將軍飲馬問題70050

1、第 第一講 將軍飲馬問題 學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥一、主要內(nèi)容 （1）將軍飲馬問題的概念。（2） 將軍飲馬問題在坐標(biāo)系、一次函數(shù)、三角形、正方形中的應(yīng)用。（3） 將軍飲馬問題與勾股定理。二、本章重點(diǎn) 掌握將軍飲馬問題的概念和解題思路，能解決將軍飲馬問題和一次函數(shù)、坐標(biāo)系、幾何圖形和勾股定理等的綜合習(xí)題。 課前預(yù)習(xí)軸對稱的性質(zhì)與作法；一次函數(shù)的性質(zhì)；勾股定理的性質(zhì)；三角形、矩形、正方形的性質(zhì)；三角形的三邊關(guān)系、平移的性質(zhì)。 模塊精講1、 將軍飲馬問題的概念和基本思路 起源：古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，有位將軍不遠(yuǎn)千里專程前來向海倫求教一個(gè)百思不得其解的問題： 如圖，有一

2、位將軍從位于A點(diǎn)的軍營，返回位于B點(diǎn)的家中，途中需要到達(dá)一條小河MN邊，讓馬去河里喝水。那么，該如何選擇路徑，才能使將軍回家的過程中，走過的路程最短？ 精通數(shù)理的海倫稍加思索，便作了完善的回答。這個(gè)問題后來被人們稱作“將軍飲馬”問題。 A B M N初一看，這個(gè)問題好像沒有什么思路，那我們先把問題的概念轉(zhuǎn)換一下。這個(gè)問題中A點(diǎn)和B點(diǎn)在河MN的同一側(cè)，那么，如果A點(diǎn)和B點(diǎn)在河MN的不同側(cè)呢？這時(shí)我們好像有一點(diǎn)眉目了，我們要利用的定理就是：兩點(diǎn)之間直線最短，先找線路再找點(diǎn)。那我們再回到最開始時(shí)的問題，是不是有了啟發(fā)呢？思路：為了找線路，可以利用軸對稱的原理，先做對稱，再轉(zhuǎn)化成三角形的三邊關(guān)系。例1

3、，如圖，一匹馬從S點(diǎn)出發(fā)，先去河OP邊喝水，再去草地OQ吃草，然后再回到S點(diǎn)。該如何選擇線路，使得經(jīng)過的總路程最短？ P y 河水 A .S N B O Q x 草地 O M 例1圖 例2圖2、 將軍飲馬與坐標(biāo)系 例2，已知A(2,3)、B(3,2)，M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AN+NM+BM的最小值，并求出此時(shí)M、N的坐標(biāo)。 思路：作對稱 兩段折線 作一次對稱 轉(zhuǎn)化折線 三段折線 作兩次對稱 轉(zhuǎn)化折線 連線段 最小值 例3，已知A(-3,4)、B(-2,-5)、M(0,m)、N(0,m+1)，求BM+MN+AN的最小值，并求此時(shí)對應(yīng)的m的值。 運(yùn)用平移的性質(zhì) 例4，已知A

4、(4,1)、B(-3,-2)，試在x軸上找一點(diǎn)C，是|AC-BC|最大，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)和這個(gè)最大值。 構(gòu)造三角形，運(yùn)用三角形的邊長關(guān)系3、 將軍飲馬問題解題思路的歸納學(xué)習(xí)了幾個(gè)常見的例子，我們再來整理一下思路。首先明白幾個(gè)概念，動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)、對稱點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)一般就是題目中的所求點(diǎn)，即那個(gè)不定的點(diǎn)。定點(diǎn)即為題目中固定的點(diǎn)。對稱的點(diǎn)，作圖所得的點(diǎn)，需要連線的點(diǎn)。1. 怎么對稱，作誰的對稱？簡單說所有題目需要作對稱的點(diǎn)，都是題目的定點(diǎn)。或者說只有定點(diǎn)才可以去作對稱的。（不確定的點(diǎn)作對稱式?jīng)]有意義的）那么作誰的對稱點(diǎn)？首先要明確關(guān)于對稱的對象肯定是一條線，而不是一個(gè)點(diǎn)。那么是哪一條線？一般而言都是動(dòng)點(diǎn)所在直

5、線。2. 對稱完以后和誰連接？一句話：和另外一個(gè)頂點(diǎn)相連。絕對不能和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)相連。明確一個(gè)概念：定點(diǎn)的對稱點(diǎn)也是一個(gè)定點(diǎn)。3. 所求點(diǎn)怎么確定？首先一定要明白，所求點(diǎn)最后反應(yīng)在圖上一定是個(gè)交點(diǎn)。實(shí)際就是我們所畫直線和已知直線的交點(diǎn)。4. 將軍飲馬一定是求最短距離嗎？肯定不是。或者說求最短距離是將軍飲馬中的最簡單一類題目。根據(jù)將軍飲馬的基本模型可以拓展出很多題型。根本原因是因?yàn)樵谧鬏S對稱過程中不但是作了點(diǎn)的對稱，還作了邊長和角度的對稱！或者說邊長和角度的對稱才是最關(guān)鍵。4、 將軍飲馬與勾股定理 例5，如圖，將軍的軍營在A處，與河岸的距離OA=4km，將軍的家在B處。且QA=7km，QB=8km，

