淺談中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法(論文)

1、 本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）冊 學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級 2006級A班 學(xué)生 孔祥東 指導(dǎo)教師 麻常利 河北師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計）任務(wù)書編號：數(shù)信學(xué)院2010屆613論文（設(shè)計）題目： 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法 院系： 數(shù)信與信息科學(xué)學(xué)院 專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級： 06A班 學(xué)生姓名： 孔祥東 學(xué)號： 2006012613 指導(dǎo)教師： 職稱： 1、 論文（設(shè)計）研究目標(biāo)及主要任務(wù)深入研究中學(xué)（特別是高中）的數(shù)學(xué)問題，探尋用更短的時間解決更多的中學(xué)數(shù)學(xué)問題，以及掌握處理大多數(shù)中學(xué)數(shù)學(xué)問題的通法通解。2、 論文（設(shè)計）的主要內(nèi)容本文針對中學(xué)的幾種典型的數(shù)學(xué)方法進行

2、了研究和總結(jié)，并以示范性典例和再現(xiàn)性典例的形式加以歸納和再現(xiàn)，以典型題來闡述各數(shù)學(xué)方法的精妙。3、 論文（設(shè)計）的基礎(chǔ)條件及研究路線半年來對中學(xué)數(shù)學(xué)試題的廣泛研究，尤其是北京地區(qū)高考題的研究，加之對眾多教輔資料的研讀與分析，結(jié)合自己的心得和體會加以研究和歸納。4、 主要參考文獻1 鄭毓信、肖柏榮、熊萍 數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論 M. 成都：四川教育出版社2 陸書環(huán)、傅海倫 數(shù)學(xué)教學(xué)論 M. 北京：科學(xué)出版社3 張雄、李得虎 數(shù)學(xué)方法論與解題研究 M. 北京：高等教育出版社4 周房安.數(shù)學(xué)選擇題解答策略J.廣東教育，2006,(04).6263.5 傅欽志.高考解題中的優(yōu)先策略J.高中數(shù)理化，200

3、4,(02).12.5、 計劃進度階段起止日期1思考計劃，構(gòu)思論文1月3日-3月5日2查閱資料，搜集內(nèi)容3月5日-3月20日3整理材料，擬定初稿3月20日-4月10日4導(dǎo)師指導(dǎo)，修改論文 4月10日-4月20日5仔細(xì)審閱，論文定稿4月20日-5月10日指導(dǎo)教師簽名： 系主任（教研室主任）簽名： 年 月 日 年 月 日學(xué)院審查意見： 教學(xué)院長簽名： 年 月 日河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告書 數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 2010 屆學(xué)生姓名孔祥東論文（設(shè)計）題目淺談中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法指導(dǎo)教師麻常利專業(yè)職稱數(shù)學(xué)教育所屬教研室研究方向數(shù)學(xué)教育課題論證：近年來，隨著國民對教育

4、的關(guān)注，中高考成為學(xué)生們競技個人實力的舞臺，數(shù)學(xué)在這個舞臺上起著至關(guān)重要的作用，而數(shù)學(xué)解題方法的探討和熟練運用則成為制勝的法寶，在現(xiàn)行中學(xué)教材中，數(shù)學(xué)思想貫穿于教材的各個部分，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的媒介，將試題和數(shù)學(xué)思想結(jié)合起來，幾乎滲透到所有的教學(xué)過程中。運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法，通過正確的分類可以使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答。方案設(shè)計：本文針對中學(xué)的幾種典型的數(shù)學(xué)方法進行了研究和總結(jié)，并以示范性典例和現(xiàn)性典例的形式加以歸納和再現(xiàn)，以典型題來闡述各數(shù)學(xué)方法的精妙。進度計劃：1月3日-3月5日 思考計劃，構(gòu)思論文;3月5日-3月20日 查閱資料，搜集內(nèi)容;3月20日-4月10日 整理材料，擬

