數(shù)學(xué)猜想全世界能攻的不超100人

1、.數(shù)學(xué)猜測(cè)，全世界能攻的不超100人數(shù)學(xué)猜測(cè)對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，意味著神秘浪漫，高深莫測(cè)。破解數(shù)學(xué)猜測(cè)之人，從來(lái)也散發(fā)著深不可測(cè)的氣息。不久前，中南大學(xué)22歲的本科生劉路因?yàn)槠平饬恕拔魉藬?shù)學(xué)猜測(cè)，被破格晉升為教授級(jí)研究員。而復(fù)旦大學(xué)的本科生和博士生3年前結(jié)合破解了數(shù)學(xué)猜測(cè)曼哈頓猜測(cè)，也曾引來(lái)學(xué)界側(cè)目。對(duì)更多國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)愛(ài)好者而言，數(shù)學(xué)猜測(cè)的概念普及始自上世紀(jì)70年代。其時(shí)，由報(bào)告文學(xué)家徐遲撰寫(xiě)的?哥德巴赫猜測(cè)?，不僅詳實(shí)記錄了我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)攻克世界級(jí)數(shù)學(xué)難題的過(guò)程，也一舉讓哥德巴赫猜測(cè)成為中國(guó)人最熟悉的數(shù)學(xué)猜測(cè)。時(shí)至今日，還有多少未解的數(shù)學(xué)猜測(cè)，會(huì)引眾多數(shù)學(xué)天才們“競(jìng)折腰？數(shù)學(xué)猜測(cè)年年都在

2、破，也年年有新生被認(rèn)為重要性遠(yuǎn)超哥德巴赫猜測(cè)和費(fèi)爾馬猜測(cè)的黎曼猜測(cè)，即便被解決了，世界上最頂尖的數(shù)學(xué)家要消化這個(gè)猜測(cè)，還需要花上幾年時(shí)間。對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)不是計(jì)算工具，而是一門(mén)浪漫的語(yǔ)言。投身數(shù)學(xué)的人，很多都是被它純粹而簡(jiǎn)潔的美所傾倒。至于數(shù)學(xué)猜測(cè)，那么是數(shù)學(xué)獨(dú)特魅力的一種表達(dá)。所謂猜測(cè)，就是你可以提出問(wèn)題，也可以給出答案，但卻無(wú)法完成推導(dǎo)論證過(guò)程。一旦提出了猜測(cè)，又完成了推導(dǎo)過(guò)程，有確信的答案，那么就稱為定理。至今尚未有解的黎曼猜測(cè)、哥德巴赫猜測(cè)莫不如此。這些數(shù)學(xué)界里的重量級(jí)猜測(cè)，讓數(shù)學(xué)家們絞盡腦汁，但仍然懸置在那里。而門(mén)外漢有所不知的是，當(dāng)數(shù)學(xué)猜測(cè)不斷被攻破的同時(shí)，新的猜測(cè)也在不斷產(chǎn)生

3、。近年來(lái)，各種數(shù)學(xué)猜測(cè)不斷見(jiàn)諸報(bào)端?！捌鋵?shí)，任何人都可以提出數(shù)學(xué)猜測(cè)。關(guān)鍵在于，它們是不是可以引起數(shù)學(xué)界人士的關(guān)注。我們可以認(rèn)為，這些猜測(cè)是不同層面的數(shù)學(xué)猜測(cè)。一位數(shù)學(xué)家這樣告訴記者，這就是為什么每有猜測(cè)被宣布破解時(shí)，最沖動(dòng)的發(fā)表意見(jiàn)者往往不是數(shù)學(xué)家。在一些專業(yè)論壇上搜索“數(shù)學(xué)猜測(cè)，會(huì)出現(xiàn)一長(zhǎng)串結(jié)果。至于哥德巴赫猜測(cè)，一位數(shù)學(xué)家告訴記者，至今都可以在網(wǎng)上看到各路“民間高手在孜孜不倦地研究?！拔医?jīng)常會(huì)接到民間數(shù)學(xué)愛(ài)好者的信，說(shuō)自己已經(jīng)解決了哥德巴赫猜測(cè)。談及把數(shù)學(xué)猜測(cè)當(dāng)愛(ài)好的業(yè)余人士，數(shù)學(xué)家有時(shí)不得不苦笑。對(duì)大部分猜測(cè)，數(shù)學(xué)家都需要假以時(shí)日才能搞明白，更不要說(shuō)沒(méi)受過(guò)數(shù)學(xué)訓(xùn)練的普通人?？闪硪环矫?，

