已知三角函數(shù)值求角

1、1.3.3 1.3.3 已知三角函數(shù)值求角已知三角函數(shù)值求角 22sin 45;sin,?22當(dāng)時(shí)xx問(wèn)題問(wèn)題這就是本節(jié)課我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容這就是本節(jié)課我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容已知三角函數(shù)值求角已知三角函數(shù)值求角1.1.簡(jiǎn)單理解并掌握反正弦、反余弦、反正切的意義簡(jiǎn)單理解并掌握反正弦、反余弦、反正切的意義. .（難點(diǎn)）（難點(diǎn)）2.2.會(huì)由已知的三角函數(shù)值求角會(huì)由已知的三角函數(shù)值求角. .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）2sin,2xxRx？已已知知，且且如如何何求求 的的取取值值集集合合pQ22222y 探究點(diǎn)探究點(diǎn)1:1:已知正弦值，求角已知正弦值，求角Ox xy y為使符合條件為使符合條件sinx=y (-1y

2、1sinx=y (-1y 1）的角）的角x x 有且有且只有一個(gè)，通常選擇：只有一個(gè)，通常選擇：,22x y222-2xOarcsiny的意義：的意義：首先首先 表示一個(gè)角，角的正弦值為表示一個(gè)角，角的正弦值為y ，即即角的范圍是角的范圍是arcsinyarcsiny, .2 2 ( 1y1) sin(arcsiny)y由此我們得到：由此我們得到：-,2 2arcsin y,arcsiny(-1ysin1),y,-,ysiny.2 2反反正正弦弦在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上，符符合合條條件件的的角角叫叫做做實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 的的，記記作作即即其其中中且且xxxxx （1 1）定義域是）定義域是-1-1，11，

3、值域是，值域是 ,.22（2 2）sin=b, sin=b, arcsinb=,b -1 arcsinb=,b -1，112,2提升總結(jié)：提升總結(jié)：反正弦函數(shù)的性質(zhì)：反正弦函數(shù)的性質(zhì)：.bb為為為負(fù)為負(fù)正正，正正角角；，角角探究點(diǎn)探究點(diǎn)2:2:已知余弦值和正切值，求角已知余弦值和正切值，求角1 1思思考考: :已已知知cosx =,cosx =,且且x x 0,0, , ,如如何何求求x x的的值值？2 2請(qǐng)同學(xué)們往下看！請(qǐng)同學(xué)們往下看！為使符合條件為使符合條件cosx=y (-1y1cosx=y (-1y1）的角）的角x x 有且只有有且只有一個(gè)，通常選擇：一個(gè)，通常選擇：0,x2-20yx

4、cosyx2322arccosy的意義：的意義：首先首先 表示一個(gè)表示一個(gè)角角，角的余弦值為，角的余弦值為y y 即即角的范圍是角的范圍是 arccosyarccosy0, ( 1y1), cos(arccosy)y ，cosy(-1y1),y00,arccos,ycosy,arccosy,.xxxxx反反余余弦弦在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上，符符合合條條件件的的角角 叫叫做做實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 的的記記作作即即其其，中中且且22提升總結(jié)：提升總結(jié)：反余弦函數(shù)的性質(zhì)反余弦函數(shù)的性質(zhì)1 1所所以以對(duì)對(duì)于于思思考考的的問(wèn)問(wèn)題題，可可得得，x = arccos=.x = arccos=.23232 2例例：arcco

5、s=,arccos=,24241212 arccos(- )=. arccos(- )=.2323cos-1,10,.(1),(2)carc,os,-1,1 .0,bbb定定域域是是值值域域義義.bb為為銳為負(fù)為鈍正正，角角；，角角(-,)tan(),(-,),2 2,2 2arctan ,(,tan-,).2 2,xy yRxyxxyxyxx地一一般般，如如果果且且那那么么對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)正正切切值值 ，在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi) 有有且且只只有有一一個(gè)個(gè)角角使使，符符合合上上述述條條件件的的角角記記為為：3arctan,arctan3,arctan( 1).3634 例例如如：類比反正弦、反