5、定初稿;4月10日-4月20日 導(dǎo)師指導(dǎo)，修改初稿;4月20日-5月10日 仔細(xì)審閱，論文定稿。指導(dǎo)教師意見： 指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日教研室意見： 教研室主任簽名： 年 月 日河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）文獻綜述科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，特別是計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，沖擊著原來數(shù)學(xué)課程與教學(xué)模式，數(shù)學(xué)教育的目的、內(nèi)容重點和教學(xué)手段等諸多方面都出現(xiàn)了新的變化。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，各行各業(yè)都用到數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)成為公民必須的文化素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教育大眾化是時代的要求，國際數(shù)學(xué)課程改革正是在這樣的背景上展開的。當(dāng)前，世界主要教育先進國家，如美國、英國、法國、德國、日本等，都積極推動課程改革，而綜觀各國課

6、程發(fā)展，雖然其教育目標(biāo)不盡一致，但強調(diào)通過課程的實施來培養(yǎng)未來社會合格公民的作法則相同。課程內(nèi)容應(yīng)結(jié)合學(xué)生實際生活的需要，這是近年來課程發(fā)展的另一主調(diào)。隨著社會的變遷，信息爆炸及知識技術(shù)的迅速推陳出新，傳統(tǒng)的靠背誦知識為主的教育模式已經(jīng)落后，為了適應(yīng)快速的變遷，人們在學(xué)校除了學(xué)得基本知識外，更需要有學(xué)以致用，將知識轉(zhuǎn)化為解決各種生活挑戰(zhàn)及工作所需的能力。正如英國哲學(xué)家懷德海認(rèn)為的教育中的任務(wù)不是把死知識或"無活力的知識"灌輸?shù)絻和哪X子中去，而是使知識保持活力和防止知識的僵化，使兒童通過樹木而見森林。譬如，面對浩瀚的信息海洋，重要的不再是知道多少信息，而是能否收集、分析、研

7、判、整合和運用信息的能力；針對數(shù)學(xué)教育，我查閱了大量實用性的資料，其中尤以鄭毓信、肖柏榮、熊萍老師的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的根本要義。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教育的最終目的，數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問題尤其是數(shù)學(xué)建模問題的重要手段。傅欽志老師的高考解題中的優(yōu)先策略也是對數(shù)學(xué)解題方法的重要補充，闡述了很好的解決數(shù)學(xué)問題的基本方法。盡管如此，各國的教育事業(yè)都存在或多或少的問題，比如中國的師資配備均衡性，教育平等性等方面還存在很多急需解決的問題?？墒?，不管怎樣，掌握正確的數(shù)學(xué)思想，正確的方法來解決實際問題都成為了各國數(shù)學(xué)教育的發(fā)展方向。解題路徑不再單一化，標(biāo)準(zhǔn)化，這在我國的高考中體征明顯。我國教育的

8、發(fā)展表明，我們始終都注重對學(xué)生基本計算能力和基本方法的培養(yǎng)，各學(xué)科試題更注重與生活實際相結(jié)合，解決方法的多樣化，都在彰顯著教育的活力。河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）翻譯文章 列出參閱的外文文獻資料的篇目，對其中與研究課題相關(guān)的重要文獻進行翻譯，注明原文的出處并附原文（附在后面）（不少于2000字）。本科生畢業(yè)論文設(shè)計 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法 作者姓名 指導(dǎo)教師 所在學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專業(yè)（系） 數(shù)學(xué)教育 班級（屆） 06級A班 完成日期 2010 年 5 月 6 日 目 錄中文摘要、關(guān)鍵詞 （2）引言 (3)一、配方法 (3)二、換元法 (3)三、待定系數(shù)法 (3)四、定義法 (3)

9、五、數(shù)學(xué)歸納法 (3)六、參數(shù)法 (3)七、反證法 (3)參考文獻（）英文摘要、關(guān)鍵詞（）附錄（）摘要：在與北京地區(qū)十余位高中畢業(yè)班學(xué)生的接觸后，結(jié)合我自身的經(jīng)驗，我發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學(xué)方法融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)解題方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)解題方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思