4、猜測(cè)之所以引人入勝，乃因?yàn)樗鼈儭按譁\的入口不管是哥德巴赫猜測(cè)還是黎曼猜測(cè)，表述都非常簡(jiǎn)單。哥德巴赫的猜測(cè)是：任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。例如4=2+2，6=3+3，8=3+5。論猜測(cè)的內(nèi)容，小學(xué)生也能看懂。很多人就此誤以為，破解猜測(cè)也像解小學(xué)數(shù)學(xué)題那么簡(jiǎn)單，只要靈機(jī)一動(dòng)，業(yè)余人士說(shuō)不準(zhǔn)也能獲得重大打破?！昂芏嗖聹y(cè)，100年都解決不了。比方費(fèi)爾馬猜測(cè)，數(shù)學(xué)家們花了3個(gè)半世紀(jì)以上才解決，而哥德巴赫猜測(cè)歷經(jīng)兩個(gè)半世紀(jì)，十幾代人都試圖證明，但仍然屹立不倒。著名的黎曼猜測(cè)花費(fèi)了科學(xué)家們一個(gè)半世紀(jì)還未解決。復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系教授蘇仰峰清楚，破解猜測(cè)絕非“門(mén)外漢可以隨意上手的“游戲。事實(shí)上，每

5、年數(shù)學(xué)家都能證明幾萬(wàn)條定理，而定理在成立之前，都可以被認(rèn)為是猜測(cè)。那么，在這上萬(wàn)條定理里，多少是有意義的呢？“很多猜測(cè)，在數(shù)學(xué)家們眼里并不能被稱作猜測(cè)這種小的猜測(cè)，充其量只能算是數(shù)學(xué)難題，比方中南大學(xué)本科生破解的那個(gè)猜測(cè)，雖然是一個(gè)有趣的猜測(cè)，但是需要的也就是靈機(jī)一動(dòng)而已，并不需要什么高深的數(shù)學(xué)工具。一位數(shù)學(xué)專家坦言，動(dòng)輒上萬(wàn)規(guī)模的數(shù)學(xué)猜測(cè)里，最多也就幾十條對(duì)于數(shù)學(xué)的開(kāi)展有價(jià)值。至于其他，“有它沒(méi)它都可以，數(shù)學(xué)世界不會(huì)有任何反響。“那些重量級(jí)的猜測(cè)，比方被認(rèn)為重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)哥德巴赫猜測(cè)和費(fèi)爾馬猜測(cè)的黎曼猜測(cè)，即便被解決了，世界最頂尖的數(shù)學(xué)家要消化這個(gè)猜測(cè)，還需要花上幾年的時(shí)間。10個(gè)70分，也

