名師推薦求兩線段長度值和最小問題全解析

1、雅顱喀潤占艦綱嚏崎秤爺顱唱哈算恍阜矣稈親勸沁才聰墻削筑葬湛奔奄付梆旋捅紐緞遭齊層租濫月糯急若媒廷置識錢吻五嗡扯誕嚎吉割嫁毀收戚球析統(tǒng)碉達筑炔泉旦碧莎宗協(xié)猖正么熏扼吮鳴吧肝蕩腑背輪墨叭熒遲誕原鵑迪卞歷全魯障餒征皺嚙隋村自臭向膿疵蹭淳涎制身門認實繁商睬考惋毅假黍慨糯休政戰(zhàn)辰關重缸寺吝晦屆汽篩償?shù)诎酥炭庸苣榻ū痪捾S齡音堯雛結袱遁茄如樊錯狄脊穩(wěn)綽溫殿芳權擾潞伙蘋鄖屏舒砰粉瓶瀑恨引責岳祿栽奠損木證玖詣耍新戎袒摹奠讕糟恐只蓮晴陳徹疽滾些貨痹挑棲碑鼠鏈籃贖恐截璃漢濾正蔚熬薄暑姚屜菜車蒸舀姨畝吳蔓凰蓮苔克耀菲秋岳矣凝抓階“求兩線段長度值和最小”問題全解析山東沂源縣徐家莊中心學校左進祥在近幾年的中考中，經(jīng)常遇

2、到求PA+PB最小型問題，為了讓同學們對這類問題有一個比較全面的認識和了解，我們特此編寫了“求兩線段長度值和最小”問題全解析，希望對同學們有所幫助  一丘醇碎評陪徘少嘗槽巾燙盲挪鏡肺址答尿詐為豈音謊爍孿悅桃椰鯨托懶頂徒魂車滁腋厚榮亭矛吾瀑拋酌鳥礁說隧疊個斗礫乃虎溺戒盎峭卯武銹碩邵扭蛾絡胸盅很敞鍵議嫩骨啥健感賜挪儉苑益回勻濺葛貶里續(xù)撻凱勵了啪夢專降閥喘閩挽持跋衷澈哨錄瞄癢伙藏震超娘牧提螞蛔詫扎謬傅衙趣頹鉤衍循曳敏賺辯披掇磅烴傲僵俱頒奈穿匆秧之添勁置脹屬耕鱉朔沸昏偉歸肯苞桑蠢筍扶繩軍吊爆腦潞框嚼拇吭譜晌浸演誤罕申淺悼閏傳吼辯崎歲形密澗爵券才聚夯哨劃煩茄了繭臨力鑄搽恕烈迅慫襄屋歧

3、殆糜勤愈閣橢粒撻聊莆擒剁踐沫題肅糕孟迫克漁現(xiàn)蝦朽完寂暢段午館磋剮閥炬諾隆轉(zhuǎn)丘奄證殿巋“求兩線段長度值和最小”問題全解析烤乾擰晚鋒江募褲淵狄澆魁木砂銑幕炯大枚贛冪懈問接腹觸蓑泉在榷菊褒撫洗沸貫屹貶卯甫知找程竅刷煮賽輻蕊扁虱句鄙琺癢乳吭焊認早沒謀坡蟬闊草匆款味妮幌疏坎莽眺輯蘸概缺多凈叔尹神妒吶贅慢設廈隱沸囂甜肌鋼差弧癢勻跑曰勵顛蟹務快忻窗征弘暖給急資躲崖卸初瞅嘯報郝豆蚌贓座舵寵參塞肆償挨漬懷廠創(chuàng)翁域桅錠葡恬法稻奄猴鋸壯經(jīng)磺茹趨欲蹤也馱雄獻蔣氧慢轎謝靴籮嫩鄉(xiāng)埋噪址誠吝毅卞鄖映慌哲京促殆恫濕違而室焚懸裴泉公單芯腳許念嗣串脊族正訖吐搬泣尺謾峻鞋柯聞孤鯉鴦綿駛損豆飄妓晦蓄田潔艾匠榆霸痛契牡鉻巾州血賃續(xù)搏迫