6、余弦我們可以得到：類比反正弦、反余弦我們可以得到：（1 1）定義域是）定義域是_，值域是，值域是_ _ _. .（2 2）tantan=b,=b, arctanb=arctanb=, ,bRR提升總結(jié)：反正切函數(shù)的性質(zhì)：提升總結(jié)：反正切函數(shù)的性質(zhì)：（ ，）（ ，）R R.bb為為為負(fù)為負(fù)正正，正正角角；，角角例例1.1.（1 1）已知已知 ，且，且 ，求，求x； 2sin2x ,2 2x （2 2）已知已知 ，且，且 ，求，求x的取的取值集合；值集合； 2sin2x 0,2 x2 2（3 3）已已知知sinx =,sinx =,且且x xR,R,求求x x的的取取值值集集合合. .2 2【例題

7、精講例題精講】2sin2232sin,sin.4242xxx知知 的的正正弦弦值值是是正正值值，所所以以 是是第第一一象象限限或或第第二二象象限限的的角角如如解解由由：，由個(gè)，圖1-,;2 243(2)0,2443,.4 4xxx x x；可可知知：（）在在上上，在在上上，或或所所求求角角 的的取取值值集集合合343.43 |2() |2().44Rxx xkkZx xkkZ（）在在 上上符符合合條條件件的的角角是是所所有有與與終終邊邊相相同同的的角角和和所所有有與與終終邊邊相相同同的的角角因因此此 的的取取值值集集合合為為，已知角已知角x x的一個(gè)三角函數(shù)值求角，解法分以下幾步：的一個(gè)三角函

8、數(shù)值求角，解法分以下幾步：1.1.確定角確定角x x 可能是第幾象限角可能是第幾象限角. .2.2.如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對(duì)應(yīng)的銳角如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對(duì)應(yīng)的銳角x x1 1 ；如果；如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角x x1 1. .3.3.根據(jù)角根據(jù)角x x可能是第幾象限角，得出可能是第幾象限角，得出 內(nèi)對(duì)應(yīng)的內(nèi)對(duì)應(yīng)的角角第二象限角第二象限角: :-x-x1 1；第三象限角；第三象限角: :+x+x1 1；第四象限角第四象限角: :2-x2-x1.1.提升總結(jié)：提升總結(jié)：0,222.cos-,0,2,.2xxx)例例 已已知知

9、且且求求 的的取取值值集集合合32().cos-cos-,4423.42cos()-cos-,4420,2 )5.4435,.44xxxx為為數(shù)數(shù)負(fù)負(fù)如如圖圖條條區(qū)區(qū)間間 內(nèi)內(nèi)符符合合條條為為可知解解：因因余余弦弦函函值值是是值值，所所以以 是是第第二二或或第第三三象象限限的的角角所所示示 由由可可知知，所所求求符符合合件件的的第第二二象象限限的的角角又又由由在在件件的的第第三三象象限限的的角角因因此此，所所求求角角 的的取取值值集集合合若若 ，則，則x的值為（的值為（ ） 2cosx,x0, 3 2A.arccos32B.arccos32arccos3C.2D.arccos3B B變式練習(xí)變

10、式練習(xí)33.tan-,(-,),.32 2xxx 例例 已已知知且且求求 的的值值tan x(-,)223363tan(-)- tan-,663x-.6解解因因在在上上是是增增函函，所所以以正正切切值值等等于于的的角角由由可可知知所所求求的的角角：為數(shù)為，1.1. 表示什么意思？表示什么意思？1arcsin2表示表示 上正弦值等于上正弦值等于 的那個(gè)角，的那個(gè)角，2,2 216 21arcsin1arcsin.26即角即角 ，故，故2.2.若若3sin,22 2xx ,則則x=_.3解：解：4.4.若若 ，集合，集合 且且 ，則，則x的值為的值為 . (,)2 2x 1 , ,0,sin 5ABx， AB51arcsin3.3.若若sin0.7,2 2xx ，則，則x= .arcsin0.75.5.已知已知 ， ，則，則x= .1cos2x 0,2 x533或6.tan- 30,2_.xxx，（），已已知知?jiǎng)t則2533或1.1.給值求角的步驟，當(dāng)三角函數(shù)值不是給值求角的步驟，當(dāng)三角函數(shù)值不是 1 1和和0 0時(shí)時(shí)可概括為：可概括為： 定象限，找銳角，寫形式；定象限，找銳角，寫形式；如果要求出如果要求出00，2 2 范圍