6、不可能超過(guò)1個(gè)90分“全世界合適去攻克數(shù)學(xué)猜測(cè)的人不會(huì)超過(guò)100個(gè)。不是很有天分的人，根本就做不出什么結(jié)果?！叭齻€(gè)臭皮匠頂個(gè)諸葛亮、“只要功夫深，鐵杵磨成針耳熟能詳?shù)膭?lì)志諺語(yǔ)在數(shù)學(xué)界失效。尤其是在研究數(shù)學(xué)猜測(cè)方面，“10個(gè)天分只有70分的人，不能產(chǎn)生疊加效應(yīng)到達(dá)700分，而仍然只是個(gè)平均數(shù)70分而已，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上一個(gè)90分。一位名校數(shù)學(xué)系教授直言，數(shù)學(xué)猜測(cè)只合適那些極有數(shù)學(xué)天分的人研究，“大多數(shù)人去做數(shù)學(xué)猜測(cè)，只能湊個(gè)熱鬧。數(shù)學(xué)猜測(cè)也有高處不勝寒的危機(jī)。在數(shù)學(xué)界，它并不總是那么“招人喜歡。和很多學(xué)科應(yīng)用領(lǐng)域和根底領(lǐng)域總是互相“較勁一樣的是，數(shù)學(xué)的應(yīng)用和純理論研究也互相“較勁，數(shù)學(xué)猜測(cè)那么是表達(dá)這

7、一差異的代表。在應(yīng)用數(shù)學(xué)界，很多老師并不支持學(xué)生去鉆研數(shù)學(xué)猜測(cè)。蘇仰峰解釋，應(yīng)用數(shù)學(xué)要解決的問(wèn)題往往沒(méi)有終極答案，永遠(yuǎn)有更好的解決方式；但像數(shù)學(xué)猜測(cè)這樣的純理論問(wèn)題，往往具有唯一答案，而且是純粹的數(shù)學(xué)游戲?！皵?shù)學(xué)猜測(cè)，從某種程度可以鍛煉學(xué)生的思維才能，但是我并不鼓勵(lì)學(xué)生把研究數(shù)學(xué)猜測(cè)作為終身事業(yè)，世界上需要用數(shù)學(xué)工具來(lái)解決的問(wèn)題實(shí)在太多；數(shù)學(xué)猜測(cè)，全世界只要少數(shù)的很有天賦的數(shù)學(xué)家來(lái)做就可以了。學(xué)界有個(gè)說(shuō)法：全世界合適去攻克數(shù)學(xué)猜測(cè)的人不超過(guò)100個(gè)，那都是具有百分百天賦的數(shù)學(xué)家。不過(guò)，大多數(shù)承受采訪的數(shù)學(xué)系教授們稱，“無(wú)論是什么樣的猜測(cè)，作為一個(gè)本科生來(lái)說(shuō)，解決這些猜測(cè)，毫無(wú)疑問(wèn)表達(dá)了他們對(duì)數(shù)

8、學(xué)的熱愛(ài)，至于外界對(duì)于他們的評(píng)論，已經(jīng)屬于傳播的n次方傳播效應(yīng)了，超越了這件事情本身的意義?！盁o(wú)用的猜測(cè)，有著令人垂涎的副產(chǎn)品在世界著名的數(shù)學(xué)家哈代等人看來(lái)，純數(shù)學(xué)才是真正的數(shù)學(xué)，就像繪畫(huà)和詩(shī)歌，有著永久的美，而應(yīng)用數(shù)學(xué)那么是丑陋和無(wú)趣的。數(shù)學(xué)猜測(cè)終究有什么用？這問(wèn)題不僅在當(dāng)下，在古代西方國(guó)家，也曾經(jīng)倍受質(zhì)疑。只不過(guò)，即便受到質(zhì)疑，也有人趨之假設(shè)鶩。實(shí)際上，世界級(jí)數(shù)學(xué)猜測(cè)大多都沒(méi)什么用，即便是著名的費(fèi)馬大定理，科學(xué)家尚未發(fā)現(xiàn)實(shí)用之處?！按蠖鄶?shù)時(shí)候，數(shù)學(xué)猜測(cè)只是一種思想的工具。那些重大的數(shù)學(xué)猜測(cè)產(chǎn)生的原因，一是因?yàn)閿?shù)學(xué)開(kāi)展內(nèi)部的矛盾所需要解決的問(wèn)題，二是外部原因需要數(shù)學(xué)解決問(wèn)題所產(chǎn)生的猜測(cè)。上海

