貨物配送的最優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型

1、貨物配送的最優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型一、問題的提出。一公司有二廠 ,分處 a,b 兩市 ,另外還有 4 間具有存貯機構(gòu)的庫房 ,分別在 p,q,r 和s市,公司出售產(chǎn)品給6家客戶c1,c2,c3,c6,由各庫房或直接由工廠向客戶 供貨 ,配送貨物的費用由公司負(fù)擔(dān)單價見下表 :受貨者 供貨者a 市廠 b 市廠 p 庫房 q r sp 庫房 0.5 -q 庫房 0.5 0.3r 庫房 1.0 0.5s 庫房 0.2 0.2客戶 c1 1.0 2.0 - 1.0 - -c2 - - 1.5 0.5 1.5 -c3 1.5 - 0.5 0.5 2.0 0.2c4 2.0 - 1.5 1.0 - 1.5c5

2、- - - 0.5 0.5 0.5c6 1.0 - 1.0 - 1.5 1.5注 單位: 元/ 噸:劃“-”表示無供貨關(guān)系 . 某些客戶表示喜歡由某廠或某庫房供貨 ,計有: c1 a 市廠c2p 庫房c5 q 庫房c6 r庫房或s庫房a市廠月供貨量不能超過150千噸,b市廠月供貨量不能超過200千噸.各庫房 的月最大流通量千噸數(shù)為 :庫房 p q r s流通量 70 50 100 40各客戶每月所必須滿足的供貨量為 (單位:千噸)客戶 c1 c2 c3 c4 c5 c6要求貨量 50 10 40 35 60 20公司希望確定以下事項 :1) 如何配貨 , 總費用最低 ?2) 增加工廠和庫房的生

3、產(chǎn)能力對配送費用的影響是什么 ?3) 費用單價,工廠和庫房生產(chǎn)能力以及客戶對供貨量的最低要求等 ,各微小變化 對配貨方案的影響是什么 ?4) 能不能滿足各客戶對供貨者的喜好選擇 ?如果滿足,會引起配送費用提高多少 ?二、摘要。在公司給客戶配送貨物的過程中 ,有兩種情況 ,一種是由工廠直接向客戶提供貨 物,另一種是由庫房向客戶提供貨物 ,再結(jié)合運輸?shù)馁M用問題我們建立了這個貨 物配送的最優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型 .在這個模型中 ,我們考慮到了以下幾點 :1. 為了保證模型的一般性 ,我們不考慮不能配送的問題 , 對所有可能的運輸都設(shè) 了未知量來建立模型 , 然后根據(jù)模型的條件在處理單價時將不可能運貨路線

4、的運 輸價格設(shè)為 ”無窮大 ”在,實際處理中給予比一般數(shù)據(jù)高數(shù)量級的數(shù)據(jù)來進(jìn)行運算2. 我們將模型中的對象分為三層 ,第一層為供貨者 ,第三層為受貨者 , 第二層既可 以為供貨者也可以為受貨者 ,為了使模型更直觀 , 我們在第二層里引入 a,b 兩個工 廠加入庫房的行列 ,然后將 a,b 向 a,b 運貨設(shè)為不可能運貨路線 .3. 在模型解答中 ,因為計算量龐大 ,為了節(jié)約時間 , 我們調(diào)用了 matlab 里的最優(yōu) 化方法的函數(shù)來進(jìn)行運算 .4. 另外，在模型的解答過程中，由于運輸?shù)膯蝺r的相同，我們還發(fā)現(xiàn)在滿足配 送費用最低的情況下配送方案并不唯一， 其主要不確定因素我們在模型中給予了 討論

5、。5. 在模型推廣中 ,我們討論了模型在公司考慮顧客滿意度，運輸費用以及公司本 身受益情況下的推廣。模型適用于任何情況下的配送問題的解決， 針對問題里提出的不同情況， 我們只 適當(dāng)改變了少許參數(shù)，建立了模型一和模型二來分別對方案里的變化進(jìn)行討論。三、問題的重述。一公司有二廠 ,分處 a,b 兩市 ,另外還有 4 間具有存貯機構(gòu)的庫房 ,分別在 p,q,r 和s市,公司出售產(chǎn)品給6家客戶c1,c2,c3,c6,由各庫房或直接由工廠向客戶 供貨 ,配送貨物的費用由公司負(fù)擔(dān)單價見下表 :受貨者 供貨者a 市廠 b 市廠 p 庫房 q r sp 庫房 0.5 -q 庫房 0.5 0.3r 庫房 1.0

