大學(xué)物理 功能原理和機(jī)械能守恒定律.ppt

1、安徽大學(xué)出版社ANHUI UNIVERSITY大學(xué)物理學(xué) 安徽大學(xué)出版社安徽大學(xué)出版社 大學(xué)物理學(xué) February 25, 2022Page2ANHUI UNIVERSITY 31 變力的功 動能定理 32 保守力與非保守力 勢能 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 20223 31 變力的功 動能定理一、變力的功一、變力的功abOFrdsdrr 功功(work) 度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量， 描寫力對空間積累作用描寫力對空間積累作用. 定義：定義：力對質(zhì)點所做的

2、功為力在質(zhì)點力對質(zhì)點所做的功為力在質(zhì)點 位移方向的分量與位移大小的乘積。位移方向的分量與位移大小的乘積。sFrFrFAdcosddcosd元功元功(elementary work)*功的計算與具體過程相聯(lián)系功的計算與具體過程相聯(lián)系, , 功是一個過程量功是一個過程量. . 變力的總功：變力的總功：bababasFrFAAdcosdd 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 20224*合力的功等于各分力的功的代數(shù)和合力的功等于各分力的功的代數(shù)和niiniiArFA11ddd合力的元功合力的元功

3、從從a到到b合力之功合力之功 niinibaibaniibaArFrFAA111ddd單位單位(SI): 焦耳焦耳 (J)說明說明 (1) 功功的計算與具體過程相聯(lián)系的計算與具體過程相聯(lián)系, 功功是是過程量過程量, 不是不是狀態(tài)量狀態(tài)量, 表征表征力對空間的累積效應(yīng)力對空間的累積效應(yīng). 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 20225 (2) 前式中涉及的位移是前式中涉及的位移是受力物體的位移受力物體的位移, 只有按此定只有按此定義義,才能得到后面的動能定理才能得到后面的動能定理. (3)

4、變力做功在直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表達(dá)式變力做功在直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表達(dá)式.bazyxbazFyFxFrFAdddd(power)定義定義 單位時間內(nèi)力所作的功稱為功率單位時間內(nèi)力所作的功稱為功率(1) 平均功率平均功率tAP(2) 瞬時功率瞬時功率vFtrFtAtAPtddddlim0 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 20226功率的單位功率的單位(SI)：111W1WsJ秒焦耳瓦特瓦特 例例1 在一個深在一個深h=18m的坑里的坑里, 垂直垂直懸掛著一根長繩懸掛著一根長繩, 從從地面垂至

5、坑底地面垂至坑底. 已知繩的質(zhì)量線密度已知繩的質(zhì)量線密度 =0.88kg/m, 試問試問: 若若將此繩提到地面將此繩提到地面, 至少要做多少功至少要做多少功?yyh解解: 取取如圖坐標(biāo)系如圖坐標(biāo)系, ,繩運動到圖示任意位繩運動到圖示任意位置置y y 時時, ,所受重力所受重力(h - y)g . 要使做功最要使做功最少少, 作用于繩子的力剛好等于重力作用于繩子的力剛好等于重力, 通過通過dy距離時距離時, 元功為元功為: ygyhAd)(d 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 20227全

6、部拉上繩子拉力所做的功至少為全部拉上繩子拉力所做的功至少為)(1040. 121d)(d320JghygyhAAh 例例2 質(zhì)量為質(zhì)量為2t 的卡車的卡車, 啟動時在牽引力啟動時在牽引力 的的作用下作用下, 自原點從靜止開始沿自原點從靜止開始沿 x 軸做直線運動軸做直線運動, 求在前求在前10s 內(nèi)內(nèi)牽引力所做的功牽引力所做的功.N1063tFx 解解: 由由 ttmFtx3102106dd33v得得 ttd3d v積分積分ttt0v0vd3d得得 25 . 1ddttxv所以牽引力前所以牽引力前10s10s做功為做功為: :tttd5 . 1dd2 vx 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能

7、原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 20228)(1025. 2d5 . 1106d710023JtttxFAx 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 20229二、動能定理二、動能定理 (theorem of kinetic energy)stmsFeseFeFAttnnttddddd)(dv在自然坐標(biāo)系中在自然坐標(biāo)系中, F 是作用在物體上的合力是作用在物體上的合力, 則則)21(ddddd2mvvvmvtsm從從 a