10、想方法則是一種數(shù)學(xué)意識，只能夠領(lǐng)會和運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)解題方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識忘記了，數(shù)學(xué)方法和思想也還是對你起作用。數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時獲得?？梢哉f，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識和運用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本文淺陋介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基

11、本解題方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法。在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進行綜合性的敘述，再以兩種典例的形式出現(xiàn)。示范性典例進行詳細(xì)的解答和分析，對方法和問題進行示范，再現(xiàn)性典例是一組簡單的選擇填空題進行方法的再現(xiàn)旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個典例中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識。關(guān)鍵詞:高考 解題方法 數(shù)學(xué)解題 技巧 數(shù)學(xué)思想 配方法 換元法 待定系數(shù)法 數(shù)學(xué)歸納法 參數(shù)法 消去法 反證法1、配方法配方法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的

12、技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(ab)a2abb，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(a

13、bc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）；x(x)2(x)2 ； 等等。1.1、示范性典例：例1. 已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為_。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z，則 ,而欲求對角線長，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。【解】設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z，由已知“長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24”而得：。長方體所求對角線長為：5所以選B?！咀ⅰ勘绢}解答

14、關(guān)鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學(xué)式進行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2. 設(shè)方程xkx2=0的兩實根為p、q，若()+()7成立，求實數(shù)k的取值范圍?！窘狻糠匠蘹kx2=0的兩實根為p、q，由韋達定理得：pqk，pq2 ,()+()7， 解得k或k 。又 p、q為方程xkx2=0的兩實根， k80即k2或k2綜合起來，k的取值范圍是：k 或者 k。【注】 關(guān)于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“”；已知方程有兩根時，可以恰當(dāng)運用韋達定理。本題由韋達定理得到pq、pq后，觀

15、察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成pq與pq的組合式。假如本題不對“”討論，結(jié)果將出錯，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對“”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。例3. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足aabb=0，求()() ?！痉治觥?對已知式可以聯(lián)想：變形為()()10，則 （為1的立方虛根）；或配方為(ab)ab 。則代入所求式即得。【解】由aabb=0變形得：()()10 ，設(shè)，則10，可知為1的立方虛根，所以：，1。又由aabb=0變形得：(ab)ab ，所以 ()()()()()()2 ?！咀ⅰ?本題通過配方，簡化了所求的表達式；巧用1的立方虛根，活

16、用的性質(zhì)，計算表達式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開?！玖斫狻坑蒩abb0變形得：()()10 ，解出后，化成三角形式，代入所求表達式的變形式()()后，完成后面的運算。此方法用于只是未聯(lián)想到時進行解題。假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由aabb0解出：ab，直接代入所求表達式，進行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計算。12、再現(xiàn)性典例：1. 在正項等比數(shù)列a中，asa+2asa+aa=25，則 aa_。2. 方程xy4kx2y5k0表示圓的充要條件是_。 A. <k<1 B. k<或k>1 C. k

17、R D. k或k13. 已知sincos1，則sincos的值為_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函數(shù)ylog (2x5x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。 A. （, B. ,+) C. (, D. ,3)5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點P(x,x)在圓x+y=4上，則實數(shù)a_?！竞喗狻?1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aaa，將已知等式左邊后配方（aa）易求。答案是：5。 2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(xa)(yb)r，解r>0即可，選B。 3小題：已知等式經(jīng)配方成(sincos)2sincos1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再開方求解。

18、選C。4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。5小題：答案3。2、換元法解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)

19、式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設(shè)2t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)系進行換元。如求函數(shù)y的值域時，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設(shè)xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變

20、量x、y適合條件xyr（r>0）時，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問題。均值換元，如遇到xyS形式時，設(shè)xt，yt等等。我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和0,。2.1、示范性典例：例1. 實數(shù)x、y滿足4x5xy4y5 （ 式） ，設(shè)Sxy，求的值。（全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）【分析】 由Sxy聯(lián)想到cossin1,于是進行三角換元，設(shè)代入式求S和S的值。【解】設(shè)代入式得： 4S5S·sincos5 解得 S ； -1sin21 3