6、 0.5s 庫房 0.2 0.2客戶 c1 1.0 2.0 - 1.0 - -c2 - - 1.5 0.5 1.5 -c3 1.5 - 0.5 0.5 2.0 0.2c4 2.0 - 1.5 1.0 - 1.5c5 - - - 0.5 0.5 0.5c6 1.0 - 1.0 - 1.5 1.5注 單位: 元/ 噸:劃“-”表示無供貨關(guān)系 . 某些客戶表示喜歡由某廠或某庫房供貨,計有:c1 a 市廠c2p 庫房c5 q 庫房c6 r庫房或s庫房a市廠月供貨量不能超過150千噸,b市廠月供貨量不能超過200千噸.各庫房 的月最大流通量千噸數(shù)為 :庫房 p q r s流通量 70 50 100 40

7、各客戶每月所必須滿足的供貨量為 （單位:千噸）客戶 c1 c2 c3 c4 c5 c6要求貨量 50 10 40 35 60 20 在配送過程中，我們需要建立一個數(shù)學(xué)模型來計算在什么情況下公司的運輸費用 最低，在什么情況下，既能滿足客戶的要求，又能為公司節(jié)約足夠的資金，設(shè)計 出來的方案還能體現(xiàn)公司在什么樣的改進(jìn)下能獲得更高的經(jīng)濟效益。四、問題分析。在整個配送問題中，所有的對象包括三種，一種就是 a、b 兩個市廠，它是貨物 的產(chǎn)源，它所生產(chǎn)的貨物，可以放到 p、 q、 r、s 四個庫房里存放，也可以直接 運給客戶； 第二種就是庫房， 它一方面接受工廠的貨物， 另一方面把貨物提供給 客戶；第三種就

8、是客戶，它只是受體，接收由工廠或庫房提供的貨物；整個供應(yīng) 關(guān)系可由下面兩個關(guān)系表表出： 在問題的解決過程中，我們大膽地假設(shè) a 、b 也收入第二種對象中即假設(shè) a、b 也為庫房，則整個關(guān)系圖就簡化為一個圖： 建立合理的配送方案的處理模型，然后，將從 a 到 a、 a 到 b 、 b 到 a 、b 到 b 的情況和其他不能運輸?shù)那闆r放到一起處理。由于這個問題只提及運輸費用的問題，而不考慮公司在貨物賣出時的收益問題， 所以我們只對運輸上的經(jīng)濟情況進(jìn)行討論， 不管運輸時各個運輸路線的單價如何 變化，我們的模型都能將最好的方案給出來。五、符號的定義1. 工廠向各庫房和客戶的供貨量以及庫房向客戶的供貨量

9、如下表（ 單位: 千噸）供貨者 受貨者a市廠b市廠p庫房q庫房r庫房s庫房a 市廠 x011 x012 x013 x014 x015 x016b 市廠 x021 x022 x023 x024 x025 x026受貨者 供貨者a市廠b市廠p庫房q庫房r庫房s庫房客戶 c1 x11 x21 x31 x41 x51 x61客戶 c2 x12 x22 x32 x44 x52 x62客戶 c3 x13 x23 x33 x43 x53 x63客戶 c4 x14 x24 x34 x44 x54 x64客戶 c5 x15 x25 x35 x45 x55 x65客戶 c6 x16 x26 x36 x46 x56

10、 x66六、模型的建立和求解。模型i假設(shè)：庫房的月最大流通量保持不變， 即在庫房有貨物剩余的情況下， 月最大流 通量不因此而加大。模型構(gòu)成 .1.在配貨過程中，可以由a市廠和b市廠直接向客戶直接供貨，也可以把兩廠的貨 物運到 p、q、r、s 四個倉庫之后再向客戶供貨，所以在這個模型中，我們首先 把a，b看成生產(chǎn)地，同時又把它們作為與 p、q、r、s一樣的庫房來看待，并 規(guī)定產(chǎn)地 a、 b 不向庫房 a、 b 運送貨物，在處理的時候，如果相互之間沒有配 送關(guān)系，我們可以認(rèn)為配送貨物的費用為 “無窮大”，在具體運算時，我們再對 “無 窮大 ”賦予一個比較大的具體值。模型要求公司在配貨時的最小運輸費

