圓的一般方程

1、圓的一般方程教學(xué)設(shè)計(jì)（1課時(shí)）一、教材分析教材是在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上得出了圓的一般方程，然后分析方程特點(diǎn)，即討論系數(shù)在通過配方觀察方程何時(shí)表示圓、何時(shí)不是圓，判斷的標(biāo)準(zhǔn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這樣做緊扣圓的幾何特征，最后得出二元二次方程表示圓的充要條件，使學(xué)生加深對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)與記憶，認(rèn)識(shí)到標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的聯(lián)系與區(qū)別。并對(duì)數(shù)學(xué)中分類思想，對(duì)比記憶等思想有更深的了解和掌握。教材配備了兩個(gè)例題，例3利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求同心圓方程：例4則是利用待定系數(shù)法通過一般方程解過三點(diǎn)的圓的方程，這是數(shù)學(xué)中常用的一種方法。二、學(xué)情分析學(xué)生是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上能夠推導(dǎo)出圓的一般方程，并能初步利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特

2、點(diǎn)研究圓的一般方程，學(xué)生在利用圓的一般方程解決問題時(shí)，常忽略表示圓的條件，靈活使用圓的方程的兩種形式解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。三、本節(jié)滲透的數(shù)學(xué)思想及教學(xué)方法分析根據(jù)以上教材分析，貫徹以啟發(fā)性教學(xué)原則，教師引導(dǎo)，學(xué)生學(xué)習(xí)為主體的教學(xué)思想，分析與討論結(jié)合。1、經(jīng)歷用待定系數(shù)法求圓的方程的過程，它是數(shù)學(xué)中常用的一種方法，在學(xué)習(xí)過程中體會(huì)用代數(shù)方法解決幾何問題的思想。2、圓的一般方程含有三個(gè)參變量，需要三個(gè)條件（坐標(biāo)）才能確定圓，樹立利用方程的思想求解參數(shù)變量。3、引導(dǎo)學(xué)生分析兩個(gè)方程之間的互化關(guān)系，選擇兩個(gè)方程解決問題的條件和優(yōu)缺點(diǎn)。4.教學(xué)中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合及方程的數(shù)學(xué)思想方法。四.教學(xué)目標(biāo)

3、知識(shí)與技能：1).掌握?qǐng)A的一般方程及一般方程的特點(diǎn)2).能將圓的一般方程化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求出圓心和半徑3).能用待定系數(shù)法由已知條件求出圓的方程過程與方法：1).通過問題的分析與解決使學(xué)生認(rèn)識(shí)研究問題中由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的化歸思想。2).通過分析，充分了解分類思想在數(shù)學(xué)中的重要地位，強(qiáng)化學(xué)生的觀察，思考能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于思考、合作交流的意識(shí)，在體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的過程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生勤于動(dòng)腦和動(dòng)手的良好思維品質(zhì)。五.教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.圓的一般方程的形式特征。 2.待定系數(shù)法求圓的方程。教學(xué)難點(diǎn)：1. 方程及對(duì)分類討論。2.根據(jù)具體條件

4、，選擇圓的方程解決有關(guān)問題及待定系數(shù)法求圓的方程。難點(diǎn)突破：通過對(duì)的分類討論，使問題化難為易，難點(diǎn)個(gè)個(gè)攻破，使課堂教學(xué)顯得輕松易學(xué)。六學(xué)法分析在教學(xué)活動(dòng)中，教師提出疑問，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，主動(dòng)探究，討論交流，在積極的學(xué)習(xí)中解決問題，獲得知識(shí)。貫穿“疑問”“思索”“發(fā)現(xiàn)”“解惑”四個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。七教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考，引入新知 問題1：A.B兩鎮(zhèn)相距10km，為了響應(yīng)黨的號(hào)召,豐富人民的文化生活,現(xiàn)在兩鎮(zhèn)之間修建一個(gè)文化廣場(chǎng),為方便大部分群眾,現(xiàn)要求廣場(chǎng)到兩鎮(zhèn)之間距離的平方和為60,那么廣場(chǎng)應(yīng)修建在何處? 分析：僅僅依據(jù)問題中的幾個(gè)數(shù)據(jù)無法表示距離，若將這個(gè)問題放在直角坐標(biāo)系中來考

5、慮，就能很快表示出距離，以AB兩鎮(zhèn)所在的直線為軸，以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為廣場(chǎng)所在的位置，則有，化簡得。你能說明這是一個(gè)什么方程嗎？廣場(chǎng)應(yīng)建在什么位置？ 設(shè)計(jì)意圖：以生活中的實(shí)例提出問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并借此復(fù)習(xí)學(xué)生已經(jīng)掌握的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并為圓方程改寫成二元二次方程的形式引出圓的一般方程做鋪墊。問題2：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的展開式是什么？： 由于a,b,r均為常數(shù)，故設(shè) D=-2a， E =-2b , F = a2+b2-r2 此方程可寫成下面的形式： 故任何一個(gè)圓的方程都可以用上式表示。思考：形如的方程表示的曲線一定是圓嗎？設(shè)計(jì)意圖：在問題1的基礎(chǔ)上由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開問

