全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題-三角函數(shù)

1、1三角恒等式與三角不等式三角恒等式與三角不等式一、基礎(chǔ)知識(shí)一、基礎(chǔ)知識(shí)定義 1 角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。角的大小是任意的。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。定義 2 角度制：把一周角 360 等分，每一等分為一度?；《戎疲喊训扔诎霃介L(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圓心角的弧長(zhǎng)為 L，則其弧度數(shù)的絕對(duì)值|=,其中 r 是圓的半徑。rL定義 3 三角函數(shù)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角 的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與 x 軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn) P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y），到原點(diǎn)的距

2、離為 r,則正弦函數(shù) sin=,余弦函數(shù)rycos=,正切函數(shù) tan=，余切函數(shù) cot=，正割函數(shù) sec=,余割函數(shù) csc=rxxyyxxr.yr定理 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tan=,sin=，cos=；cot1csc1sec1商數(shù)關(guān)系：tan=；sincoscot,cossin乘積關(guān)系：tancos=sin,cotsin=cos；平方關(guān)系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理 2 誘導(dǎo)公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin, co

3、s(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, cos=sin, tan=cot（奇變偶不變，符號(hào)看象限）222。定理 3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=sinx（xR）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，22 ,22kk232 ,22kk最小正周期：2. 奇偶性：奇函數(shù) 有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2kx+時(shí)，y 取最大值 1，當(dāng)且僅當(dāng) x=3k-時(shí), y 取最小值-1，值域?yàn)?1，1。22對(duì)稱性：直線 x=k+均為其對(duì)稱

4、軸，點(diǎn)（k, 0）均為其對(duì)稱中心。這里 kZ.2定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=cosx(xR)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k, 2k+上單調(diào)遞減，在區(qū)間2k-, 2k上單調(diào)遞增。最小正周期：2。 奇偶性：偶函數(shù)。有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2k 時(shí)，y 取最大值 1；當(dāng)且僅當(dāng) x=2k- 時(shí)，y 取最小值-1。值域?yàn)?1，1。對(duì)稱性：直線 x=k 均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)均為其對(duì)稱中心。這里 kZ.0 ,2k定理 5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù) y=tanx(xk+)在開區(qū)間(k-, k+)上為增函數(shù), 222最小正周期為 ，值域?yàn)椋?，+），點(diǎn)（k，0），（k+，0）均為其對(duì)稱中心。2定理

5、 6 兩角和與差的基本關(guān)系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=.)tantan1 ()tan(tan2 兩角和與差的變式：2222sinsincoscossin()sin() 2222cossincossincos()cos()三角和的正切公式：tantantantantantantan()1tantantantantantan定理 7 和差化積與積化和差公式:sin+sin=2sincos, sin-sin=2sincos,2222cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin,2222sincos=sin(+)+

6、sin(-), cossin=sin(+)-sin(-),2121coscos=cos(+)+cos(-), sinsin=-cos(+)-cos(-).2121定理 8 二倍角公式：sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=.)tan1 (tan22三倍角公式及變式：，3sin33sin4sin3cos34cos3cos ，1sin(60)sinsin(60)sin341cos(60)coscos(60)cos34定理 9 半角公式: sin=, cos=,22)cos1 (22)cos1 (tan=2)cos1 ()cos1 (.

7、sin)cos1 ()cos1 (sin定理 10 萬能公式: , ,2tan12tan2sin22tan12tan1cos22.2tan12tan2tan2定理 11 輔助角公式：如果 a, b 是實(shí)數(shù)且 a2+b20，則取始邊在 x 軸正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)(a, b)的一個(gè)角為 ，則 sin=,cos=，對(duì)任意的角 .asin+bcos=sin(+).22bab22baa)(22ba 定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有，RCcBbAa2sinsinsin其中 a, b, c 分別是角 A，B，C 的對(duì)邊，R 為ABC 外接圓半徑。定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c

8、2-2bcosA，其中 a,b,c 分別是角 A，B，C 的對(duì)邊。定理 14 射影定理：在任意ABC 中有，coscosabCcBcoscosbaCcAcoscoscaBbA定理 15 歐拉定理：在任意ABC 中，其中 O,I 分別為ABC 的外心和內(nèi)心。222OIRRr定理 16 面積公式：在任意ABC 中，外接圓半徑為 R,內(nèi)切圓半徑為 r，半周長(zhǎng)2abcp則211sin2sinsinsin(sinsinsin)224aabcSahabCrpRABCrRABCR 2221()()()(cotcotcot)4p papbpcaAbBcC定理 17 與ABC 三個(gè)內(nèi)角有關(guān)的公式：3 （1）si

