2017新課標全國卷1理科數學試題及答案

1、2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數學本試卷5頁，23小題，滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項：1 .答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題 卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼 橫貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。2 .作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選 項的答案信息點涂黑；如需要改動,用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。 答案不能答在試卷上。3 .非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各 題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫 上新答案；不準使

2、用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4 .考生必須保證答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的。1 .已知集合 A=xx<l , B=x 3、< 1,則A . Al B = x|x<0B . AU6 = RC. AUB = xx>lD . A B = 02 .如圖，正方形ABC。內的圖形來自中國占代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白 色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的 概率是3 .設有下面四個命題Pi :若復數z

3、滿足G R，則z £ R ；ZP2 ：若復數Z滿足gR，則z £ R ；Pi :若復數Z1，a滿足e R，則& = Z2 ；Pa :若復數Z £ R I則Z £ R.其中的真命題為A. p“3B.p“4C 小,P3D . P2，P'4 .記S”為等差數列%的前項和.若氏+ %=24 , §6 = 48 ,則,的公差為A . 1B . 2C . 4D . 85 .函數/(K)在(yo,xo)單調遞減，且為奇函數. §/(1) = -1,則滿足-l</(x-2)<109x的取值范圍是C . 0,4A . -2,

4、2D . 1,36 ."白展開式中/的系數為A . 15B . 20C . 30D . 357 .某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組 成，正方形的邊長為2 ,俯視圖為等腰直角三角形,該多面體的各個面中有若干個是 梯形，這些梯形的面積之和為韭A . 10B . 12C . 14D . 168 .右面程序框圖是為了求出滿足3-21000的最小偶數n,另眩在 O和 口 兩個 空白框中，可以分別填入/輸入片0 /|，=3"一2" |/輸出 /A . A>1 000和 /7=/H-lB . A>1 000 和 g 計2C .

5、 A<1 000和 n=n+lD . A<1 000 和 n=/«-29 .已知曲線G :片cos x, C2 :片sin (2x+g),則下面結論正確的是A .把G上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平 移!個單位長度，得到曲線G6B .把G上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再導到的曲線向左平 移個單位長度，得到曲線GC.把G上各點的橫坐標縮短到原來的;倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平 移：個單位長度，得到曲線G6D .把G上各點的橫坐標縮短到原來的;倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向左平 移3個單位長度，得到曲線G1210 .已知

6、尸為拋物線C : V=4x的焦點，過戶作兩條互相垂直的直線4 ,6，直線4與 右交于4 8兩點，直線分與c交于。、e兩點，則ms+|鑿的最小值為A . 16B . 14C . 12D . 1011 .設x/z為正數,且2, = 3、= 51則B. Sz<2x<3yC . 3y<5z<2xA . 2x<3y<Sz12 .幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數學的興 趣，他們推出了''解數學題獲取軟件激活碼的活動.這款軟件的激活碼為下面數學 問題的答案：已知數列 1 , 1 , 2 , 1 , 2,4 , 1 , 2,

7、4,8 , 1 , 2,4,8 , 16 , 其中第一項是2° ,接下來的兩項是2。，2、再接下來的三項是2。，21，22 ,依此 類推,求滿足如下條件的最小整數/V： A>100且該數列的前/V項和為2的整數幕,那 么該款軟件的激活碼是A . 440B . 330C . 220D . 110二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13 .已知向量a. 6的夾角為60° , |a|=2 , |創(chuàng)=1,則| a +2 6 |= .fx+2y <114 .設x, y滿足約束條件亞一1 ,貝！lz = 3工一2），的最小值為.x-y <015 .已知雙曲

8、線C: 4- = 1 （>0, b>0）的右頂點為A,以4為圓心，6為半徑 a- b-做圓力，圓力與雙曲線C的 條漸近線交丁 M、"兩點。若g60。，則C的 離心率為 O16 .如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為5 cm ,該紙片上的等邊三角形力比的中心為 O0 D、E、尸為圓。上的點DBCECA ,二力8分別是以BC, CA ,為底邊 的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC, CA ,為折痕折起二08G QECA , *8,使得2 E、尸重合，得到三棱錐。當M紀的邊長變化時，所得三棱錐體積 （單位：cm3）的最大值為 o三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或