21、85sin213 此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2的有界性而求，即解不等式：|1。這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法”?！玖斫狻?由Sxy，設(shè)xt，yt，t， 則xy±代入式得：4S±5=5， 移項平方整理得 100t+39S160S1000 。 39S160S1000 解得：S 【注】 此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件Sxy與三角公式cossin1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式Sxy而按照均值換元的思路，設(shè)xt、yt，減少了元的個數(shù)，問題且容易求解。另外，還

22、用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設(shè)xab，yab，這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設(shè)xab，yab，代入式整理得3a13b5 ，求得a0,，所以S(ab)(ab)2(ab)a,，再求的值。例2 ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：AC2B，求cos的值。（96年全國理）【分析】 由已知“AC2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得 ；由“AC120°”進行均值換元，則設(shè) ，再代入可求cos即cos?！窘狻坑葾BC中已知AC2B，可得 ,由AC120

23、76;，設(shè)，代入已知等式得：2,解得：cos， 即：cos?！玖斫狻坑葾C2B，得AC120°，B60°。所以2，設(shè)m，m ，所以cosA，cosC，兩式分別相加、相減得：cosAcosC2coscoscos，cosAcosC2sinsinsin，即：sin，代入sincos1整理得：3m16m120,解出m6，代入cos?！咀ⅰ?本題兩種解法由“AC120°”、“2”分別進行均值換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運用相當(dāng)熟練。假如未想到進行均值換元，也可由三角運算直接解出：由AC2B，得AC120°

24、;，B60°。所以2，即cosAcosC2cosAcosC，和積互化得：2coscoscos(A+C)cos(A-C)，即coscos(A-C)(2cos1)，整理得：4cos2cos30,解得：cos y , , x例3. 設(shè)a>0，求f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a的最大值和最小值。【解】 設(shè)sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinx·cosx得：sinx·cosx f(x)g(t)(t2a) （a>0），t-,t-時，取最小值：2a2a當(dāng)2a時，t，取最大值：2a2a ；當(dāng)0<2a時，t

25、2a，取最大值： 。 f(x)的最小值為2a2a，最大值為?！咀ⅰ?此題屬于局部換元法，設(shè)sinxcosxt后，抓住sinxcosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t-,）與sinxcosx對應(yīng)，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論。一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，

26、經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例4. 設(shè)對所于有實數(shù)x，不等式xlog2x loglog>0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國理）【分析】不等式中l(wèi)og、 log、log三項有何聯(lián)系？進行對數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法。【解】 設(shè)logt，則loglog3log3log3t，log2log2t，代入后原不等式簡化為（3t）x2tx2t>0，它對一切實數(shù)x恒成立，所以：，解得 t<0即log<00<<1，解得0<a<1?！咀ⅰ繎?yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何設(shè)

27、元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og、 log、log三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題時，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對數(shù)運算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點。例5. 已知，且 (式)，求的值?！窘狻?設(shè)k，則sinkx，cosky，且sincosk(x+y)1,代入式得： 即：設(shè)t，則t , 解得：t3或 ±或±【另解】 由tg，將等式兩邊同時除以，再表示成含tg的式子：1tgtg，設(shè)tgt，則3t10t30，t3或， 解得&#

28、177;或±。【注】 第一種解法由而進行等量代換，進行換元，減少了變量的個數(shù)。第二種解法將已知變形為，不難發(fā)現(xiàn)進行結(jié)果為tg，再進行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。例6. 實數(shù)x、y滿足1，若xyk>0恒成立，求k的范圍。【分析】由已知條件1，可以發(fā)現(xiàn)它與ab1有相似之處，于是實施三角換元?！窘狻坑?，設(shè)cos，sin，即： 代入不等式xyk>0得：3cos4sink>0，即k<3cos4sin5sin(+) 所以k<-5時不等式恒成立?！咀ⅰ勘绢}進行三角換元，將代數(shù)問題（或者是解析幾何問題）化為了