9、nsinsin4coscoscos;222ABCABC （2）coscoscos14sinsinsin;222ABCABC （3）tantantantantantan;ABCABC（4）tantantantantantan1;222222ABBCCA（5）cotcotcotcotcotcot1;ABBCCA（6）sin2sin2sin24sinsinsin.ABCABC定理 18 圖象之間的關(guān)系：y=sinx 的圖象經(jīng)上下平移得 y=sinx+k 的圖象；經(jīng)左右平移得 y=sin(x+)的圖象（相位變換）；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得?y=sin()的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，1x0

10、縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，得到 y=Asinx 的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(0)的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，得到 y=Asinx 的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個(gè)單位得到 y=Asinx 的圖象。定義 4 函數(shù) y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作 y=arcsinx(x-1, 1)，2,2x函數(shù) y=cosx(x0, ) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作 y=arccosx(x-1, 1). 函數(shù) y=tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作 y=arctanx(x-, +). 2,2x函數(shù) y=cotx(

11、x0, )的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作 y=arccotx(x-, +).定理 19 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方程 cosx=a 的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.22定理 20 若干有用的不等式：（1）若，則 sinxxtanx.2, 0 x（2）函數(shù)在上為減函數(shù)；函數(shù)在上為增函數(shù)。sin xyx(0, )tan xyx(0,)2（3）嵌入不

12、等式：設(shè) A+B+C=，則對(duì)任意的 x,y,zR，有2222cos2cos2cosxyzyzAxzBxyC等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法與例題二、方法與例題1結(jié)合圖象解題。例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的個(gè)數(shù)。【解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù) y=sinx 與 y=lg|x|的圖象，由圖象可知兩者有 6 個(gè)交點(diǎn)，故方程有 6 個(gè)解。2三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。例 2 設(shè) x(0, ), 試比較 cos(sinx)與 sin(cosx)的大小?！窘狻?若，則-1cosx0，所以 cos，,2x0 ,2x所以 sin(cosx) 0,又 00，所以 cos(s

13、inx)sin(cosx).若，則因?yàn)?sinx+cosx=sin(x+0,2x2)，所以 0sinx-cosxcos(-cosx)=sin(cosx).2綜上，當(dāng) x(0,)時(shí)，總有 cos(sinx)0).例 6 已知 f(x)=sin(x+)(0, 0)是 R 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間0 ,43M上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。2, 0【解】 由 f(x)是偶函數(shù)，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin(x+)=sin(-x+)，所以 cossinx=0，對(duì)任意 xR 成立。又 0，解得=，2因?yàn)?f(x)圖象關(guān)于對(duì)稱，所以=0。0 ,43M)43()43(xfxf5取 x=0，

14、得=0，所以 sin所以(kZ)，即=(2k+1) (kZ).)43(f. 0243243 k32又0，取 k=0 時(shí)，此時(shí) f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；22取 k=1 時(shí)，=2，此時(shí) f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；22取 k=2 時(shí)，此時(shí) f(x)=sin(x+)在0，上不是單調(diào)函數(shù)，31022綜上，=或 2。327三角公式的應(yīng)用。例 7 已知 sin(-)=，sin(+)=- ，且 -，+，求 sin2,cos2 的值。135135,22 ,23【解】 因?yàn)?-，所以 cos(-)=-,2.1312)(sin12又因?yàn)?+，所以 cos(+)=2 ,23.13

15、12)(sin12所以 sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,169120cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例 8 已知ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 成等差數(shù)列，且，試求的值。BCAcos2cos1cos12cosCA【解】 因?yàn)?A=1200-C，所以 cos=cos(600-C)，2CA又由于)120cos(coscos)120cos(cos1)120cos(1cos1cos1000CCCCCCCA=，2221)2120cos()60cos(2)2120cos(120cos21)60c

