雙曲線導(dǎo)學(xué)案及答案

1、 2014級高三理科數(shù)學(xué) 導(dǎo)學(xué)案 平面解析幾何 編制：高春芳 審閱：厲強(qiáng) 第二講雙曲線（2課時） 班級 姓名 【考試說明】1.了雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、）2.理解數(shù)形結(jié)合的思想.3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.【知識聚焦】（必須清楚、必須牢記）1雙曲線定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的_等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個定點(diǎn)叫做_，兩焦點(diǎn)間的距離叫做_.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)_時，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)_時，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)

2、_時，P點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1 (a>0，b>0)1 (a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍對稱性頂點(diǎn)漸近線離心率實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|_；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|_；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a、b、c的關(guān)系c2_ (c>a>0，c>b>0)3實(shí)軸和_相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.離心率e是雙曲線為等軸雙曲線的充要條件，且等軸雙曲線兩條漸近線互相垂直.一般可設(shè)其方程為x2y2(0).4.巧設(shè)雙曲線方程 (1)與雙曲線1 (a>0，b>0)有共同

3、漸近線的方程可表示為t (t0) (2)過已知兩個點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1 (mn<0)【鏈接教材】（打好基礎(chǔ)，奠基成長）1(教材改編)若雙曲線1 (a>0，b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為() A. B5 C. D22(2015·安徽)下列雙曲線中，漸近線方程為y±2x的是() Ax21 B.y21 Cx21 D.y21 2014級高三理科數(shù)學(xué) 導(dǎo)學(xué)案 平面解析幾何 編制：高春芳 審閱：厲強(qiáng)3(2014·廣東)若實(shí)數(shù)k滿足0<k<9，則曲線1與曲線1的() A焦距相等 B實(shí)半軸長相等 C虛半軸長相等 D離

4、心率相等4已知F為雙曲線C：x2my23m(m>0)的一個焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為_5(教材改編)經(jīng)過點(diǎn)A(3，1)，且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為_.6. 設(shè)雙曲線1(a0)的漸近線方程為3x±2y0，則a的值為() A.4 B.3 C.2 D.17 ()已知0<<，則雙曲線C1：1與C2：1的() A.實(shí)軸長相等 B.虛軸長相等 C.焦距相等 D.離心率相等8. 已知曲線方程1，若方程表示雙曲線，則的取值范圍是_.【課堂考點(diǎn)探究】探究點(diǎn)一雙曲線定義的應(yīng)用例11.已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時與圓C1及圓C2

5、相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_ 2. 設(shè)P是雙曲線上的一點(diǎn)，F(xiàn)1F2分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若為() A.1 B.17 C.1或17 D.以上答案均不對總結(jié)反思 探究點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法例21.根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)虛軸長為12，離心率為；(2)經(jīng)過兩點(diǎn)P(3,2)和Q(6，7)2 .()已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：y2x10，雙曲線的一個焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為()A.1 B.1 C.1 D.1 總結(jié)反思 變式題 (1)(2015·課標(biāo)全國)已知雙曲線過點(diǎn)(4，)，且漸近線方程為y±x，則該雙曲線

6、的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(2)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為_探究點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)例3(1)過雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，與另一條漸近線交于點(diǎn)B，若2，則此雙曲線的離心率為()A. B. C2 D. 2014級高三理科數(shù)學(xué) 導(dǎo)學(xué)案 平面解析幾何 編制：高春芳 審閱：厲強(qiáng)(2)(2015·山東)平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點(diǎn)O，A，B.若OAB的垂心為C

7、2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為_總結(jié)反思 變式題(1)(2015·重慶)設(shè)雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)是F，左，右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，若A1BA2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為()A± B± C±1 D±(2)(2015·湖北)將離心率為e1的雙曲線C1的實(shí)半軸長a和虛半軸長b(ab)同時增加m(m>0)個單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則()A對任意的a，b，e1<e2 B當(dāng)a>b時，e1<e2；當(dāng)a<b時，e1>e2C對任意的a，b，e1>