8、 到到b 積分積分, 有有222121)21(ddabbammAAbavvmvvv2動能動能 (kinetic energy)單位：焦耳單位：焦耳(J)2k21vmE 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202210動能定理動能定理 合力對質(zhì)點所作的功等于質(zhì)點動能的增量合力對質(zhì)點所作的功等于質(zhì)點動能的增量. .kkakbEEEA221m2mimexiFiniF 研究質(zhì)點系研究質(zhì)點系, 對第對第i 個質(zhì)點個質(zhì)點運用動能定理運用動能定理,iaibiiiEEAAA(i)(e)內(nèi)力功內(nèi)力功外力功外

9、力功求和求和, 有有kkakbiiiEEEAAA(i)(e)niniiaiibikakbkmmEEE11222121vv動能增量動能增量 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202211質(zhì)點系的質(zhì)點系的動能定理動能定理 作用于質(zhì)點系中各個質(zhì)點上的外作用于質(zhì)點系中各個質(zhì)點上的外力和內(nèi)力所做的功的代數(shù)和力和內(nèi)力所做的功的代數(shù)和, ,等于質(zhì)點系動能的增量等于質(zhì)點系動能的增量. .注意注意1. 功是功是過程量過程量, 是能量變化的量度是能量變化的量度; 動能是動能是狀態(tài)量狀態(tài)量, 是是運動狀態(tài)的單

10、值函數(shù)運動狀態(tài)的單值函數(shù). 它們的單位和量綱相同它們的單位和量綱相同.2. 動能定理由牛頓第二定律導(dǎo)出動能定理由牛頓第二定律導(dǎo)出, 只適用于只適用于慣性參考系慣性參考系, 動能也與參考系有關(guān)動能也與參考系有關(guān). 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202212 例例1 一質(zhì)量為1.0kg 的小球系在長為1.0m 細(xì)繩下端 , 繩的上端固定在天花板上. 起初把繩子放在與豎直線成60度角處, 然后放手使小球沿圓弧下落. 試求 繩與豎直線成 10度角時小球的速率 .PTsddl0v解解: 取如圖

11、所示中間時刻取如圖所示中間時刻, , 小球受小球受拉力和重力作用拉力和重力作用, 則則:sPsTsFAddddspsPdcosddsinmgl 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202213)cos(cosdsin00mglmglA由動能定理由動能定理2022121vvmmA得得)cos(cos20glv30,60 m,0 . 10l代入得代入得1sm)60cos30(cos0 . 18 . 92v1sm68. 2 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能

12、守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202214三、三、“一對力一對力” ” 的功的功 把作用力與反作用力把作用力與反作用力, 更一般地更一般地, 把兩個大小相等把兩個大小相等, 方向相反方向相反, 在一條直線上的力稱為在一條直線上的力稱為“一對力一對力”.oijirdjrdijrdijfjifirjr研究如圖的兩質(zhì)點系統(tǒng)研究如圖的兩質(zhì)點系統(tǒng), 相互作用力的元功為相互作用力的元功為:jjijiijirfArfAdd;dd其代數(shù)和其代數(shù)和jiAAAdddjjiiijrfrfddjiijff)(d)dd(djiijjiijrrfrrfAijijrfd 大學(xué)物理學(xué)P

13、age 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202215對于整個過程對于整個過程ijijrfAd物理意義物理意義 一對力的功等于以其中任一質(zhì)點為參考系一對力的功等于以其中任一質(zhì)點為參考系, 計計算它對另一個質(zhì)點的作用力所做的功算它對另一個質(zhì)點的作用力所做的功. 這說明一對力做這說明一對力做功與參考系無關(guān)功與參考系無關(guān), 因此可選取最方便的參考系來計算一因此可選取最方便的參考系來計算一對力的功對力的功.常見的常見的“一對力一對力”的功的功一對正壓力的功恒為零一對正壓力的功恒為零. (更普遍的更普遍的, 無相對位

14、移或相無相對位移或相對位移與一對力垂直的情況對位移與一對力垂直的情況)一對靜摩擦力的功恒為零一對靜摩擦力的功恒為零.一對滑動摩擦力的功恒為負(fù)一對滑動摩擦力的功恒為負(fù). 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202216 32 保守力與非保守力 勢能一、重力一、重力(gravity)所做的功所做的功baayPoxyzbyrd以地球為參考系以地球為參考系jmgPkzj yi xrddddymgrPAbayybadd )(abyymg二、萬有引力二、萬有引力(gravitation)所做的功所做的

15、功以質(zhì)點以質(zhì)點M為參考系為參考系, , 如圖如圖萬有引力的元功可寫為萬有引力的元功可寫為: :OMmFrarbrabrd 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202217rFrFrFrFAdcosdcosdddrrMmGF3rrMmGAdd2abrrrMmGrMmGrrGMmAba2d三、彈性力三、彈性力(elastic work)所做的功所做的功XOabxcaxbxd 建立如圖所建立如圖所示坐標(biāo)系示坐標(biāo)系, , 彈性彈性力的元功可寫為力的元功可寫為: : 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章