16、os(60cos2000000CCCC所以=0。解得或。232cos22cos242CACA222cosCA8232cosCA又0，所以。2cosCA222cosCA例 9 求證：tan20 +4cos70 =3【解】 tan20 +4cos70 =+4sin2020cos20sin20cos40sin220sin20cos20cos20sin420sin20cos40sin10cos30sin220cos40sin40sin20sin. 320cos20cos60sin220cos40sin80sin例 10 證明：7cos77cos521cos335cos64cosxxxxx6分析：等號(hào)左

17、邊涉及角 7x、5x、3x、x右邊僅涉及角x，可將左邊各項(xiàng)逐步轉(zhuǎn)化為xsin、xcos的表達(dá)式，但相對(duì)較繁. 觀察到右邊的次數(shù)較高，可嘗試降次.證明：因?yàn)?cos33coscos4,cos3cos43cos33xxxxxx所以 從而有xxxxx226cos9cos3cos63coscos16 )2cos1 (29)2cos4(cos326cos1xxxxxxxxxxxxxxxxxcos20cos2cos30cos4cos12cos6cos2cos64,2cos992cos64cos66cos1cos3276 .cos353cos215cos77coscos20cos153cos153cos65

18、cos65cos7cosxxxxxxxxxxx評(píng)述：本題看似“化簡(jiǎn)為繁”，實(shí)質(zhì)上抓住了降次這一關(guān)鍵，很是簡(jiǎn)捷. 另本題也可利用復(fù)數(shù)求解. 令77)1(cos128,1cos2,sincoszzzziz從而則，展開即可.2013 北約7例 11 已知.20012tan2sec:,2001tan1tan1求證證明：)4tan()22sin()22cos(12cos2sin12tan2sec.2001tan1tan1.2001tan1tan1例 12 證明：對(duì)任一自然數(shù)n 及任意實(shí)數(shù)mnkmxk, 2 , 1 , 0(2為任一整數(shù)），有.2cotcot2sin14sin12sin1xxxxxnn思路

19、分析：本題左邊為 n 項(xiàng)的和，右邊為 2 項(xiàng)之差，故嘗試將左邊各項(xiàng)“裂”成兩項(xiàng)之差，并希冀能消去其中許多中間項(xiàng).證明：,2cotcot2sin2coscossin2cos22sin2coscos22sin122xxxxxxxxxxx同理xxx4cot2cot4sin1xxxnnn2cot2cot2sin11評(píng)述：本題裂項(xiàng)技巧也可通過數(shù)學(xué)歸納法獲得.“裂項(xiàng)相消”在解題中具有一定的普遍性，類似可證下列各題：nnnntantantan) 1tan(3tan2tan2tantan.1cot1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos1.2cot2cot2tan22tan22tan2

20、tan1122nnnn11000000cot2cot2sin(n 1)tan(1)tancoscos(n 1)nnnnnn提示：例 13 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊成等比數(shù)列，則 的取值范圍是（ ）ABCA B C, ,a b csincotcossincotcosACABCBA. B. C. D. (0,)51(0,)25151(,)2251(,)2解 設(shè)的公比為，則，而, ,a b cq2,baq caqsincotcossincoscossinsincotcossincoscossinACAACACBCBBCBC sin()sin()sinsin()sin()sinACBBbqBCAAa因此，只需

21、求的取值范圍q因成等比數(shù)列，最大邊只能是或，因此要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只需且, ,a b cac, ,a b cabc即有不等式組bca8即解得22,aaqaqaqaqa 2210,10.qqqq 1551,225151.22qqq 或從而，因此所求的取值范圍是故選 C515122q5151(,)22例 14 ABC 內(nèi)接于單位圓，三個(gè)內(nèi)角 A、B、C 的平分線延長(zhǎng)后分別交此圓于A1、B1、C1，則的值為（ ）CBACCCBBBAAAsinsinsin2cos2cos2cos111A2B4C6D8解：如圖，連 BA1，則 AA1=2sin(B+)22cos(2)222sin(2)2CBCB

22、CBAA)2cos(2cos2cos2cos)22cos(22cos1CBCACBAACBAAA同理,sinsin)2cos(BCB,sinsin2cos1CABBB,sinsin2cos1BACCC原式=選 A.),sinsin(sin22cos2cos2cos111CBACCCBBBAAA. 2sinsinsin)sinsin(sin2CBACBA例 15 若對(duì)所有實(shí)數(shù)，均有，則（ ）. xsinsincoscoscos 2kkkxkxxkxxk 、；、；、；、A6B5C4D3解：記 ，則由條件，恒為，取，得 sinsincoscoscos 2kkkf xxkxxkxx f x02x，則為