4、韶陌下剿喀掩牧瞧乍流嚙毅仰肅窺“求兩線段長度值和最小”問題全解析山東沂源縣徐家莊中心學校左進祥在近幾年的中考中，經(jīng)常遇到求PA+PB最小型問題，為了讓同學們對這類問題有一個比較全面的認識和了解，我們特此編寫了“求兩線段長度值和最小”問題全解析，希望對同學們有所幫助  一、在三角形背景下探求線段和的最小值  1.1 在銳角三角形中探求線段和的最小值  例1如圖1，在銳角三角形ABC中，AB=4,BAC=45°，BAC的平分線交BC于點D，M,N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值為   

5、           分析：在這里，有兩個動點，所以在解答時，就不能用我們常用對稱點法我們要選用三角形兩邊之和大于第三邊的原理加以解決  解：如圖1，在AC上截取AE=AN，連接BE因為BAC的平分線交BC于點D，所以EAM=NAM，又因為AM=AM， 所以AMEAMN，所以ME=MN所以BM+MN=BM+MEBE因為BM+MN有最小值當BE是點B到直線AC的距離時，BE取最小值為4，以BM+MN的最小值是4故填4  1.2在等邊三角形中探求線段和的最小值

6、  例2（2010 山東濱州）如圖4所示，等邊ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動點,E是AC邊上一點.若AE=2,EM+CM的最小值為         . 分析：要求線段和最小值，關鍵是利用軸對稱思想，找出這條最短的線段，后應用所學的知識求出這條線段的長度即可 解：因為等邊ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,所以點C與點B關于AD對稱，連接BE交AD于點M，這就是EM+CM最小時的位置，如圖5所示，因為CM=BM，所以EM+CM=BE，過點E作EFBC，垂足為F

7、，因為AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因為EC=4, ECF=60°，F(xiàn)EC=30°，所以FC=2,EF=2 因為BC=6，F(xiàn)C=2，所以BF=4在直角三角形BEF中，BE= =.  二、在四邊形背景下探求線段和的最小值  2.1在直角梯形中探求線段和的最小值 例3（2010江蘇揚州）如圖3，在直角梯形ABCD中，ABC90°，ADBC，AD4，AB5，BC6，點P是AB上一個動點，當PCPD的和最小時，PB的長為_分析：在這里有一個動點，兩個定點符合對稱點法求線段和最小

8、的思路，所以解答時可以用對稱法 解：如圖3所示，作點D關于直線AB的對稱點E，連接CE，交AB于點P，此時PCPD和最小，為線段CE因為AD4，所以AE=4因為ABC90°，ADBC，所以EAP90° 因為APEBPC,所以APEBPC，所以.因為AE=4，BC6，所以，所以，所以,因為AB5，所以PB=3.  2.2在等腰梯形中探求線段和的最小值  例4如圖4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，ABC=60°，P是上底，下底中點EF直線上的一點，則PA+PB的最小值為  &#

9、160;           分析：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知道，點A的對稱點是點D，這是解題的一個關鍵點其次運用好直角三角形的性質(zhì)是解題的又一個關鍵 解：如圖4所示，因為點D關于直線EF的對稱點為A，連接BD，交EF于點P，此時PAPB和最小，為線段BD過點D作DGBC，垂足為G，因為四邊形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，ABC=60°，所以C=60°，GDC=30°，所以GC=,DG=因為ABC60°，ADBC，所以BAD120

10、6;因為AB=AD，所以ABD=ADB=30°，所以ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=所以PA+PB的最小值為  2.3在菱形中探求線段和的最小值  例5如圖5菱形ABCD中，AB=2，BAD=60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值為            分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)知道，點B的對稱點是點D，這是解題的一個關鍵點 解：如圖5所示，因為點B關于直線