29、含參三角不等式恒成立的問題，再運用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問題時，經(jīng)常使用“三角換元法”。 y x xyk>0 k 平面區(qū)域本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式axbyc>0 (a>0)所表示的區(qū)域為直線axbyc0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上xyk>0的區(qū)域。即當(dāng)直線xyk0在與橢圓下部相切的切線之下時。當(dāng)直線與橢圓相切時，方程組有相等的一組實數(shù)解

30、，消元后由0可求得k3,所以k<-3時原不等式恒成立。2.2、再現(xiàn)性典例：1.ysinx·cosxsinx+cosx的最大值是_。2.設(shè)f(x1)log(4x) （a>1），則f(x)的值域是_。3.已知數(shù)列a中，a1，a·aaa，則數(shù)列通項a_。4.設(shè)實數(shù)x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) ·log(22)2的解集是_。【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosxt,，則yt，對稱軸t1，當(dāng)t，y；2小題：設(shè)x1t (t1)，則f(t)log-(t-1)4，所以值域為(,log4；3小題：已知變形為1,

31、設(shè)b，則b1,b1(n1)(-1)n，所以a；4小題：設(shè)xyk，則x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小題：設(shè)3y，則3y2y10,解得y，所以x1；6小題：設(shè)log(21)y，則y(y1)<2，解得2<y<1，所以x(log,log3)。3、待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等。待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是

32、把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析： 利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程；

33、 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程； 利用定義本身的屬性列方程； 利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。3.1、示范性典例：例1. 已知函數(shù)y的最大值為7，最小值為1，求此函數(shù)式。【分析】求函數(shù)的表達式，實際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實際是就是已知函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”?！窘狻?函數(shù)式變形為： (ym)

34、x4x(yn)0， xR, 由已知得ym0 (4)4(ym)(yn)0 即： y(mn)y(mn12)0 不等式的解集為(-1,7)，則1、7是方程y(mn)y(mn12)0的兩根，代入兩根得： 解得：或 y或者y此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y1)(y7)0,即y6y70，然后與不等式比較系數(shù)而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)。【注】 在所求函數(shù)式中有兩個系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問題，得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含參數(shù)的不等式

35、而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關(guān)于x的一元二次方程，可知其有解，利用0,建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成一個一元二次方程。例2. 設(shè)橢圓中心在(2,-1)，它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的端點距離是，求橢圓的方程。 y B x A F O F A B【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了。設(shè)a、b、c后，由已知垂直關(guān)系而聯(lián)想到勾股定理建立一個方程，再將焦點與長軸較近端

36、點的距離轉(zhuǎn)化為ac的值后列出第二個方程?！窘狻?設(shè)橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF|a 解得： 所求橢圓方程是：1也可有垂直關(guān)系推證出等腰RtBBF后，由其性質(zhì)推證出等腰RtBOF，再進行如下列式： ，更容易求出a、b的值?！咀ⅰ?圓錐曲線中，參數(shù)（a、b、c、e、p）的確定，是待定系數(shù)法的生動體現(xiàn)；如何確定，要抓住已知條件，將其轉(zhuǎn)換成表達式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特征，列出關(guān)于ac的等式。一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設(shè)方程（或幾何數(shù)據(jù)）幾何條件轉(zhuǎn)換成方程求解已知系數(shù)代入。例3. 是否存在常數(shù)a、b、c

37、，使得等式1·22·3n(n1)(anbnc)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。 （89年全國高考題）【分析】是否存在，不妨假設(shè)存在。由已知等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n1、2、3列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對所有自然數(shù)n都成立?！窘狻考僭O(shè)存在a、b、c使得等式成立，令：n1，得4(abc)；n2，得22(4a2bc)；n3，得709a3bc。整理得：,解得，于是對n1、2、3，等式1·22·3n(n1)(3n11n10)成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意自然數(shù)n，該等式都成立：假設(shè)對nk時等式成

