圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及歸納

1、第一講 圓的方程宋體三號(hào)加粗一、知識(shí)清單一級(jí)標(biāo)題宋體四號(hào)加粗（一）圓的定義及方程二級(jí)標(biāo)題宋體小四加粗定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)正文宋體五號(hào)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r>0)圓心：(a，b)，半徑：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F>0)圓心：，半徑：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的互化三級(jí)標(biāo)題宋體五號(hào)加粗（1）將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (xa)2(yb)2r2 展開(kāi)并整理得x2y22ax2bya2b2r20，取D2a，E2b，F(xiàn)a2b2r2，得x2y2DxEyF0.（2）將圓的一般方程x2y2DxEyF0通過(guò)配方后得到的方程為：(x)2(y)2當(dāng)D2E24

2、F>0時(shí)，該方程表示以(，)為圓心，為半徑的圓；當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解x，y，即只表示一個(gè)點(diǎn)(，)；當(dāng)D2E24F<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形2、圓的一般方程的特征是：x2和y2項(xiàng)的系數(shù) 都為1 ，沒(méi)有 xy 的二次項(xiàng).3、圓的一般方程中有三個(gè)待定的系數(shù)D、E、F，因此只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了（二）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：（1）若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2>r2.（2）若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.（3）若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x

3、0a)2(y0b)2<r2.本處標(biāo)題級(jí)數(shù)錯(cuò)誤，應(yīng)為1、2、3三級(jí)標(biāo)題(三)直線與圓的位置關(guān)系 方法一：方法二：（四）圓與圓的位置關(guān)系1 外離2外切3相交4內(nèi)切5內(nèi)含（五）圓的參數(shù)方程（六）溫馨提示1、方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的條件是：（1）B0； （2）AC0； （3）D2E24AF0.2、求圓的方程時(shí)，要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算（1）圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上（2）圓心在任一弦的中垂線上（3）兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線3、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，點(diǎn)M(x，y)是線段AB的中點(diǎn)，則x ，y .二、

4、典例歸納考點(diǎn)一：有關(guān)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法宋體小四加粗【例1】注意例題符號(hào)使用 圓的圓心是 ，半徑是 .【例2】 點(diǎn)(1,1)在圓(xa)2(ya)24內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,1) B(0,1)C(，1)(1，) D(1，)【例3】 圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的方程為()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21【例4】 圓(x2)2y25關(guān)于原點(diǎn)P(0,0)對(duì)稱的圓的方程為()A(x2)2y25Bx2(y2)25C(x2)2(y2)25 Dx2(y2)25【變式1】已知圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為 【變式2】已知圓C與圓關(guān)于直線

5、對(duì)稱，則圓C的方程為 【變式3】 若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x3y0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x3)221 B(x2)2(y1)21C(x1)2(y3)21 D.2(y1)21【變式4】已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，求外接圓的方程.方法總結(jié)：宋體五號(hào)加粗1利用待定系數(shù)法求圓的方程關(guān)鍵是建立關(guān)于a，b，r的方程組2利用圓的幾何性質(zhì)求方程可直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用考點(diǎn)二、有關(guān)圓的一般方程的求法【例1】 若方程x2y24mx2y5m0表示圓，則的取值范圍是()A .m1 Bm或m1 Cm Dm1【例2】 將圓x2y22x4y10平分的直線

6、是()Axy10 Bxy30 Cxy10 Dxy30【例3】 圓x22xy230的圓心到直線xy30的距離為_(kāi)【變式1】 已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，P點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上，則實(shí)數(shù)= 【變式2】 已知一個(gè)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，且圓心在上，求圓的方程.【變式3】 平面直角坐標(biāo)系中有四點(diǎn)，這四點(diǎn)能否在同一個(gè)圓上？為什么？【變式4】 如果三角形三個(gè)頂點(diǎn)分別是O(0,0)，A(0,15)，B(8,0)，則它的內(nèi)切圓方程為_(kāi)方法總結(jié)：1利用待定系數(shù)法求圓的方程關(guān)鍵是建立關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組2熟練掌握?qǐng)A的一般方程向標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化 考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題【例1】 動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(8,0)的距離是到點(diǎn)B(2,0)

7、的距離的2倍，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()Ax2y232Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216【例2】 方程表示的曲線是（ ）A. 一條射線 B. 一個(gè)圓 C. 兩條射線 D. 半個(gè)圓【例3】 在中，若點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2,0）和（2,0），中線AD的長(zhǎng)度是3，則點(diǎn)A的軌跡方程是（ ） A. B. C. D. 【例4】 已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(3,0)距離的比為的點(diǎn)的軌跡求這個(gè)曲線的方程，并畫(huà)出曲線【變式1】 方程所表示的曲線是（ ）A. 一個(gè)圓 B. 兩個(gè)圓 C. 一個(gè)半圓 D. 兩個(gè)半圓【變式2】 動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(8,0)的距離是到點(diǎn)B(2,0)的距離的2倍，則

8、動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()Ax2y232Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216【變式3】 如右圖，過(guò)點(diǎn)M(6,0)作圓C：x2y26x4y90的割線，交圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡【變式4】 如圖，已知點(diǎn)A(1,0)與點(diǎn)B(1,0)，C是圓x2y21上的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)至D，使得|CD|BC|，求AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程方法總結(jié)：求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根據(jù)題目條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，找出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，然后化簡(jiǎn)(2)定義法：根據(jù)直線、圓等定義列方程(3)幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程(4)代入法：

9、找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等考點(diǎn)四：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【例1】 已知圓x2y22x4ya0關(guān)于直線y2xb成軸對(duì)稱，則ab的取值范圍是_【例2】 已知x，y滿足x2y21，則的最小值為_(kāi)【例3】 已知點(diǎn)M是直線3x4y20上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓(x1)2(y1)21上的動(dòng)點(diǎn)，則|MN|的最小值是()A. B1 C. D.【例4】已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x2)2(y1)21則2xy的最大值為_(kāi)，最小值為_(kāi)【變式1】 P(x，y)在圓C：(x1)2(y1)21上移動(dòng)，則x2y2的最小值為_(kāi)【變式2】 由直線yx2上的點(diǎn)P向圓C：(x4)2(y2)21引切線PT(T為切點(diǎn))，當(dāng)|PT|最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A(1,1) B(0,2) C(2,0) D(1,3)【變式3】 已知兩點(diǎn)A(2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2y22x0上任意一點(diǎn)，則ABC面積的最小值是_【變式4】已知圓M過(guò)兩點(diǎn)C(1，1)，D(1,1)，且圓心M在xy20上（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x4y80上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值方法總結(jié)：解決與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常用方法（1）形如