8、;e2 D當(dāng)a>b時，e1>e2；當(dāng)a<b時，e1<e2探究點(diǎn)四直線與雙曲線的綜合問題例4(1)(2015·四川)過雙曲線x21的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則|AB|等于() A. B2 C6 D4(2)若雙曲線E：y21(a>0)的離心率等于，直線ykx1與雙曲線E的右支交于A，B兩點(diǎn)求k的取值范圍；若|AB|6，點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn)，且m()，求k，m的值總結(jié)反思變式題已知雙曲線C的兩個焦點(diǎn)分別為F1(2,0)，F(xiàn)2(2，0)，雙曲線C上一點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于2.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過

9、點(diǎn)M(2,1)作直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，求直線l的方程；(3)已知定點(diǎn)G(1,2)，點(diǎn)D是雙曲線C右支上的動點(diǎn)，求|DF1|DG|的最小值 2014級高三理科數(shù)學(xué) 導(dǎo)學(xué)案 平面解析幾何 編制：高春芳 審閱：厲強(qiáng)【課后作業(yè)】1(2015·廣東)已知雙曲線C：1的離心率e，且其右焦點(diǎn)為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為() A.1 B.1 C.1 D.12設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點(diǎn)，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長的2倍，則C的離心率為() A. B. C2 D33(2014·江西)過雙曲線C：1的右頂點(diǎn)作x軸的

10、垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的方程為() A.1 B.1 C.1 D.14(2015·課標(biāo)全國)已知M(x0，y0)是雙曲線C：y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點(diǎn)，若·<0，則y0的取值范圍是() A. B. C. D.5已知橢圓1 (a1>b1>0)的長軸長、短軸長、焦距成等比數(shù)列，離心率為e1；雙曲線1 (a2>0，b2>0)的實(shí)軸長、虛軸長、焦距也成等比數(shù)列，離心率為e2.則e1e2等于() A. B1 C. D26已知F為雙曲線C：1的左焦點(diǎn)，P，Q

11、為C上的點(diǎn)若PQ的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)A(5，0)在線段PQ上，則PQF的周長為_7已知雙曲線1的一個焦點(diǎn)是(0,2)，橢圓1的焦距等于4，則n_.8若點(diǎn)O和點(diǎn)F(2,0)分別為雙曲線y21(a>0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則·的取值范圍為_9(2014·浙江)設(shè)直線x3ym0(m0)與雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P(m,0)滿足|PA|PB|，則該雙曲線的離心率是_10已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn) (1)求雙曲線C

12、2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個不同的交點(diǎn)A和B，且·>2(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍 雙曲線 參考答案【基礎(chǔ)回眸】1答案A解析由題意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2答案A解析由雙曲線漸近線方程的求法知：雙曲線x21的漸近線方程為y±2x，故選A.3答案A解析因?yàn)?<k<9，所以兩條曲線都表示雙曲線雙曲線1的實(shí)半軸長為5，虛半軸長為，焦距為22，離心率為.雙曲線1的實(shí)半軸長為，虛半軸長為3，焦距為22，離心率為，故兩曲線只有焦距相等故選A.4解析雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(m>0)，其漸近線方程為y±

13、x，即y±x，不妨選取右焦點(diǎn)F(，0)到其中一條漸近線xy0的距離求解，得d.51解析設(shè)雙曲線的方程為±1(a>0)，把點(diǎn)A(3，1)代入，得a28，故所求方程為1.6.C解：由雙曲線方程可知漸近線方程為y±x，又a0，可知a2.故選C. 7.D解：易知雙曲線C1實(shí)軸長為2cos，虛軸長為2sin，焦距為2，離心率為；雙曲線C2實(shí)軸長為2sin，虛軸長為2sintan，焦距為2tan，離心率為，又0<<，所以sincos，tan1，綜上知兩雙曲線只有離心率相等.8.(，2)(1，).解：方程1表示雙曲線， (2)(1)0，解得2或1. 【典例精講

14、】例1 1.x21(x1) 2.B1.解析如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因?yàn)閨MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a1，c3，則b28.故點(diǎn)M的軌跡方程為x21(x1)例2解(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1(a>0，b>0)由題意知，2b12，e.b6，c10，a8.雙曲線的標(biāo)