11、用 ,即：minz= （i 表示 h 的行數(shù)， j 表示 xt 的列數(shù)）（1 ）其中:J2. 每月a廠供貨量不能超過150千噸,b廠供貨量不能超過200千噸,又由每月 庫房的最大流通量已知 ,可得出約束式 :各客戶每月必須滿足的供貨量為 :客戶 c1 c2 c3 c4 c5 c6要求貨量 50 10 40 35 60 20從而有 :3. 總結(jié)以上的模型 ,可得配貨的最小運輸費用問題實際上為一個線性規(guī)劃模型 :模型求解 .在模型求解的過程中 ,我們調(diào)用了 matlab 的最優(yōu)化軟件包 ,在調(diào)用過程中 ,我們 對不能配送的費用賦值為比一般價格要高一個或幾個數(shù)量級的數(shù)值 , 例如, 當(dāng)令 =100

12、時, 程序清單和所得的結(jié)果如下 :f=100.0;100.0;0.5;0.5;1.0;0.2;100.0;100.0;100.0;0.3;0.5;0.2;1. 0;100.0;1.5;2.0;100.0;1.0;2.0;100.0;100.0;100.0;100.0;100.0;10 0.0;1.5;0.5;1.5;100.0;1.0;1.0;0.5;0.5;1.0;0.5;100.0;100.0;1.5;2.0;100.0;0.5;1.5;100.0;100.0;0.2;1.5;0.5;1.5a=1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

13、0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0;0 0 0 00 0 11 1 1 1 1 0 000 001 11 111 000 00 0 00 000 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0;0 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0 000 000 00 000 111 11 1 00 000 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0;0 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0 000 000 00 000 000 00 0 11 111 1 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0;0 0 0 00 0 00 0 0

14、0 0 0 000 000 00 000 000 00 0 00 000 0 1 1 1 11 1 00 0 0 0 0;0 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0 000 000 00 000 000 00 0 00 000 0 0 0 0 00 0 11 1 1 1 1;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 00 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0

15、0 0 0 -10 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -10 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0-1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0

16、0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1;0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

17、0 0 0 0 1 1 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 b=150000;200000;70000;50000;100000;40000;-50000;-10000;- 4000

18、0;-35000;-60000;-20000;0;0;0;0 lb=zeros(48,1)x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,a,b,lb) 結(jié)果為: x =1.0e+004 *0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2.72720.0000 0.0000 0.0000 5.0000 5.5000 1.27285.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0000 0.0000 0.0000 0.00

19、00 0.0000 0.00000.0000 1.0000 0.0000 3.5000 0.5000 0.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5.5000 0.00000.0000 0.0000 4.0000 0.0000 0.0000 0.0000 fval =1.9850e+005即最小配送費用為 :198500 元 配送方案如圖 :在運算過程中發(fā)現(xiàn)，對 無窮大”賦予不同的值,a、b市廠供給s倉庫的貨物量也 隨之改變，而總的運輸費用不變。事實上， a、b市廠向s庫房配送貨物的費用 單價相同，所以在滿足條件的情況下，a、b對s的配送關(guān)系不唯一。模型討論：1) 增加

20、工廠和庫房的生產(chǎn)能力對配送費用的影響：通過模型一的解答我們可以看出， 在配貨過程中，q庫房和s庫房都已達(dá)到最大 流通倆，而 p 庫房和 r 庫房卻沒有。所以，我們在模型中嘗試只增大 q 的最大 流通量，則 c4 的貨物全由 q 提供，最低費用降低到 18750 元；當(dāng)只增大 s 的 最大流通量的時，c4的貨物全由s提供，最低費用降低到18150元；當(dāng)兩個都 增大時， c4 的貨物還是全由 s 提供，最低費用降低到 18150 元。所以我們得出 結(jié)論，如果要進(jìn)一步節(jié)約配送費用， 就要提高 s 庫房的流通量， 其流通量的最大 值可以增到 100000 噸，此時總費用為最低費用 18150 元，而工