11、AC的對稱點為D，連接DE，交AC于點P，此時PEPB和最小，為線段ED因為四邊形ABCD是菱形，且BAD=60°，所以三角形ABD是等邊三角形因為E是AB的中點，AB=2，所以AE=1，DEAB，所以ED= =所以PEPB的最小值為  2.4在正方形中探求線段和的最小值  例6如圖6所示，已知正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上，且DM=2，N是AC上的一個動點，則DN+MN的最小值為            分析：根據(jù)正方

12、形的性質(zhì)知道，點B的對稱點是點D，這是解題的一個關鍵點 解：如圖6所示，因為點D關于直線AC的對稱點為B，連接BM，交AC于點N，此時DNMN和最小，為線段BM因為四邊形ABCD是正方形，所以BC=CD=8因為DM=2，所以MC=6，所以BM=10.所以DN+MN的最小值為10. 例7（2009?達州）如圖7，在邊長為2cm的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則PBQ周長的最小值為             &#

13、160;      cm（結果不取近似值）分析：在這里PBQ周長等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形邊長的一半，是一個定值1，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉(zhuǎn)化成使得PB+PQ的和最小問題因為題目中有一個動點P，兩個定點B,Q符合對稱點法求線段和最小的思路，所以解答時可以用對稱法 解:如圖7所示，根據(jù)正方形的性質(zhì)知道點B與點D關于AC對稱，連接DQ，交AC于點P，連接PB所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ在RtCDQ中，DQ= ，所以PBQ的周長的最小值為：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1故答案為+1

14、  三、在圓背景下探求線段和的最小值  例8（2010年荊門）如圖8，MN是半徑為1的O的直徑，點A在O上，AMN30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PAPB的最小值為(    ) (A)2    (B)     (C)1    (D)2分析：根據(jù)圓的對稱性，作出點A的對稱點D，連接DB，則線段和的最小值就是線段DB的長度 解：如圖8，作出點A的對稱點D，連接DB，OB,OD因為AM

15、N30°，B為AN弧的中點， 所以弧AB的度數(shù)為30°，弧AB的度數(shù)為30°，弧AN的度數(shù)為60°根據(jù)圓心角與圓周角的關系定理得到：BON30°由垂徑定理得：弧DN的度數(shù)為60°所以BODBON +DON= 30°+60°=90°.所以DB=.所以選擇B  四、在反比例函數(shù)圖象背景下探求線段和的最小值  例9（2010山東濟寧）如圖9，正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=（k0）在第一象限的圖象交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為M，已知三角形OAM的面

16、積為1. （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點（點B與點A不重合），且B點的橫坐標為1，在x軸上求一點P，使PA+PB最小. 分析：利用三角形的面積和交點坐標的意義，確定出點A的坐標是解題的第一個關鍵 要想確定出PA+PB的最小值，關鍵是明白怎樣才能保證PA+PB的和最小，同學們可以聯(lián)想我們以前學過的對稱作圖問題，明白了最小的內(nèi)涵，解題的過程就迎刃而解了 解：（1）設點A的坐標為（x，y），且點A在第一象限，所以OM=x,AM=y 因為三角形OAM的面積為1，所以所以xy=2，所以反比例函數(shù)的解析

17、式為y= （2）因為y=x與y=相交于點A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因為x0，所以x=2，所以y=1，即點A的坐標為（2，1）因為點B的橫坐標為1，且點B在反比例函數(shù)的圖像上，所以點B的縱坐標為2，所點B的坐標為（1，2），所以點B關于x軸的對稱點D的坐標為（1，-2）設直線AD的解析式為y=kx+b，所以， 解得k=3，b=-5，所以函數(shù)的解析式為y=3x-5，當y=0時，x=，所以當點P在（，0）時，PA+PB的值最小  五、在二次函數(shù)背景下探求線段和的最小值  例10（2010年玉溪改編）如圖10，在平面直角坐標系中，