38、立，即1·22·3k(k1)(3k11k10)；當(dāng)nk1時，1·22·3k(k1)(k1)(k2)(3k11k10) (k1)(k2)(k2)（3k5）(k1)(k2)（3k5k12k24）3(k1)11(k1)10，也就是說，等式對nk1也成立。綜上所述，當(dāng)a8、b11、c10時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立?！咀ⅰ拷㈥P(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數(shù)時，可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進行。本題如果記得兩個特殊數(shù)列12n、12n求和的公式，也可以抓住通項的

39、拆開，運用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n1)n2nn得S1·22·3n(n1)(12n)2(12n)(12n)2×(3n11n10)，綜上所述，當(dāng)a8、b11、c10時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立。例4. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？【分析】實際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù)，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究。【解】 依題意，矩形盒子底邊邊長為(302x)cm，底邊寬為(14

40、2x)cm，高為xcm。 盒子容積 V(302x)(142x)x4(15x)(7x)x ， 顯然:15x>0，7x>0，x>0。設(shè)V(15aax)(7bbx)x (a>0,b>0） 要使用均值不等式，則解得：a， b ， x3 。 從而V()(x)x()×27576。所以當(dāng)x3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm?！咀ⅰ烤挡坏仁綉?yīng)用時要注意等號成立的條件，當(dāng)條件不滿足時要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。本題解答中也可以令V(15aax)(7x)bx 或 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項該進行湊配的

41、系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”和“函數(shù)思想”。3.2、再現(xiàn)性典例：1. 設(shè)f(x)m，f(x)的反函數(shù)f(x)nx5，那么m、n的值依次為_。A. , 2 B. ， 2 C. , 2 D. ，22. 二次不等式axbx2>0的解集是(,)，則ab的值是_。A. 10 B. 10 C. 14 D. 143. 在(1x)（1x）的展開式中，x的系數(shù)是_。A. 297 B.252 C. 297 D. 2074. 函數(shù)yabcos3x (b<0)的最大值為，最小值為，則y4asin3bx的最小正周期是_。5. 與直線L：2x3y50平行且過點A(1,-4)的直線L的方程是_。6. 與雙曲線x

42、1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是_。【簡解】1小題：由f(x)m求出f(x)2x2m，比較系數(shù)易求，選C；2小題：由不等式解集(,)，可知、是方程axbx20的兩根，代入兩根，列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，易求得ab，選D；3小題：分析x的系數(shù)由C與(1)C兩項組成，相加后得x的系數(shù)，選D；4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；5小題：設(shè)直線L方程2x3yc0，點A(1,-4)代入求得C10，即得2x3y100；6小題：設(shè)雙曲線方程x，點(2,2)代入求得3，即得方程1。4、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性

43、質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念。定義是千百次實踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點。簡單地說，定義是基本概念對數(shù)學(xué)實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。4.1、示范性典例：例1. 已知z1， 設(shè)wz34，求w的三角形式； 如果1，求實數(shù)a、b的值。（94年全國理）【分析】代入z進行運算化簡后，運用復(fù)數(shù)三角形式和復(fù)數(shù)相等的定義解答?！窘狻坑蓏1，有wz34(1)3423(1)41，w的三角形式是（cossin）；由z1，有(a2)(ab)。由題設(shè)條件知：(a

44、2)(ab)1；根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得：，解得?！咀ⅰ壳髲?fù)數(shù)的三角形式，一般直接利用復(fù)數(shù)的三角形式定義求解。利用復(fù)數(shù)相等的定義，由實部、虛部分別相等而建立方程組，這是復(fù)數(shù)中經(jīng)常遇到的。例2. 已知f(x)xcx，f(2)14，f(4)252，求ylogf(x)的定義域，判定在(,1)上的單調(diào)性?！痉治觥恳袛嗪瘮?shù)的單調(diào)性，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷。 A A D C C O H B B 【解】 解得： f(x)xx 解f(x)>0得：0<x<1設(shè)<x<x<1， 則f(x)f(x)x+x-（-x+x）=(x-x)1-(x