9、演算步驟。第1721題為 必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。(-)必考題：共60分。17 . (12 分)力比的內角力, 8, C的對邊分別為a, b, c,已知力比的面積為/二3siii A(1)求 sin國n。(2 )若 6cos£tosC=l , a=3 ,求力8c的周長.18 . ( 12 分)如圖，在四棱錐 P-ABCD中,AB/CD,且 ABAP = ZCDP = 90°.(1 )證明：平面以2L平面PAD;(2 )若 PA=PD=AB=DC, ZAPD = 90° ,求二面角 4% C的余弦值.19 . (12

10、 分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm ).根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布NU1,爐).(1 )假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在 (-3l +3b)之外的零件數，求尸(X之1)及X的數學期望；(2 )一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在3-3b. +3b)之外的零件，就認 為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢 查.(i)試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性；(打)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9.9510

11、.129.969,9610.019.929,9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9516 經計算得丫=溟??？, =9.97 , i=i寸，i = L2,16 .-16鏟尸-0.212 ,其中為為抽取的第i個零件的尺用樣本平均數工作為4的估計值。，用樣本標準差$作為。的估計值，利用估 計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除(-3aA+ 36)之外的數據，用剩 下的數據估計和。(精確到0.01).附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布NJ,/),則P(/-3cr<Z </4-3ct) = 0.997 4 ,0.997 416 = 0.959

12、2 , V0008 = 0.09 .20 .(12 分)已知橢圓 c： ± + 2=1 ( a>b>0 )，四點自(1,1)，忌(0,1 )，月(-1 , cr lr乎)，自(1,4)中恰有三點在橢圓C±.(I)求C的方程；(2 )設直線/不經過月點且與C相交于4 , 8兩點,若直線e/與直線乃8的斜率的和為-1 ,證明：/過定點.21 .(12 分)已知函數 f(x) = *2*+(d - 2) ez - x(1)討論/3)的單調性；(2 )若fx)有兩個零點，求a的取值范圍.(-)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所 做的

13、第一題計分。22 .選修4-4 :坐標系與參數方程(10分)在直角坐標系X。中，曲線C的參數方程為( 6為參數)，直線/的參數方程為%為參數y = 1 一,(1)若=-1,求C與/的交點坐標;(2)若Ut的點到/的距離的最大值為拒，求 23 .選修4-5 :不等式選講(10分)已知函數 f( x)=-+ax+4 ,虱x)= I x+11 + I >f-l I .(1)當a=l時，求不等式f( x) >g(x)的解集；(2 )若不等式f(x) >g(x)的解集包含-1 , 1,求/的取值范圍.2017年新課標1理數答案l.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.

14、D 9.D 10.A 11.D 12, A13. 2. 14, -515.手 16. 4岳17.解：(1)由題設得54*11】8 = 丁，即J_csin6 =一23sm A23 sin A1 cifi A由正弦定理得- sm CsmB =.2 3 sm A2 故 sui B sin C =.3(2)由題設及(1)得cos8cosC sln8slnC = g,即cos(B + C) = -g.所以8+C = ，故4 =巳. 33由題設得白兒sin A = a ,即be = 8.23 sin A由余弦定理得/Z+F加=9 ,即( + c/-3c = 9，得b + c = 后.故ABC的周長為3 +

15、JH.18 .解:(1 )由已知 4A尸二 NC£)P = 90。，得CDPD.由于 AB CD,故 ABA. PD,從而 平面 PAD.又AB u平面以氏所以平面以民L平面PAD.(2)在平面0AO內做PF_L AO ,垂足為尸，由(1 )可知，48_L平面“4。，故A8_L，可得PF_L平面A8CZX以F為坐標原點，F(xiàn)A的方向為工軸正方向"篇|為單位長，建立如圖所示的空間直 角坐標系尸-冷之,1,0) ,由(1 )及已知可得&¥，o,o), P(0,0,所以院=(一乎,1,一¥), cS = (V2,0,0),陰=(¥，0,_乎)，