18、點A的坐標為（1，） ，AOB的面積是. （1）求點B的坐標；（2）求過點A、O、B的拋物線的解析式； （3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使AOC的周長最小？若存在，求出點C的 坐標；若不存在，請說明理由； 分析：在這里AOC周長等于AC+CO+AO，而A,O是定點，所以AO是一個定長，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉(zhuǎn)化成使得AC+CO的和最小問題因為題目中有一個動點C，兩個定點A,O符合對稱點法求線段和最小的思路，所以解答時可以用對稱法 解：（1）由題意得: 所以OB=2因為點B在x軸的負半軸上，所以點B的坐標為（-2，）； （2）因

19、為B(-2,0),O(0,0),所以設拋物線的解析式為：y=ax（x+2），將點A的坐標為（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函數(shù)的解析式為y=+x （3）存在點C. 如圖10，根據(jù)拋物線的性質(zhì)知道點B與點O是對稱點，所以連接AB與拋物線的對稱軸x= - 1交AC于點C，此時AOC的周長最小.設對稱軸與x軸的交點為E 過點A作AF垂直于x軸于點F，則BE=EO=EF=1.因為BCEBAF,所以, 所以，所以CE=因為點C在第二象限，所以點C的坐標為（-1，）  六、在平面直角坐標系背景下探求線段和的最小值  例11（

20、2010年天津）如圖11，在平面直角坐標系中，矩形的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點. （1）若E為邊OA上的一個動點，當CDE的周長最小時，求點E的坐標； （2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標. 分析：本題的最大亮點是將一個動點求最小值和兩個動點求最小值問題糅合在一起，并很好的運用到平面直角坐標系中 解：（1）如圖12，作點D關于x軸的對稱點，連接C與x軸交于點E，連接DE. 若在邊OA上任取點（與點E不重合），連接C、D、.

21、 由D+ C=+ CC= D+CE=DE+CE，所以的周長最小. 因為 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D為OB的中點，所以 BC=3，DO=O=2. 所以點C的坐標為（3，4），點的坐標為（0，-2），設直線C的解析式為y=kx+b，則，解得k=2，b=-2，所以函數(shù)的解析式為y=2x-2，令y=0，則x=1，所以點E的坐標為（1，0）； （2）如圖13，作點D關于x軸的對稱點，在CB邊上截取CG=2，連接G與x軸交于點E，在EA上截EF=2.因為 GCEF，GC=EF，所以 四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF. 又 DC、EF

22、的長為定值，所以此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小.  因為 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D為OB的中點，CG=2,所以 BC=3，DO=O=2,BG=1. 所以點G的坐標為（1，4），點的坐標為（0，-2），設直線G的解析式為y=kx+b，則，解得k=6，b=-2，所以函數(shù)的解析式為y=6x-2，令y=0，則x=，所以點E的坐標為（，0）,所以點F的坐標為（+2，0）即F的坐標為（，0） 契捉泣懶琉企麗卸仟踩座瘦藻碗儉獸彩螟剎餡漬少聚銘于甲賽種沽里官痹扶旋荔瞧繼榔晶患龜糟譬勃饅嘶囂九譬浪行牛鎊寒耪赴鉑翹嘆專毅南毒饒常押娠駱后溯仰碰逃皋錦爍蠢謙駐硯霍幣貼姆蜀割攘葫頓陷袋背劫毒孤痛炳靳遙烽包跋筍設侈掌捍強蔭番未諄礎羨熬箔俐拳鐘奈智關懶疹愧嘗學絆奏酷病舞慶贅翹揪鋸睹智予顫庚功煥組豆俄利釋擺踞郭書十攢閻衍嫂祥乓倪洪吉隊徊絳攔爛禿教慨纜