復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系

1、重視復(fù)平面上復(fù)數(shù)與向量的聯(lián)系作用 平面向量與復(fù)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,聯(lián)系緊密,聯(lián)系是在復(fù)平面進(jìn)行的。隨著知識的發(fā)展，相互對應(yīng)相互促進(jìn)是聯(lián)系的主要體現(xiàn)。復(fù)數(shù)中的概念、運算等在向量中可以作出幾何解釋；向量的運算，可以對應(yīng)有關(guān)的復(fù)數(shù)運算.復(fù)數(shù)與向量的這種聯(lián)系，只要我們需要,可以將它們組合起來，在計算推理中發(fā)揮它們的聯(lián)系作用，將是一件高效快樂的事情.一 復(fù)數(shù)商與內(nèi)積的聯(lián)系復(fù)數(shù)運算，向量運算之間的許多聯(lián)系，在現(xiàn)有課本里是可以學(xué)習(xí)到的，下面我們來看復(fù)數(shù)商與內(nèi)積的聯(lián)系.例1 復(fù)數(shù)z=a+bi, z=a+bi，它們的三角式分別為z=|z|(cos+isin), z=|z|(cos+isin),對應(yīng)的向量分別

2、是=(a,b)、=(a,b).然后復(fù)數(shù)作商:代數(shù)式作商:=；-(1)三角式作商：=cos(-)+isin(-),-(2)比較(1)(2)式,可得 cos(-)=, (3)sin(-)=(4)則從中可得下列變式：(1) 復(fù)數(shù)對應(yīng)向量間的夾角余弦公式:cos(-)= ,( 我們總可以適當(dāng)選擇、的主值范圍，使得|-|，所以與的夾角就是|-|).(2) 向量內(nèi)積:·=aa+bb=|·|cos(-).若對(4)取絕對值得到:|×|=|ab-ab|=|·|sin(-)|,這是空間平面上向量叉積的絕對值,是以線段oz、oz為鄰邊的平行四邊形的面積公式.復(fù)數(shù)商運算式中,

3、隱含著向量間的夾角公式，向量的內(nèi)積，平行四邊形面積的公式. 若復(fù)數(shù)代數(shù)式的三角式分別是,然后,將它們的代數(shù)式,三角式分別相乘,比較結(jié)果,同樣可以得到上面的三個式子.數(shù)學(xué)中的這種相互包容聯(lián)系,真是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一和諧之美.二 復(fù)數(shù)向向量表示上的轉(zhuǎn)化聯(lián)系利用復(fù)數(shù)與向量的聯(lián)系,復(fù)數(shù)可以向向量表示上的轉(zhuǎn)化，使有些復(fù)數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為向量問題或構(gòu)造向量圖像去處理，借向量之力去解決復(fù)數(shù)問題.例2 已知復(fù)數(shù)z、z的模為1，z+z,求復(fù)數(shù).解：根據(jù)題意，設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，以這兩個向量為鄰邊，邊長為1，構(gòu)作一個平行四邊形，并建如圖1的直角坐標(biāo)系.記，對應(yīng)向量. =z 對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 o z x ，zoz=60 o

4、zz是正三角形, ozz 是正三角形. ,或.本題在解題的思路上借助了復(fù)數(shù)向向量轉(zhuǎn)化的作用.復(fù)數(shù)向向量轉(zhuǎn)化是較常用的思想方法.此題純粹用代數(shù)方法去做,計算量是較大的. 例3復(fù)平面內(nèi)，已知動點A,B所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的輻角為定值，分別、-，O為原點，AOB的面積是定值S，求AOB的重心M所對應(yīng)的復(fù)數(shù)模的最小值.圖2.解：根據(jù)題設(shè)，設(shè)向量對應(yīng)復(fù)數(shù)且|,則有 , 圖2 = = |z|=|,即重心M所對應(yīng)的復(fù)數(shù)模的最小值（=時，取最小值）.該題用向量方法可較簡捷獲解. 復(fù)數(shù)向向量表示上的轉(zhuǎn)化的特點是:能將復(fù)數(shù)條件化為特殊的向量圖形, 或構(gòu)造一個向量運算,然后,順利進(jìn)行推理運算,求得結(jié)果.三 向量向復(fù)數(shù)表示上