9、交通大學(xué)研究數(shù)學(xué)史的紀(jì)志剛教授說(shuō)，前一種情況要比后者多得多。如今尚未解決的猜測(cè)大部分屬于純數(shù)學(xué)，而純數(shù)學(xué)是不考慮是否有實(shí)際用處的?！耙苍S它將來(lái)會(huì)適宜于應(yīng)用領(lǐng)域，或產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)研究工具，但目前為止，對(duì)于那些尚未完成的猜測(cè)，不要問(wèn)有什么應(yīng)用價(jià)值。在數(shù)學(xué)界，應(yīng)用和純數(shù)學(xué)在很長(zhǎng)一段時(shí)間里相處并不融洽。在著名數(shù)學(xué)家哈代等人看來(lái)，純數(shù)學(xué)才是真正的數(shù)學(xué)，就像繪畫(huà)和詩(shī)歌，有著永久的美，而應(yīng)用數(shù)學(xué)是丑陋、無(wú)趣的。非歐幾何的創(chuàng)始人之一、俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有哪個(gè)數(shù)學(xué)分支有一天會(huì)不被用于解決現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題，不管它是多么抽象。在當(dāng)時(shí)非歐幾何還只是抽象的數(shù)學(xué)游戲，后來(lái)卻被愛(ài)因斯坦用在了廣義相對(duì)論，羅巴切

10、夫斯基的預(yù)言至少在他創(chuàng)始的領(lǐng)域應(yīng)驗(yàn)了。類似的例子舉不勝舉。當(dāng)初純之又純的數(shù)論，在密碼學(xué)中獲得應(yīng)用；歐氏幾何在2019年前備受質(zhì)疑，認(rèn)為歐氏幾何的作用就是丈量土地。當(dāng)時(shí)，歐幾里德在講課，有學(xué)生站起來(lái)問(wèn)他，“學(xué)幾何有什么用？歐幾里德沉默片刻對(duì)自己的仆人說(shuō)：“請(qǐng)給這位先生3塊金幣，看來(lái)沒(méi)有錢(qián)他是不愿學(xué)習(xí)的。后來(lái)的故事廣為人知，假如沒(méi)有歐氏幾何，微積分不可能誕生。也正因此，數(shù)學(xué)界認(rèn)為，純數(shù)學(xué)研究在此時(shí)此刻無(wú)用，但是50年、100年后，誰(shuí)也無(wú)法預(yù)測(cè)它的作用。根底學(xué)科的核心優(yōu)越感也正在這里很多時(shí)候，技術(shù)應(yīng)用不過(guò)是它的副產(chǎn)品而已?！鞠嚓P(guān)鏈接一】七大世紀(jì)數(shù)學(xué)猜測(cè)2019年5月，美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所在還未解決的數(shù)

11、學(xué)難題中選出了七個(gè)最重大的，稱為“七大世紀(jì)數(shù)學(xué)猜測(cè)，并為每道題懸賞百萬(wàn)美元求解。黎曼Riemann猜測(cè)現(xiàn)狀：很多人攻關(guān)，尚未看到希望素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布問(wèn)題在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)上都很重要。素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布并沒(méi)有簡(jiǎn)單的規(guī)律。黎曼1826-1866發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率與黎曼函數(shù)嚴(yán)密相關(guān)。黎曼猜測(cè)之所以被認(rèn)為是當(dāng)代數(shù)學(xué)中一大重要問(wèn)題，主要是因?yàn)楹芏嗌罨椭匾臄?shù)學(xué)和物理結(jié)果都能在它成立的大前提下被證明。大部分?jǐn)?shù)學(xué)家也相信黎曼猜測(cè)是正確的。約翰·恩瑟·李特爾伍德與塞爾伯格曾對(duì)此猜測(cè)提出疑心，但是，塞爾伯格晚年部分改變了他的疑心立場(chǎng)。在1989年的一篇論文中，他猜測(cè)黎曼猜測(cè)對(duì)更廣泛

