系，一點(diǎn)的坐標(biāo)與一組有序的實(shí)數(shù)對(duì)相對(duì)應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標(biāo)系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個(gè)變數(shù)的一個(gè)代數(shù)方程來(lái)表示了。從這里可以看到，運(yùn)用坐標(biāo)法不僅可以把幾何問(wèn)題通過(guò)代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念親密聯(lián)絡(luò)了起來(lái)。解析幾何的產(chǎn)生并不是偶爾的。在笛卡爾寫(xiě)?幾何學(xué)?以前，就有許多學(xué)者研究過(guò)用兩條相交直線作為一種坐標(biāo)系；也有人在研究天文、地理的時(shí)候，提出了一點(diǎn)位置可由兩個(gè)“坐標(biāo)經(jīng)度和緯度來(lái)確定。這些都對(duì)解析幾何的創(chuàng)立產(chǎn)生了很大的影響。在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為和笛卡爾同時(shí)代的法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬也是解析幾何

4、的創(chuàng)立者之一，應(yīng)該分享這門(mén)學(xué)科創(chuàng)立的榮譽(yù)。費(fèi)爾馬是一個(gè)業(yè)余從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)者，對(duì)數(shù)論、解析幾何、概率論三個(gè)方面都有重要奉獻(xiàn)。他性情謙和，好靜成癖，對(duì)自己所寫(xiě)的“書(shū)無(wú)意發(fā)表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發(fā)表?幾何學(xué)?以前，就已寫(xiě)了關(guān)于解析幾何的小文，就已經(jīng)有理解析幾何的思想。只是直到1679年，費(fèi)爾馬死后，他的思想和著述才從給友人的通信中公開(kāi)發(fā)表。笛卡爾的?幾何學(xué)?，作為一本解析幾何的書(shū)來(lái)看，是不完好的，但重要的是引入了新的思想，為開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)新園地做出了奉獻(xiàn)。解析幾何的根本內(nèi)容在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。如上圖，取定兩條互相垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個(gè)直角坐標(biāo)系o

5、xy。利用坐標(biāo)系可以把平面內(nèi)的點(diǎn)和一對(duì)實(shí)數(shù)x,y建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。除了直角坐標(biāo)系外，還有斜坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系等等。在空間坐標(biāo)系中還有球坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)。坐標(biāo)系將幾何對(duì)象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了親密的聯(lián)絡(luò)，這樣就可以對(duì)空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。用這種方法研究幾何學(xué)，通常就叫做解析法。這種解析法不但對(duì)于解析幾何是重要的，就是對(duì)于幾何學(xué)的各個(gè)分支的研究也是非常重要的。解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的開(kāi)展時(shí)期，這就是變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。解析幾何在數(shù)學(xué)開(kāi)展中起了推動(dòng)作用。恩格斯對(duì)此曾經(jīng)作過(guò)評(píng)價(jià)“數(shù)學(xué)中的

6、轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變書(shū)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立即成為必要的了，解析幾何的應(yīng)用解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)直線的性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線圓、橢圓、拋物線、雙曲線的有關(guān)性質(zhì)。在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面。橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質(zhì)，在消費(fèi)或生活中被廣泛應(yīng)用。比方電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上，影片門(mén)在另一個(gè)焦點(diǎn)上；探照燈、聚光燈、太陽(yáng)灶、雷達(dá)天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線的原理制成的。要練說(shuō)，得練看。看

7、與說(shuō)是統(tǒng)一的，看不準(zhǔn)就難以說(shuō)得好。練看，就是訓(xùn)練幼兒的觀察才能，擴(kuò)大幼兒的認(rèn)知范圍，讓幼兒在觀察事物、觀察生活、觀察自然的活動(dòng)中，積累詞匯、理解詞義、開(kāi)展語(yǔ)言。在運(yùn)用觀察法組織活動(dòng)時(shí)，我著眼觀察于觀察對(duì)象的選擇，著力于觀察過(guò)程的指導(dǎo)，著重于幼兒觀察才能和語(yǔ)言表達(dá)才能的進(jìn)步。我國(guó)古代的讀書(shū)人,從上學(xué)之日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識(shí)記幾千個(gè)漢字,熟記幾百篇文章,寫(xiě)出的詩(shī)文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今天,我們念了十幾年書(shū)的高中畢業(yè)生甚至大學(xué)生,竟提起作文就頭疼,寫(xiě)不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就鋒利地提出:“中小學(xué)語(yǔ)文教學(xué)效果差,中學(xué)語(yǔ)文畢業(yè)生

8、語(yǔ)文程度低,十幾年上課總時(shí)數(shù)是9160課時(shí),語(yǔ)文是2749課時(shí),恰好是30%,十年的時(shí)間,二千七百多課時(shí),用來(lái)學(xué)本國(guó)語(yǔ)文,卻是大多數(shù)不過(guò)關(guān),豈非咄咄怪事!尋根究底,其主要原因就是腹中無(wú)物。特別是寫(xiě)議論文,初中程度以上的學(xué)生都知道議論文的“三要素是論點(diǎn)、論據(jù)、論證,也通曉議論文的根本構(gòu)造:提出問(wèn)題分析問(wèn)題解決問(wèn)題,但真正動(dòng)起筆來(lái)就犯難了。知道“是這樣,就是講不出“為什么。根本原因還是無(wú)“米下“鍋。于是便翻開(kāi)作文集錦之類的書(shū)大段抄起來(lái),抄人家的名言警句,抄人家的事例,不參考作文書(shū)就很難寫(xiě)出像樣的文章。所以,詞匯貧乏、內(nèi)容空洞、千篇一律便成了中學(xué)生作文的通病。要解決這個(gè)問(wèn)題,不能單在布局謀篇等寫(xiě)作技方面下功夫,必須認(rèn)識(shí)到“死記硬背的重要性,讓學(xué)生積累足夠的“米?？偟膩?lái)說(shuō)，解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法可以解決兩類根本問(wèn)題：一類是滿足給定條件點(diǎn)的軌跡，通過(guò)坐標(biāo)系建立它的方程；另一類是通過(guò)方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)。運(yùn)用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的步驟是：首先在平面上建立坐標(biāo)系，把點(diǎn)的軌跡的幾何條件“翻譯成代數(shù)方程；然后運(yùn)用代數(shù)工具對(duì)方程進(jìn)展研究；最后把代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語(yǔ)言表達(dá)，從而得到原先幾何問(wèn)題的答案。家庭是幼兒語(yǔ)言活動(dòng)的重要環(huán)境，為了與家長(zhǎng)配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作，孩子一入園就召開(kāi)家長(zhǎng)會(huì)，給家長(zhǎng)提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動(dòng)及