23、奇數(shù)，設(shè)，上式成為，因此為偶數(shù)，令，則 sin12kk k21knsin12n n2nm，故選擇支中只有滿足題意故選 D41km3k 例 16 已知是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是 2222212f xxabxaabbyA B. 2 C. D. 422 2解：由已知條件可知，函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。令，2210ab y222aabb,scosinba則。因此 選 A。22222sincossincos2sin2c s22oaabb例 17 已知，直線與,R 1sinsinsincosxy1cossincoscosxy的交點(diǎn)在直線上，則 。yx cossincinsso9解：由

24、已知可知，可設(shè)兩直線的交點(diǎn)為，且為方程，00(,)xx,inssco001sincosxxtt的兩個(gè)根，即為方程的兩個(gè)根。20sinc(cos)sinos(cos)i0s nttx因此，即0。cos(sinsincos) cossincinsso1、 。22cos( 15756)xxxx2、已知函數(shù)，則f(x)的最小值為_。)4541(2)cos()sin()(xxxxxf3、已知，且。則的值是_ _.3sin)2sin(),(2,21Zknnktan)tan(4、設(shè)函數(shù)f(x)=3sinx+2cosx+1。若實(shí)數(shù)a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1 對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則= acbco

25、s5、設(shè) 0.21111nnaa22n8、已知.cossin)tan(:, 1|),sin(sinAAA求證9、若 A，B，C 為ABC 三個(gè)內(nèi)角，試求 sinA+sinB+sinC 的最大值。10、證明：.2sin21sin)2sin()sin()2sin()sin(sinnnn11、已知 ， 為銳角，且 x（+-）0，求證：2. 2sincossincosxx12、求證：16178cos66cos42cos6cos sin1sin2sin3sin89=.106)41(45全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題- -三角恒等式與三角不等式三角恒等式與三角不等式 實(shí)戰(zhàn)演練答案實(shí)戰(zhàn)演練答案1、

26、解：根據(jù)題意要求，。于是有。因此2605xx20571xx2715xx。因此答案為 1。22cos( 15756)cos01xxxx102、解：實(shí)際上，設(shè)，則g(x)0，g(x)在)4541(2)4sin(2)(xxxxf)4541)(4sin(2)(xxxg上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且y=g(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)任意，存在43,4145,4343x43,411x，使g(x2)=g(x1)。于是，而f(x)在上是45,432x)(2)(2)(2)()(22212111xfxxgxxgxxgxf45,43減函數(shù)，所以，即f(x)在上的最小值是。554)45()( fxf45,415543

27、、解：. 213131sin)2sin(1sin)2sin(sin)2sin(21sin)2sin(21sin)cos(cos)sin(tan)tan(ba4、解：令c=，則對(duì)任意的xR，都有f(x)+f(xc)=2，于是取，c=，則對(duì)任意的xR，af(x)21 ba+bf(xc)=1，由此得。1cosacb一般地，由題設(shè)可得，其中且，1)sin(13)(xxf1)sin(13)(cxcxf2032tan于是af(x)+bf(xc)=1 可化為，即1)sin(13)sin(13bacxbxa，0) 1()cos(sin13cos)sin(13)sin(13baxcbcxbxa所以。0) 1()

28、cos(sin13)sin()cos(13baxcbxcba由已知條件，上式對(duì)任意xR恒成立，故必有，)3(01)2(0sin) 1 (0cosbacbcba若b=0，則由(1)知a=0，顯然不滿足(3)式，故b0。所以，由(2)知 sinc=0，故c=2k+或c=2k(kZ)。當(dāng)c=2k時(shí)，cosc=1，則(1)、(3)兩式矛盾。故c=2k+(kZ)，cosc=1。由(1)、(3)知，所以21 ba。1cosacb5、【解】因?yàn)?00, cos0.22022所以 sin（1+cos）=2sincos2= 2222cos2cos2sin22222=322232cos2cos2sin22.934