45、+x)( x+x), x+x>， x+x> (x+x)( x+x)×1 f(x)f(x)>0即f(x)在(,1)上是減函數(shù) <1 ylogf(x) 在(,1)上是增函數(shù)。【注】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷，一般都是直接應(yīng)用定義解題。本題還在求n、c的過程中，運用了待定系數(shù)法和換元法。例3. 如圖，已知ABCABC是正三棱柱，D是AC中點。 證明：AB平面DBC； 假設(shè)ABBC，求二面角DBCC的度數(shù)?！痉治觥?由線面平行的定義來證問，即通過證AB平行平面DBC內(nèi)的一條直線而得；由二面角的平面角的定義作出平面角，通過解三角形而求問。【解】 連接B

46、C交BC于O, 連接OD ABCABC是正三棱柱 四邊形BBCC是矩形 O是BC中點ABC中， D是AC中點 ABOD AB平面DBC 作DHBC于H，連接OH DH平面BCC ABOD, ABBC BCOD BCOH 即DOH為所求二面角的平面角。設(shè)AC1，作OEBC于E，則DHsin60°，BH，EH ； RtBOH中，OHBH×EH， y M F A x OHDH DOH45°，即二面角DBCC的度數(shù)為45°。【注】對于二面角DBCC的平面角，容易誤認(rèn)為DOC即所求。利用二面角的平面角定義，兩邊垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂線DH，

47、再證得垂直于棱的垂線DO，最后連接兩個垂足OH，則DOH即為所求，其依據(jù)是三垂線定理。本題還要求解三角形十分熟練，在RtBOH中運用射影定理求OH的長是計算的關(guān)鍵。此題文科考生的第二問為：假設(shè)ABBC，BC2，求AB在側(cè)面BBCC的 射影長。解答中抓住斜線在平面上的射影的定義，先作平面的垂線，連接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AEBC于E，連接BE即所求，易得到OEBB，所以，EFBE。在RtBBE中，易得到BFBE,由射影定理得：BE×EFBE即BE1，所以BE。例4. 求過定點M(1,2)，以x軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的下頂點的軌跡方程?！痉治觥窟\動的橢圓過定點M，準(zhǔn)線固定

48、為x軸，所以M到準(zhǔn)線距離為2。抓住圓錐曲線的統(tǒng)一性定義，可以得到建立一個方程，再由離心率的定義建立一個方程。【解】設(shè)A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，則橢圓上定點M到準(zhǔn)線距離為2，下頂點A到準(zhǔn)線距離為y。根據(jù)橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義，得到： ，消m得：（x1）1，所以橢圓下頂點的軌跡方程為（x1）1。【注】求曲線的軌跡方程，按照求曲線軌跡方程的步驟，設(shè)曲線上動點所滿足的條件，根據(jù)條件列出動點所滿足的關(guān)系式，進行化簡即可得到。本題還引入了一個參數(shù)m,列出的是所滿足的方程組，消去參數(shù)m就得到了動點坐標(biāo)所滿足的方程，即所求曲線的軌跡方程。在建立方程組時，巧妙地運用了橢圓的統(tǒng)一性定義和

49、離心率的定義。一般地，圓錐曲線的點、焦點、準(zhǔn)線、離心率等問題，常用定義法解決；求圓錐曲線的方程，也總是利用圓錐曲線的定義求解，但要注意橢圓、雙曲線、拋物線的兩個定義的恰當(dāng)選用。4.2、再現(xiàn)性典例：1. 已知集合A中有2個元素，集合B中有7個元素，AB的元素個數(shù)為n，則_。A. 2n9 B. 7n9 C. 5n9 D. 5n72. 設(shè)MP、OM、AT分別是46°角的正弦線、余弦線和正切線，則_。A. MP<OM<AT B. OM<MP<AT C. AT<<OM<MP D. OM<AT<MP3. 復(fù)數(shù)za2，z2，如果|z|< |z|，則實數(shù)a的取值范圍是_。A. 1<a<1 B. a>1 C. a>0 D. a<1或a>14. 橢圓1上有一點P，它到左準(zhǔn)線的距離為，那么P點到右焦點的距離為_。A. 8 C. 7.5 C. D. 35. 奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T，則f()的值為_。A.