6、題引發(fā)概念，給學(xué)生思考、探索的空間，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，提高分析和解決問題的能力。（二）深入思考，得出結(jié)論如果形如的方程表示的曲線是圓，那么由方程可求出圓心和半徑。下面我們配方整理可得： 比較圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x-a)2+(y-b)2=r2與的形式上式表不表示圓，關(guān)鍵跟的正負(fù)有關(guān)。1）當(dāng)時(shí)，表示以為圓心，以為半徑的圓。2）當(dāng)=0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解 ， 即表示一個(gè)點(diǎn)。3）當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而不表示任何圖形。綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓，只有當(dāng)時(shí)，它表示的曲線才是圓，此時(shí)叫圓的一般方程。表示以為圓心，為半徑的圓。設(shè)計(jì)意圖：通過本過程，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了對(duì)圓的方程更深的理解，實(shí)現(xiàn)了對(duì)圓

7、的一般方程的理解。引導(dǎo)學(xué)生理解圓的一般方程的意義，真正知道什么情況下表示圓，并理解為什么。（三）兩相對(duì)比，加深理解標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2明確指出了圓心和半徑。一般方程：突出了形式上的特點(diǎn)1和的系數(shù)相同，且不等于0。2沒有xy這樣的二次項(xiàng)。3. 設(shè)計(jì)意圖：通過比較，不僅復(fù)習(xí)了以前的知識(shí)，增強(qiáng)了記憶。對(duì)今天的新課也有了更深層次的理解。（四）知識(shí)運(yùn)用，鞏固概念例1判別下列方程表示什么圖形,如果是圓,找出圓心和半徑。（1）x2+y2-2x+4y+1=0（2）x2+y2+2by=0 （b0）例2求過點(diǎn)，且圓心與已知圓相同的圓的方程。 方法一：利用配方法將其變成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心后

8、再求半徑。方法二：利用圓的一般方程方程形式求解，由于所求圓與已知圓是同心圓，故可設(shè)所求圓的方程為：，然后將M點(diǎn)代入，利用待定系數(shù)法求F。設(shè)計(jì)意圖：本題較簡單，學(xué)生獨(dú)立求解，然后教師點(diǎn)評(píng)。設(shè)計(jì)目的是讓學(xué)生應(yīng)用新知，鞏固知識(shí)，強(qiáng)調(diào)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程方程的相互轉(zhuǎn)化及二元二次方程表示圓的條件。同時(shí)也增強(qiáng)學(xué)生自信，提高興趣。例3求過三點(diǎn)O (0,0),M1(1,1), M2(4,2), 的圓的方程，并指出圓心和半徑。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過自主解答，發(fā)現(xiàn)困難，教師適時(shí)引導(dǎo)，總結(jié)出用待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟。通過本小題進(jìn)一步理解待定系數(shù)法這一思想。注：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：（1）根據(jù)題意設(shè)所

9、求圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式或一般式；（圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在運(yùn)用上的比較，(1)若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡單. (2)若已知三點(diǎn)求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)法求解）（2）根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程；（3）解方程組，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所設(shè)方程，就得要求的方程。（五）反饋練習(xí)，強(qiáng)化概念 教材80頁，練習(xí)1、（2）（4）2.（六）課堂小節(jié)，形成體系從知識(shí)與方法兩個(gè)方面進(jìn)行歸納。（學(xué)生先歸納總結(jié)，教師補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)）1本節(jié)課的主要內(nèi)容是圓的一般方程,其表達(dá)式為，其特點(diǎn)是：（1）和的系數(shù)相同，且不等于0。（2）沒有xy這樣的二次項(xiàng)（

10、3）表示以為圓心，為半徑的圓。2圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在運(yùn)用上的比較 （1）若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡單.（2）若已知三點(diǎn)求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)法求解.3.本節(jié)課用的數(shù)學(xué)思想方法：（1）通過特殊認(rèn)識(shí)一般的思想方法。（2）配方法(求圓心和半徑).待定系數(shù)法(求圓的一般方程)（3）問題轉(zhuǎn)化和分類討論的思想(原則是不重復(fù),不遺漏)六作業(yè)布置： 教材85頁A組1、2七板書設(shè)計(jì)：八、課后練習(xí)、鞏固新知一基礎(chǔ)題1圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為2若方程表示的圖形是圓，則的取值范圍是3若圓的圓心在直線上，則、的關(guān)系有 4已知圓的圓心是，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則 5過點(diǎn)且與已知圓：的圓心相同的圓的方程是 。6若圓上的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則 7過三，的圓的方程是 二提高題8求過三點(diǎn)，的圓的方程9求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程三能力題10已知點(diǎn)與兩個(gè)頂點(diǎn)，的距離之比為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？畫出滿足條件的點(diǎn)所形成的曲線九、教學(xué)后記本節(jié)課采用“問題探討教學(xué)”和“自主探究式教學(xué)”相結(jié)合，志在體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，教學(xué)中突出數(shù)學(xué)思想方法的滲透，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用了“通過特殊認(rèn)識(shí)一般”的思想方法探究新知，利用“待定系數(shù)法”與“配方法”進(jìn)行圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化，