29、2716當(dāng)且僅當(dāng) 2sin2=cos2, 即 tan=, =2arctan時(shí)，sin(1+cos)取得最大值。222222229346、思路分析：等式左邊同時(shí)出現(xiàn)12tan18tan、12tan18tan，聯(lián)想到公式tantan1tantan)tan(.證明：12tan312tan18tan18tan311112tan18tan)12tan18tan1)(1218tan(312tan18tan)12tan18(tan3112tan18tan)12tan18tan1)(1218tan(312tan18tan)12tan18(tan3112tan18tan)12tan18tan1)(1218tan

30、(312tan18tan)12tan18(tan3評(píng)述：本題方法具有一定的普遍性. 仿此可證)43tan1 ()2tan1)(1tan1 (222)44tan1 (等.7、【證明】 由題設(shè)知 an0，令 an=tanan, an，2, 0則 an=.tan2tansincos1tan1sectan1tan111111112nnnnnnnnaaaaaaaa因?yàn)?，an，所以 an=，所以 an=21na2, 0121na.210an又因?yàn)?a0=tana1=1，所以 a0=，所以。4nna214又因?yàn)楫?dāng) 0 xx，所以2.22tan22nnna注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另

31、外當(dāng) x時(shí)，有 tanxxsinx，這是個(gè)熟2, 0知的結(jié)論，暫時(shí)不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明是很容易的。8、分析：、分析：條件涉及到角、，而結(jié)論涉及到角，.故可利用)()(或消除條件與結(jié)論間角的差異，當(dāng)然亦可從式中的“A”入手.證法 1： ),sin(sin A ),sin()sin(A),cos(sin)(cossin(),sin(sin)cos(cos)sin(AA .cossin)tan(, 0)cos(, 0cos, 1|AAA從而.cossin)tan(, 0)cos(, 0cos, 1|AAA從而.cossin)tan(, 0)cos(, 0cos, 1|AAA從而.cossin)t

32、an(, 0)cos(, 0cos, 1|AAA從而證法 2：sin)sin(cossin)sin()sin(sincossinsinsin A ).tan(sin)cos(sin)sin()sin()sin(cossin)sin().tan(sin)cos(sin)sin()sin()sin(cossin)sin().tan(sin)cos(sin)sin()sin()sin(cossin)sin(9、【解】 因?yàn)?sinA+sinB=2sincos, 2BA2sin22BABAsinC+sin, 23sin223cos23sin23CCC又因?yàn)椋?sin243cos43sin223sin2

33、sinCBACBACBA12由，得 sinA+sinB+sinC+sin4sin,33所以 sinA+sinB+sinC3sin=,當(dāng) A=B=C=時(shí)，（sinA+sinB+sinC）max=.32333233注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。10、證明：),2cos()2cos(212sinsin)sin()2sin()sin(sin2sin,)212cos()212cos(212sin)sin(,)23cos()25cos(212sin)2sin(),2cos()23cos(212si

34、n)sin(nnnn各項(xiàng)相加得類似地 .21sin)2sin()2cos()212cos(21nnn.21sin)2sin()2cos()212cos(21nnn所以，.2sin21sin)2sin()sin()sin(sinnnn評(píng)述：類似地，有.2sin)2cos(21sin)cos()cos(cosnnn 利用上述公式可快速證明下列各式：2sin21cos2sincos3cos2coscosnnn .2197cos95cos93cos9cos.2175cos73cos9cos等.2197cos95cos93cos9cos.2175cos73cos9cos等11、【證明】 若 +，則 x0

35、，由 -0 得 coscos(-)=sin,所以 0sin(-)=cos, 所以 01，2sincos所以. 2sincossincossincossincos00 xx若 +，則 x0，由 0-cos(-)=sin0,所以1。2222sincos又 0sin1，2sincos13所以，得證。2sincossincossincossincos00 xx注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。12、證明：cos6cos42cos66cos78=cos6cos54cos6654cos78cos42cos.16154cos4)183cos(4154cos478c

36、os42cos18cos.16154cos4)183cos(4154cos478cos42cos18cos.16154cos4)183cos(4154cos478cos42cos18cossin1sin2sin3sin89=(sin1sin59sin61)(sin2sin58sin62)(sin29sin31sin89)sin30sin60=4387sin6sin3sin)41(2960sin30sin)87sin33sin27(sin)66sin54sin6)(sin63sin57sin3(sin3)41(3045sin)54sin36)(sin63sin27)(sin72sin18)(sin18sin9(sin3)41(81sin18sin9sin3)41(404045sin)54s