16、功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202218xkxi xikxi xFAd)d()()d(d222221212121ddabbaxxbakxkxkxkxxkxAAba四、摩擦力所做的功四、摩擦力所做的功以地面為參考系以地面為參考系, , 元功元功: :sfrfrfAdcosdddabbafssfAdabs是曲線路徑的長度是曲線路徑的長度顯然顯然, ,從從a到到b, , 沿不同的路徑沿不同的路徑, ,摩擦力做功不同摩擦力做功不同. . 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 A

17、NHUI UNIVERSITY February 25, 202219五、保守力與非保守力五、保守力與非保守力 做功的多少僅由始末兩點的位置決定做功的多少僅由始末兩點的位置決定, 而與中間所而與中間所經(jīng)過的路徑無關(guān)經(jīng)過的路徑無關(guān), 這樣的力稱為這樣的力稱為保守力保守力(conservative force).而做功多少和物體的運動路徑有關(guān)的力稱為而做功多少和物體的運動路徑有關(guān)的力稱為非保守力非保守力(nonconservative force ).對于任意閉合路徑對于任意閉合路徑:0d LrF即做功為零即做功為零, 為保守力為保守力, 如如: 重力重力, 彈性力彈性力.0d LrF為非保守力為

18、非保守力(耗散力耗散力). 如如:摩擦力摩擦力0d LrF為非保守力為非保守力(非耗散力非耗散力). 如如:爆炸力爆炸力 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202220六、勢能六、勢能(potential energy) 可以將保守力的功表示為與可以將保守力的功表示為與相互作用物體相對位置相互作用物體相對位置有關(guān)的某函數(shù)在起點和終點的取值之差有關(guān)的某函數(shù)在起點和終點的取值之差. . 將該函數(shù)定義為此物體系的將該函數(shù)定義為此物體系的勢能勢能, 勢能只與質(zhì)點位置勢能只與質(zhì)點位置有關(guān)有關(guān), 是

19、是狀態(tài)函數(shù)狀態(tài)函數(shù).P)(dEEErFApapbba勢能定理勢能定理 勢能增量的負(fù)值等于保守力所做的功勢能增量的負(fù)值等于保守力所做的功. 保守力和勢能的微分關(guān)系保守力和勢能的微分關(guān)系: :PddErF 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 2022212) 勢能是勢能是相對的相對的. 零勢能位置的選取不同零勢能位置的選取不同, 勢能也不同勢能也不同, 故勢能是質(zhì)點間相對位置的單值函數(shù)故勢能是質(zhì)點間相對位置的單值函數(shù).注意注意1) 勢能是屬于系統(tǒng)的勢能是屬于系統(tǒng)的, 保守力做功應(yīng)理解為保守力做

20、功應(yīng)理解為一對力一對力做功做功.3) 勢能計算勢能計算. 令令 即得任一點的勢能為即得任一點的勢能為: 0paEbapbrFEd4) 常見勢能常見勢能.彈性彈性勢能勢能引力引力勢能勢能重力重力勢能勢能勢能勢能 表達(dá)式表達(dá)式 零勢能位置零勢能位置mghE P2p21kxE rMmGEp地面附近地面附近彈簧自由狀態(tài)時自由端位置彈簧自由狀態(tài)時自由端位置兩物體相距無限遠(yuǎn)兩物體相距無限遠(yuǎn) 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202222 33 功能原理及機(jī)械能守恒定律一、系統(tǒng)的功能原理一、系統(tǒng)的功能

21、原理knccciEAAAAAA(i)(i)(e)(i)(e)對于質(zhì)點系的動能定理對于質(zhì)點系的動能定理非保守內(nèi)力做功非保守內(nèi)力做功保守內(nèi)力做功保守內(nèi)力做功由前述勢能定理由前述勢能定理PcEA(i)定義系統(tǒng)的機(jī)械能定義系統(tǒng)的機(jī)械能 , 則則PkEEEEEEAApknc(i)(e)系統(tǒng)的功能原理系統(tǒng)的功能原理 外力和非保守內(nèi)力做功的總和等于外力和非保守內(nèi)力做功的總和等于系系統(tǒng)統(tǒng)機(jī)械能的增量機(jī)械能的增量. 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202223二、機(jī)械能守恒定律二、機(jī)械能守恒定律由功能原