16、篇=(0,0).設 =(M y, Z)是平面PCB的法向量，則UL11InPC=Q g ulu ,即nCB = 0-2yX+y-z = 0>/2.v = 0可取設旭=(X, y z)是平面F48的法向量，則r LUUm - PA = 0 IUB ，即m . AB = 0f-v-fz=0y = Q則 cos<njn> = "lWI所以二面角A-PB-C的余弦值為-孝.19 .【解】(1 )抽取的一個零件的尺寸在(4-3b,“ + 3b)之內的概率為0.9974 ,從而 零件的尺寸在(-3b, +3b)之外的概率為0.0026 ,故X-5(16.0.0026) ,因此P

17、(X>l) = l-P(X = 0) = l-0.9974 = 0.0408 .X 的數學期望為 EX = 16 x 0.0026 = 0.0416.(2) (i)如果生產狀態(tài)正常，一個零件尺寸在3-35+ 3。)之外的概率只有 0.0026 ,一天內抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在3b. + 3b)之外的零件的概率 只有0.0408 ,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產線在這 一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監(jiān)控 生產過程的方法是合理的.(ii)由了 = 9.97,0.212，得以的估計值為 = 9.97 ,。的估計值為6 =

18、 0.212 ,由樣本可以看出有一個零件的尺寸在(。-3+ 31)之外，因此需對當天的生產剔除(/7-35A + 36)之外的數據9.22 ,剩下數據的平均數為 二(16x9.97-9.22) = 10.02 ,因此以的估計值為1002.16Sv 1=1= 16 x 0.2122+16 x 9.9721591.134 ,別除3-3仇+3句之外的9.22剩下數據的樣本方差為-4(1591.134-9.22、15x 10.02)* 0.008 ,因此。的估計值為7008 % 0.09.20.(12分)解： (1)由于A , H兩點關于y軸對稱，故由題設知C經過P- P,兩點.又由*於尹東知，壞經過

19、點乩所以點B在二因此./+而=1，解得故C的方程為9）.（2）設直線巳/與直線巳8的斜率分別為ki, kz,如果/與X軸垂直，設/： x=t,由題設知fwO ,且|”<2 ,可得A , 8的坐標分別為（t, 亨）,（士,卓）.則尢+區(qū)=亞手工_"+2=_i，得”2 ,不符合題設從而可設/： y = kx+m （，=1 ） ,將y = b + /代入亍+9=1得（4k2 + l）xz + 85口 + 4nr -4 = 0由題設可知 A-16（4A:2 -m2 +l）>0.設力（M,汽）,8（m,八）,則而+短=_：1r , MM；,： J：.4k- +14K +1而4 +

20、七=-i +1% 電_ M + 7一 + 任 +？ X 天2 仙+ （m-1）（內 + x2）-V2' 由題設占+勺=-1，故（2攵+ 1）占毛+ （?- 1）（.工+工）=0 .Z1>M" - 4即（2-）e +（一卜-Shn正+1解得斤="7 + 12當且僅當?>一1 時，A>0 ,欲使/： y = -，nx+m ,即 y +1 = -"-2),所以/過定點（2, T ）21.解：(1)的定義域為(7,口),fx) = 2ae2x + (a - 2)ex -1 = (aex - l)(2ex +1),(i )若40 ,則/'(

21、x) <0 ,所以/(x)在(-oo,xo)單調遞減.(ii )若>0 ,貝!由/'(x) = 0得x = -lna.當（YO, -1114）時，fx） < 0 ；當工£（一1114,4<0）時，fx） > 0，所以/（X）在 （y：.-In。）單調遞減，在（-Ina,xo）單調遞增.（2） （ i ）若心0，由（1）知，“X）至多有一個零點.（ii ）若>0 ,由（1）知，當x = -lna時，取得最小值，最小值為/（- In n） = 1 - - + hi 7. a當a = l時，由于/（lna） = O ,故x）只有一個零點；當aw（Le）時，由于1一工+ 11。>0，即/（一111。）>0，故"X）沒有零點； a當。£（0,1）時+ liin <0 ,即 f(-na)<0.又 /(一2)=優(yōu)-4 + (a - 2)已7 + 2 > -2e-2 + 2 > 0，故/(工)在(-0,-11)有一個零點.設正整數。滿足。,則 a/(/io) = e"°