15、準(zhǔn)方程為1或1.(2)設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn>0)解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.2.A解：由題意可知，雙曲線的其中一條漸近線yx與直線y2x10平行，2.又雙曲線的一個焦點(diǎn)在直線l上，2c100，c5.a2b2c225.將b2a代入上式得a25，b220，故雙曲線的方程為1.變式答案(1)y21(2)1解析(1)由雙曲線漸近線方程為y±x，可設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2(0)，已知該雙曲線過點(diǎn)(4，)，所以()2，即1，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P，則|PF1|PF2|8.由雙曲線的

16、定義知：a4，b3.故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.即1.例3答案(1)C(2)解析(1)如圖，2，A為線段BF的中點(diǎn)，23.又12，260°，tan 60°，e21()24，e2.(2)由題意，不妨設(shè)直線OA的方程為yx，直線OB的方程為yx.由得x22p ·x，x，y，A.設(shè)拋物線C2的焦點(diǎn)為F，則F，kAF.OAB的垂心為F，AFOB，kAF·kOB1，·1，. 設(shè)C1的離心率為e，則e21.e. 變式答案(1)C(2)B解析(1)如圖，雙曲線1的右焦點(diǎn)F(c,0)，左，右頂點(diǎn)分別為A1(a,0)，A2(a,0)，易求B，C，則kA2C，kA1

17、B，又A1B與A2C垂直，則有kA1B·kA2C1，即·1，1，a2b2，即ab，漸近線斜率k±±1.(2)e1 ，e2 .不妨令e1<e2，化簡得<(m>0)，得bm<am，得b<a.所以當(dāng)b>a時，有>，即e1>e2；當(dāng)b<a時，有<，即e1<e2.故選B.例4(1)答案D解析右焦點(diǎn)F(2,0)，過F與x軸垂直的直線為x2，漸近線方程為x20，將x2代入漸近線方程得y212，y±2，A(2,2)，B(2，2)，|AB|4.(2)解由得故雙曲線E的方程為x2y21.設(shè)A(x1，

18、y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.(*)直線與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，故即所以1<k<. 故k的取值范圍是k|1<k<由(*)得x1x2，x1x2，|AB|·26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1<k<，k，所以x1x24，y1y2k(x1x2)28.設(shè)C(x3，y3)，由m()，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m)點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn)80m264m21，得m±.故k，m±.變式答案 解(1)依題意，得雙曲線C的實(shí)半軸長為a1，半焦距為c2，所以其虛半軸長b.又其焦點(diǎn)在x軸上

19、，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.(2) 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則兩式相減，得3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因?yàn)镸(2,1)為AB的中點(diǎn)，所以所以12(x1x2)2(y1y2)0，即kAB6，故AB所在直線l的方程為y16(x2)，即6xy110.(3)由已知，得|DF1|DF2|2，即|DF1|DF2|2，所以|DF1|DG|DF2|DG|2|GF2|2，當(dāng)且僅當(dāng)G，D，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時取等號因?yàn)閨GF2|，所以|DF2|DG|2|GF2|22，故|DF1|DG|的最小值為2.【必做題】1C解析因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為F2(5,0)且離心率

20、為e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求雙曲線方程為1，故選C.2答案B解析設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，由于直線l過雙曲線的焦點(diǎn)且與對稱軸垂直，因此直線l的方程為：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y±，故|AB|，依題意4a，2，e212，e.3答案A解析由得A(a，b)由題意知右焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為c4，4，即(a4)2b216.而a2b216，a2，b2.雙曲線C的方程為1.4答案A解析由題意知a，b1，c，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)·<0，(x0)(x0)y<0，即x3y<0.點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線上，y1，即x22y，22y3y<0，<y0<.故選A.5答案B解析由ba1c1，得aca1c1，e1.由ba2c2，得caa2c2，e2.e1e2×1.6答案44解析由雙曲線C的方程，知a3，b4，c5，點(diǎn)A(5,0)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，且|PQ|QA|PA|4b16，由雙曲線定義，得|PF|PA