22、理由功能原理, , 當(dāng)當(dāng) 時時, , 0(i)(e)ncAA機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 外力和非保守內(nèi)力做功的總和外力和非保守內(nèi)力做功的總和為零為零, 或者或者說說只有保守內(nèi)力作功的情況下，只有保守內(nèi)力作功的情況下，系統(tǒng)系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變的機(jī)械能保持不變 .注意注意1) , , 并不要求并不要求 和和 為零為零. . 0(i)(e)ncAA(e)F(i)ncF2) 要求在任意一微小路程上要求在任意一微小路程上 都是成都是成立的立的, 因此常用功率來描述機(jī)械能守恒的條件因此常用功率來描述機(jī)械能守恒的條件.0(i)(e)ncAAPkEEE恒量恒量, 或或 PkEE0(i)(e)ncPPPkEE

23、E恒量恒量 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202224例：例：一粗細(xì)均勻的柔軟繩子一粗細(xì)均勻的柔軟繩子, 一部分置于光滑水平桌面上一部分置于光滑水平桌面上,另一部分自桌邊下垂另一部分自桌邊下垂, 繩全長為繩全長為 .開始時開始時,下垂部分長為下垂部分長為d，初速為零初速為零, 求整個繩全部離開桌面時瞬間的速度大小求整個繩全部離開桌面時瞬間的速度大小(設(shè)繩設(shè)繩不可伸長不可伸長).l1mABCxlxx2m 本題將分別用牛頓定律本題將分別用牛頓定律, ,動能定理動能定理, ,機(jī)械能守恒定律

24、求解機(jī)械能守恒定律求解. . 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202225解一解一:用牛頓定律求解；用牛頓定律求解； 用隔離體法：繩分成用隔離體法：繩分成兩部分兩部分, 桌上桌上: AB, 下垂下垂: BC, t時刻：時刻：1122:,:,A Blx maB Cx ma1mABCxlxx2m1mAB1a1m g1N1T2mCB2a2T2mg牛頓第二定律牛頓第二定律, ,列方程：列方程：AB:1111111:0dvx Tm amdty Nm g 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和

25、機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202226繩不可伸長：繩不可伸長：牛頓第三定律：牛頓第三定律：12dvdvdvdtdtdt12TT繩質(zhì)量均勻分布：繩質(zhì)量均勻分布：12,lxxmm mmll聯(lián)立求解：聯(lián)立求解：xdvgldtxdvgdxdxvdvldt0vlbxvdvgdxl所以所以, ,繩全部離開桌面的速度繩全部離開桌面的速度方向向下方向向下, ,大小大小222222:dvx m gTm amdtBC:)(22dllgv 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVE

26、RSITY February 25, 202227解二解二: : 用動能定理求解；用動能定理求解； 系統(tǒng)系統(tǒng): 整個繩子整個繩子, ,繩分成繩分成兩部分兩部分, ,桌上桌上：AB, 下垂：下垂：BC, 受力如圖受力如圖.1mAB1a11m gP1N1T2mCB2a2T22mg P作功：作功：其中其中: 因為是因為是“一對力一對力”作功作功因為力與位移方向垂直因為力與位移方向垂直, 有有系統(tǒng)動能：初態(tài)系統(tǒng)動能：初態(tài)00kE21(e)PPNAAAA21)(TTiAAA021TTAA01PNAA212kEmv 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHU

27、I UNIVERSITY February 25, 202228由動能定理，由動能定理，有：有：即即系統(tǒng)系統(tǒng): 整個繩子和地球整個繩子和地球.并由于繩不可伸長，有：并由于繩不可伸長，有：系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒.02kkPEEA021)(2222mvdllmg 所以所以, ,繩全部離開桌面的速度繩全部離開桌面的速度方向向下方向向下, ,大小為大小為: :)(22dllgv解三解三: :用機(jī)械能守恒定律求解；用機(jī)械能守恒定律求解；00)()(incNeAAA設(shè)水平桌面處重力勢能設(shè)水平桌面處重力勢能 .0pEmglmvmgld221222)(22dllgv 大學(xué)物理學(xué)Page 第三章第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY February 25, 202229比較三種方法：牛頓定律方程兩端牛頓定律方程兩端：均為瞬時值，需對方程兩端積分；均為瞬時值，需對方程兩端積分；動能定理方程兩端：動能定理方程兩端：功的一側(cè)為過程量，動能一側(cè)為狀態(tài)量，僅需對過程功的一側(cè)為過程量，動能一側(cè)為狀態(tài)量，僅需對過程量積分；量積分；功能原理方程兩端：功能原理方