雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

1、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)： 1掌握雙曲線的定義，能說出其焦點(diǎn)、焦距的意義； 2能根據(jù)定義，按照求曲線方程的步驟推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握兩類標(biāo)準(zhǔn)方程； 3能解決較簡單的求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的問題； 4培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和邏輯推理能力。教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程。教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課： 師：我們先來思考這樣一個(gè)問題：（打開幾何畫板）已知定點(diǎn)和，定圓的圓心為，且半徑為，動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與定圓相切。 （1）若，試求動(dòng)圓圓心的軌跡；（2）若，試求動(dòng)圓圓心的軌跡。（教師結(jié)合幾何畫板演示分析）： 師：當(dāng)時(shí)，我們得到的軌跡是什么？

2、生：是橢圓。 師：為什么？ 生：因?yàn)楫?dāng)時(shí)動(dòng)圓內(nèi)切于定圓，所以兩個(gè)圓的圓心距滿足，移項(xiàng)后可以得到：滿足橢圓的定義，所以得到的軌跡是一個(gè)以、為定點(diǎn)，為定長的橢圓。 師：很好。那么，當(dāng)呢，此時(shí)動(dòng)圓與定圓相切有幾種情況？ 生：有兩種情況：內(nèi)切和外切。 師：我們先來考察兩圓外切時(shí)的情況（演示），我們得到的軌跡滿足什么條件？ 生（同時(shí)教師板書）：由于兩圓外切，所以兩個(gè)圓的圓心距滿足 ，移項(xiàng)后可以得到：。(教師演示軌跡) 師：我們再來考察兩圓內(nèi)切時(shí)的情況（演示），我們得到的軌跡又滿足什么條件？ 生（同時(shí)教師板書）：由于兩圓內(nèi)切，所以兩個(gè)圓的圓心距滿足 ，移項(xiàng)后可以得到：。(教師演示軌跡) 師（同時(shí)演示兩種情

3、況下的軌跡）：我們可以得到與定圓相切且過定點(diǎn)的動(dòng)圓的圓心滿足即，圓心的軌跡我們稱之為雙曲線。二、新課講解： 1、定義給出師：今天我們來學(xué)習(xí)雙曲線。同學(xué)們能否結(jié)合剛才的問題給雙曲線下個(gè)一般定義？ 生：雙曲線是到平面上兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的差的絕對值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。師：由橢圓的定義，一般情況下，我們設(shè)該常數(shù)為2a。那么什么情況下表示的是雙曲線的右支，什么情況下表示的是雙曲線的左支？生：當(dāng)時(shí)，表示的是雙曲線的右支，當(dāng)時(shí)，表示的是雙曲線的左支。 2、定義探究 （教師引導(dǎo)學(xué)生分情況討論）：師：這個(gè)常數(shù)2a有沒有限制條件？ 生：有。這個(gè)常數(shù)2a要比

4、焦距小。 師：很好。為什么要有這個(gè)限制條件呢？其他情況會(huì)是怎樣的呢？我們一起來分析一下： （1）若a=0，則有即，此時(shí)軌跡為線段的中垂線； （2）若2a=,則有，此時(shí)軌跡為直線上除去線段中間部分，以、為端點(diǎn)的兩條射線； （3）若2a>,則根據(jù)三角形的性質(zhì)，軌跡不存在。3、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程： 師：我們學(xué)過求曲線的方程的一般步驟，現(xiàn)在我們一起根據(jù)定義求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（師生互動(dòng)，共同推導(dǎo)之） 第一步：建立直角坐標(biāo)系； 第二步：設(shè)點(diǎn)：設(shè)M(x，y)，焦點(diǎn)分別為和，M到焦點(diǎn)的距離差的絕對值等于2a； 第三步：啟發(fā)學(xué)生根據(jù)定義寫出M點(diǎn)的軌跡構(gòu)成的點(diǎn)集： ； 第四步：建立方程：； 第五步：

5、化簡，得到教師強(qiáng)調(diào)：我們得到了焦點(diǎn)在x軸上，且焦點(diǎn)是和的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，這里 師：那么如果焦點(diǎn)在y軸上呢？（學(xué)生練習(xí)） 生（練習(xí)后）：此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)該是。 4雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的探討：師：剛才我們共同推導(dǎo)了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。請同學(xué)想一下，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中字母a、b、c的關(guān)系如何？是不是？生：a、b、c滿足等式，所以有，可以得到，但不能判斷。師：很好。我們在求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程過程中還發(fā)現(xiàn)，確定焦點(diǎn)對求雙曲線方程很重要。那么如何根據(jù)方程判定焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上呢？ 生：由于焦點(diǎn)在x軸和y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程分別為和，我們發(fā)現(xiàn)焦點(diǎn)所在軸相關(guān)的未知數(shù)的分母總是a，所以可以由a來判定。 師：很好。如果我們知道的方程

6、是，那么你如何尋找a？ 生：因?yàn)閍所在的這一項(xiàng)未知數(shù)的系數(shù)是正的，所以只要找正的系數(shù)就可以了。 師：如果方程是呢？ 生：先化成標(biāo)準(zhǔn)方程。 師：請同學(xué)總結(jié)一下。生：化標(biāo)準(zhǔn)，找正號(hào)。5運(yùn)用新知： 【練習(xí)】已知方程表示雙曲線，則m的取值范圍是_，此時(shí)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_，焦距是_； 【變式】若將9改成，則m的取值范圍是_。 【例1】已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為、，雙曲線上一點(diǎn)P到、的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)再x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， 因?yàn)?a=6，2c=10，所以a=3，c=5。 所以， 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 【變式】已知兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為、，動(dòng)

7、點(diǎn)P到、的距離的差等于6，求P點(diǎn)的軌跡方程。 解：因?yàn)?，所以P的軌跡是雙曲線的右支，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為， 因?yàn)?a=6，2c=10，所以a=3，c=5。 所以， 所以所求P點(diǎn)的軌跡方程為?！纠?】已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， 因?yàn)辄c(diǎn)、在雙曲線上，所以點(diǎn)、的坐標(biāo)適合方程，代入得： 可解得：。 所以所求雙曲線得標(biāo)準(zhǔn)方程為：?！咀兪健恳阎p曲線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（分情況討論） 【練習(xí)】（1）一邊兩個(gè)端點(diǎn)是和，頂點(diǎn)A滿足， 求A的軌跡方程。 （2）一邊的兩個(gè)端點(diǎn)是和，另兩邊所在直線的斜率之積是，求頂點(diǎn)A的軌跡。三、本課小結(jié)： 師：我們總結(jié)一下本節(jié)課我們學(xué)了什么？ 生：1、雙曲線的定義；2、雙曲線標(biāo)