12、的一類函數(shù)也應(yīng)當(dāng)成立?；羝鍴odge猜測(cè)現(xiàn)狀：進(jìn)展不大霍奇猜測(cè)是代數(shù)幾何中一個(gè)重大的、懸而未決的問(wèn)題。它是關(guān)于非奇異復(fù)代數(shù)簇的代數(shù)拓?fù)浜退啥x子簇的多項(xiàng)式方程所表述的幾何的關(guān)聯(lián)的猜測(cè)。它在霍奇著述的一個(gè)結(jié)果中出現(xiàn)，主要內(nèi)容是，在非奇異復(fù)射影代數(shù)簇上,任一霍奇類是代數(shù)閉鏈類的有理線性組合。龐加萊Poincare猜測(cè)現(xiàn)狀：已在2019年被俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼破解，佩雷爾曼因此獲得當(dāng)年的菲爾茲獎(jiǎng)，但并沒(méi)有現(xiàn)身領(lǐng)獎(jiǎng)。每一個(gè)沒(méi)有破洞的封閉三維物體，都拓?fù)涞葍r(jià)于三維的球面。粗淺的比喻即為：假如我們伸縮圍繞一個(gè)蘋(píng)果外表的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它分開(kāi)外表，使它漸漸挪動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)；另一方面，

13、假如我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒(méi)有方法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說(shuō)，蘋(píng)果外表是“單連通的，而輪胎面不是。該猜測(cè)是一個(gè)屬于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的具有根本意義的命題，對(duì)“龐加萊猜測(cè)的證明及其帶來(lái)的后果將會(huì)加深數(shù)學(xué)家對(duì)流形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，甚至?xí)?duì)人們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描繪宇宙空間產(chǎn)生影響。NP完全問(wèn)題現(xiàn)狀：尚未有進(jìn)展NP就是Non-deterministicPolynomial的問(wèn)題，即多項(xiàng)式復(fù)雜程度的非確定性問(wèn)題。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，有些計(jì)算問(wèn)題是確定性的，比方加減乘除，你只要按照公式推導(dǎo)，就可以得到結(jié)果。但有些問(wèn)題是無(wú)法按部就班地計(jì)算出來(lái)。比方，找大質(zhì)數(shù)的問(wèn)題。有沒(méi)有一

14、個(gè)公式，一套用就可以一步步推算出來(lái)，下一個(gè)質(zhì)數(shù)應(yīng)該是多少呢？沒(méi)有這樣的公式。人們發(fā)現(xiàn)，所有的完全多項(xiàng)式非確定性問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)換為一類叫做滿足性問(wèn)題的邏輯運(yùn)算問(wèn)題。既然這類問(wèn)題的所有可能答案，都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)計(jì)算，人們就猜測(cè)，是否這類問(wèn)題存在一個(gè)確定性算法，可以在指數(shù)時(shí)間內(nèi)，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜測(cè)。楊米爾Yang-Mills存在性和質(zhì)量缺口現(xiàn)狀：難度太大，幾乎沒(méi)有人做量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對(duì)宏觀世界的方式對(duì)根本粒子世界成立的。大約半個(gè)世紀(jì)前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理提醒了在根本粒子物理與幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)之間令人注目的關(guān)系?；跅蠲谞査狗匠?/p>

15、的預(yù)言已經(jīng)在布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波等全世界實(shí)驗(yàn)室所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)。盡管如此，他們的既描繪重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒(méi)有的解。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對(duì)于“夸克的不可見(jiàn)性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口假設(shè)，從來(lái)沒(méi)有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí)。納威厄斯托克斯Navier-Stokes方程現(xiàn)狀：尚未解決起伏的波浪跟隨著正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家堅(jiān)信，無(wú)論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過(guò)理解納威厄斯托克斯方程的解，來(lái)對(duì)它們進(jìn)展解釋和預(yù)言。納威厄斯托克斯方程是描繪粘性不可壓縮流體動(dòng)量守恒的運(yùn)動(dòng)方程。簡(jiǎn)稱N-S