21、廠的生產(chǎn)能力 則可以根據(jù)倉庫的流通量來提高2) 費用單價，工廠和庫房的生產(chǎn)能力以及客戶對供貨量的最低要求等的微小變 化對配貨方案的影響：1 由上圖可知，配貨方案中的每個客戶的貨物運輸都是由單價最少的路線所提 供，所以，單價的微小變化，如果不使得改路徑的費用比其他路徑高，就不會對 方案產(chǎn)生影響， 否則，所得出的方案中將會改變?yōu)槠渌麊蝺r更低的貨物運輸路線 供給客戶的貨物。2 工廠和庫房的生產(chǎn)能力的增加對方案的影響在上一個問題中已經(jīng)給予了討 論，而到生產(chǎn)能力減少時，稍微減少 a、 b 的生產(chǎn)能力和 p、r 庫房的流通量對 配貨不會造成影響，減少 q、s 的流通量時將會使得 q 、s 不能提供的貨物改

22、為 其他兩個庫房或工廠提供。3 .分析模型所求出的解我們可以得出，cl和c6的微小變化對結(jié)果不會產(chǎn)生影響，而 c3 的需求量的減少會使得 c4 部分改由 s 庫房提供，參照配送方案關(guān)系 圖我們同樣可以分析出其他客戶需求量的變化對整個方案的影響。模型ii模型構(gòu)成考慮到某些客戶的喜好， 我們在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一定的假設(shè)， 并引入相關(guān)參數(shù)， 得 到模型二。 .1 在模型一的基礎(chǔ)上 ,我們先優(yōu)先考慮客戶的喜好 :1) c1 喜歡 a 市廠的貨物 : , 運輸費用為 50000*1.0=0.5*105 元;2) c2喜歡p庫房的貨物,而p庫房的貨物只能由a市廠提供：運輸費用為:0.5*10000+1.5*1

23、0000=0.2*105元;3) c5喜歡由q庫房的貨物,而q庫房每月最大流通量為50000噸,c5月基本需 求量為60000噸,則q庫房的貨物只能供給c5,而由模型一可知q庫房的貨物由 b 市廠供給費用較少 ： , 則有 q 庫房配送 50000 噸貨物給 c5 的費用為:0.3*50000+0.5*50000=0.4*105;而c5所需的另10000 噸貨物由其他市廠或庫房提供 .2 .因為c1,c2，的配送已經(jīng)確定,c5的配送部分確定,而c6的貨物只能由r庫房 和 s 庫房提供 , 所以系數(shù)矩陣變?yōu)?;模型求解結(jié)合模型將程序清單進(jìn)行改變f=100.0;100.0;0.5;0.5;1.0;

24、0.2;100.0;100.0;100.0;0.3;0.5;0.2;1.0;100.0;1.5;2.0;100.0;100.0;2.0;100.0;100.0;100.0;100.0;100.0;100.0;1.5;0.5;1.5;100.0;100.0;1.0;0.5;0.5;1.0;0.5;100.0;100.0;1.5;2.0;100.0;0.5;1.5;100.0;100.0;0.2;1.5;0.5;1.5;a 與模型一中的 a 一致 ;b=100000;200000;60000;0;100000;40000;0;0;-40000;-35000;-10000;-20000;0;0;0;

25、0;lb=zeros(48,1);x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,a,b,lb)結(jié)果為:x=0.0000 0.0000 2.0323 0.0000 0.0000 0.1945;0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.8055;0.0000 0.0000 0.0000 1.4677 0.0000 0.0000;0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000;0.0000 0.0000 0.0000 2.0323 0.0000 0.0000;0.0000 0.0000 0.0000

26、 0.0000 0.0000 0.0000;0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 2.0000;0.0000 0.0000 4.0000 0.0000 0.0000 0.0000fval =1.3600e+005;由確定部分以及求解的結(jié)果得到總的配送費用為 :24600 元, 即為了盡最大程度 滿足客戶的喜好選擇 , 配送費用提高了 4750 元七、誤差分析。1在模型的求解過程中， 所給出的運貨為零的方案在實際計算中并非真正為 0 ， 而是計算機在計算過程中采取了舍入的方法， 這些對模型結(jié)果的影響并不大， 因 為數(shù)據(jù)足夠小， 而且在實際中， 如果運送的貨物很少的話， 對資源反而是一種浪 費。2 在模型一中，我們發(fā)