6、他下班回家的路上先把馬牽到小河邊去飲水，然后再回到家中，求他下班回家要走的最短路程。 O 小河 P A B A1 Q B 例5圖 例6圖 O A A2 Q 例6，如圖，POQ = 20°，A為OQ上的點(diǎn)，B為OP上的點(diǎn)，且OA=1，OB=2，在OB上取點(diǎn)A1 ，在OQ上取點(diǎn)A2 ，求AA1 + A1A2 + A2B的最小值。 例7，AOB = 45°，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO = 10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求PQR周長的最小值。5、 三角形、正方形中的將軍飲馬例8，如圖，在等邊ABC中，AB=6，ADBC，E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，且AE=2，求EM+E

7、C的最小值。 例8圖 例9圖例9，如圖，在銳角ABC中，AB=42，BAC45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是_。例10，如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上,且DM2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DNMN的最小值為_。 例10圖 例11圖例11，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則PBQ周長的最小值為_例12，一次函數(shù)y = kx + b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4）（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上

8、一動(dòng)點(diǎn)，求PCPD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo) y例13，如圖，在坐標(biāo)系xOy中，有一條河，河岸分別為x軸和直線MN，直線MN與y軸的 ·P交點(diǎn)為A(0,2)，P、Q兩地位于河的兩岸，且P(0,5)、Q(5,-1)。現(xiàn)在需要在河上架一座橋，(橋必須垂直于河岸)，來溝通P、Q兩地，求 M A B N橋的端點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，使得從P地到Q地的路程最短。 O C x ·Q總結(jié)：將軍飲馬問題 = 軸對稱問題 = 最短距離問題（軸對稱是工具，最短距離是題眼）。所謂軸對稱是工具，即這類問題最常用的做法就是作軸對稱。而最短距離是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)

9、“線段a+b的最小值”這樣的條件或者問題。一旦出現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問題，然后利用軸對稱解題。學(xué)習(xí)效果能將實(shí)際問題中的“地點(diǎn)”、“河”、“草地”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”、“線”，把最短路徑問題抽象為數(shù)學(xué)中的線段和最小問題，能利用軸對稱將處在直線同側(cè)的兩點(diǎn)，變?yōu)閮牲c(diǎn)處在直線的異側(cè)，能利用平移將兩條線段拼接在一起，從而轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題，能通過邏輯推理證明所求距離最短，在探索問題的過程中，體會(huì)軸對稱、平移的作用，體會(huì)感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 課后鞏固習(xí)題1，已知A(-1,4)，B(1,1)，在x軸上找一點(diǎn)C，使AC+BC最小。則C點(diǎn)的坐標(biāo)是_，AC+BC的最小值是_。2，已知A(-1,3)，

10、B(-3,1)，M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AN+NM+MB最小時(shí)，M的坐標(biāo)是_，N的坐標(biāo)是_。3，已知A(-4,4)，B(-1,-3)，M(0,m)，N(0,m+1)，當(dāng)BM+MN+AN最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是_，最小值是_。4，已知A(-4,5)，B(2,-2)，在x軸上找一點(diǎn)C，則當(dāng)|AC-BC|最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是_，最大值是_。5，如圖，點(diǎn)A,B位于直線l的同側(cè)，到直線l的距離AC = 10，BD = 30，且CD = 30，在直線l上找到一點(diǎn)M，是AM+BM最短，則最短距離是_。 B A M A P 直線l C D O N B 題5圖 題6圖6，如圖，AOB = 45

11、76;，點(diǎn)P在AOB內(nèi)，且OP = 3，點(diǎn)M,N分別為射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PMN的周長的最小值為_。7，如圖，AOB = 40°，點(diǎn)P，Q都在AOB內(nèi)，AOP = BOQ = 10°，且OP = OQ = 6，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P1 ，作點(diǎn)Q關(guān)于OB的對稱點(diǎn)Q1 ,則P1Q1 = _。 A A P P Q Q O B O B 題7圖 題8圖8，如圖，AOB = 60°，點(diǎn)P，Q都在AOB內(nèi)，AOP = BOQ = 15°，且OP = 8，OQ = 6。在射線OA、OB上分別存在點(diǎn)M，N，是PM+MN+NQ的值最小，則最小值是_。9，如圖，ABC中，AB=2，BAC=30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，則這個(gè)最小值是多少？ 題9圖 例10圖10，如圖所示，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P，使PDPE的和最小，則這個(gè)最小值為_。11, 如圖，若四邊形 ABCD 是菱形， AB=10cm，ABC=45°，E 為邊 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P 為 BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PC+PE的最小值. 12，如圖，在銳角ABC中，AB = 4，BAC = 45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D。M、N分別是AD和