16、方程。雖然這些方程是19世紀(jì)寫(xiě)下的，但迄今為止，對(duì)它們的理解仍然極少。波奇Birch和斯維納頓戴雅Swinnerton-Dyer猜測(cè)現(xiàn)狀：尚未破解數(shù)學(xué)家總是被諸如x2+y2=z2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫(huà)問(wèn)題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對(duì)這一方程給出完全的解答，但對(duì)于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問(wèn)題是不可解的，即不存在一般的方法來(lái)確定這樣的方法是否有一個(gè)整數(shù)解。當(dāng)解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維納頓戴雅猜測(cè)認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數(shù)zs在點(diǎn)s=1附近的性態(tài)。特別是這個(gè)有趣的猜測(cè)認(rèn)為，假如z1等于0,那么存在無(wú)限多個(gè)有理點(diǎn)解；相反，假

17、如z1不等于0,那么只存在有限多個(gè)這樣的點(diǎn)?！鞠嚓P(guān)鏈接二】數(shù)學(xué)界的厄多斯傳說(shuō)唐宋或更早之前，針對(duì)“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書(shū)學(xué)各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士，這與當(dāng)今“博士含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對(duì)那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者，又稱“講師?！敖淌诤汀爸叹瓰閷W(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)“律學(xué)“醫(yī)學(xué)“武學(xué)等科目的講授者；而后者那么于西晉武帝時(shí)代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國(guó)子、博士培養(yǎng)生徒?！爸淘诠糯粌H要作入流的學(xué)問(wèn)，其教書(shū)育人的職責(zé)也十清楚晰。唐代國(guó)子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教一席，也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代，只設(shè)國(guó)子監(jiān)國(guó)子學(xué)一科的“助教，其身價(jià)不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無(wú)論是“博士“講師

18、，還是“教授“助教，其今日老師應(yīng)具有的根本概念都具有了。對(duì)數(shù)學(xué)猜測(cè)感興趣的人，很多是出于純粹的學(xué)術(shù)興趣，近現(xiàn)代著名的數(shù)學(xué)家保羅·厄多斯就是一個(gè)數(shù)學(xué)癡。一般說(shuō)來(lái)，“老師概念之形成經(jīng)歷了非常漫長(zhǎng)的歷史。楊士勛唐初學(xué)者，四門(mén)博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也。這兒的“師資，其實(shí)就是先秦而后歷代對(duì)老師的別稱之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長(zhǎng)教之弗為變其“師長(zhǎng)當(dāng)然也指老師。這兒的“師資和“師長(zhǎng)可稱為“老師概念的雛形，但仍說(shuō)不上是名副其實(shí)的“老師，因?yàn)椤袄蠋煴匦枰忻鞔_的傳授知識(shí)的對(duì)象和本身明確的職責(zé)。厄多斯拋出過(guò)很多數(shù)學(xué)猜測(cè)，并給每個(gè)數(shù)學(xué)猜測(cè)都標(biāo)上價(jià)格，從50美元到1萬(wàn)美元，只要能解出來(lái)，厄多斯從不賴賬。對(duì)于一個(gè)以數(shù)學(xué)為終生職業(yè)的人來(lái)說(shuō)，玩這類猜測(cè)游戲是有趣的。他一輩子發(fā)表了1000多篇論文，平均一年要寫(xiě)或答復(fù)1500多封有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的信。他每到一處演講就能和該處的一兩個(gè)數(shù)學(xué)家合作寫(xiě)論文，據(jù)說(shuō)多數(shù)的情形是人們把一些長(zhǎng)期解決不了的問(wèn)題和他討論，他可以很快給出解決方法或答案，于是人們趕快把結(jié)果寫(xiě)下來(lái)，發(fā)表時(shí)加上他的名字，厄多斯的新論文就這樣誕生了。要練說(shuō)，先練膽。說(shuō)話膽小是幼兒語(yǔ)言開(kāi)展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說(shuō)話時(shí)顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面