5、的轉(zhuǎn)化聯(lián)系利用復(fù)數(shù)與平面向量的聯(lián)系，由向量向復(fù)數(shù)表示上的轉(zhuǎn)化，使向量問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題或構(gòu)造復(fù)數(shù)的結(jié)論去處理，借復(fù)數(shù)之力去解決向量問題,并使人覺得返樸歸真之感.例4已知三個不共線的向量且證明:可構(gòu)成一個三角形.證明:不妨設(shè)對應(yīng)復(fù)數(shù)的三角式分別為:,且.=0(2)由(1),(2)解得不共線,可構(gòu)成一個三角形.從證明過程知道,其逆也成立的,故此命題可寫成充要條件的形式.該題純粹用向量概念去證明是比較簡單的,但學(xué)生聽了后,并覺得沒有復(fù)數(shù)解明白.向量向復(fù)數(shù)表示上的轉(zhuǎn)化的特點是:轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題后能構(gòu)造出復(fù)數(shù)的某些結(jié)論或某些代數(shù)公式,從而通過它們?nèi)崿F(xiàn)目標(biāo)完成.四 復(fù)數(shù)與向量并用聯(lián)系用多種形式表示一個命題

6、的方法,在數(shù)學(xué)中是常用的手段，而且是常用常新，也是知識、思想、方法融會貫通的重要途徑.如有些命題既可以用復(fù)數(shù)表示、也可以用向量表示，對于這類命題的處理自然要選擇合適的形式來表示，或者是兩者并用，實現(xiàn)相互左證,這樣可以使問題明了簡單.例5已知線段AB的中點C,以AC和CB為對角線作平行四邊形AECD和BFCG,又作平行四邊形CFHD和CGKE,求證H、C、K三點在一條直線上,且CK=CH,如圖3. 證明:以C為原點,AB為X軸建立直角直角坐標(biāo)系.設(shè)向量對應(yīng)復(fù)數(shù)那么,向量對應(yīng)復(fù)數(shù)分別為； 又、分別對應(yīng)復(fù)數(shù)、 ， 圖3 ， 平行，但又有公共點C，故H、C、K三點共線,且CK=CH.例6已知(k=1,

7、2,n)是單位圓上的n個等分點,是該圓上任意一點,求證 為一定值.如圖4.證明:以單位圓的圓心O為直角坐標(biāo)的原點,OP為X軸,建立坐標(biāo)系,則 (當(dāng)k=n時,假定此角為2), 點,對應(yīng)向量是,則其長為1,向量和,即. =(=2n-2=2n,為定值.在這兩個問題解決的過程中，我們既用了復(fù)數(shù),又用到了向量及它們之間的等價結(jié)論.復(fù)數(shù)與向量并用的特點是:并用表示后,相互之間有左證作用或有等價結(jié)論,而且在各自的范圍內(nèi)有順利進(jìn)行計算推理的可能.在平面圖中，證明點共線，直線平行，直線垂直，判斷三角形的形狀等時,經(jīng)常用復(fù)數(shù)與向量之間來轉(zhuǎn)換、或并用來表示命題的,從而實現(xiàn)共同之目的.復(fù)數(shù)與平面向量之間的聯(lián)系是很多的，既有數(shù)形聯(lián)系,又有等價結(jié)論聯(lián)系.用好這些聯(lián)系的意義是很大的.在教學(xué)中能揭示這些聯(lián)系，可以活躍思維，培養(yǎng)興趣，提高學(xué)習(xí)的積極性,提高學(xué)習(xí)的效率. 要牢固掌握這些聯(lián)系，關(guān)鍵在平時要理清復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)聯(lián)系，并把它們裝在心中，拿在手中，落實在應(yīng)用中,千萬別將它們分離.例4已知是單位圓上的n個等分點(按逆時針排列)，