定積分與不定積分概論學(xué)年論文12

1、 目 錄 摘 要. .3關(guān)鍵詞. .3Abstract. .3Key words. .3引言. .31 預(yù)備知識. .31.1不定積與定積分分定義31.2 基本積分表.41.3 牛頓萊布尼茨公式.42 積分法與定積分性質(zhì)總結(jié).52.1 換元積分法與分部積分法.52.2 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分.62.3 定積分的性質(zhì)總結(jié).73 微積分發(fā)展史簡介83.1 微積分學(xué)的建立.8參考文獻(xiàn).11定積分與不定積分概論摘 要：本文首先介紹了不定積分與定積分的基本定義，而后主要探究幾種比較重要的積分法，最后簡單的介紹了一下微積分學(xué)的發(fā)展史，以及微積分對近代科學(xué)的重要作用。關(guān)鍵詞：定積分；不定積分；積

2、分法。Definite integral and indefinite integral IntroductionAbstract ：This article introduces the indefinite integral and definite integral of the basic definition, followed by several more important to explore the major points of law, and finally a brief introduction about the development of calculus

3、history, as well as the calculus of the important role of modern science.Key words：Definite integral;Indefinite Integral;Integral method.前言學(xué)習(xí)微積分非常重要,意義深遠(yuǎn)推動(dòng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的發(fā)展。恩格斯說:“只有微積分才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅僅表明狀態(tài),而且也表明過程:運(yùn)動(dòng)”。數(shù)學(xué)方法不僅應(yīng)用于工程和物理領(lǐng)域,而且擴(kuò)展到環(huán)境科學(xué),自然資源模擬,經(jīng)濟(jì)學(xué)和認(rèn)知科學(xué)等。1.預(yù)備知識1.1不定積分與定積分1.1.1不定積分定義： 函數(shù)f在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f在

4、I上的不定積分，記作，其中稱為積分號，f(x)為被積分函數(shù)，f(x)dx為被積表達(dá)式，x為積分變量。1.1.2定積分定義： 設(shè)f是定義在a,b上的一個(gè)函數(shù)，對于a,b的一個(gè)分割T= ，任取點(diǎn)，n,并作和式稱此和式為函數(shù)f在a,b上的一個(gè)積分和，也稱黎曼和。 設(shè)f是定義在a,b上的一個(gè)函數(shù)，J是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對a,b的任何分割T，以及在其上任意選取的點(diǎn)集 ，只要|T|<,就有,則成函數(shù)f在區(qū)間a,b上可積；數(shù)J稱為f在a,b上的定積分記作J=其中，f稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，a,b稱為積分區(qū)間，a,b分別稱為這個(gè)定積分的下限和上限。1.2 基本積分

5、 1.3牛頓萊布尼茨公式1.3.1定理： 若函數(shù)f在a,b上連續(xù)，且存在原函數(shù)F,即上可積，且這稱為牛頓萊布尼茨公式，它也常寫成 例：2 積分法與定積分性質(zhì)總結(jié)2.1換元積分法與分部積分法2.1.1換元積分法：設(shè)在上有定義，在a,b上可導(dǎo)，且（1） 若在上存在原函數(shù)則f(x),則a,b上也存在原函數(shù)F(x)，F(xiàn)(x)=即（2） 若則上述命題可逆，即當(dāng)在上存在原函數(shù)F(x)時(shí)，在上也存在原函數(shù)且即 2.1.2第一換元積分法舉例：求2.1.3第二換元積分法舉例：求解：分部積分法：若存在，則 舉例：求 解：令 2.2有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分2.2.1有理函數(shù)的不定積分（） （）對（），已知

6、當(dāng)K=1時(shí) 當(dāng)K>1時(shí) 對（），只要作適當(dāng)換元（令）,變化為 (1)當(dāng)K=1時(shí)，（1）式右邊兩個(gè)不定積分分別為當(dāng)k2時(shí)，(1)式右邊第一個(gè)不定積分為對第二個(gè)不定積分，記 2.2.2三角函數(shù)有理式的不定積分設(shè) 例：解：令某些無理根式的不定積分1.有理函數(shù)的不定積分。例：求解：令則有2.3定積分的性質(zhì)1若f在a,b上可積，K為常數(shù)，則kf在a,b上也可積，且2若f、g都在a,bz上可積，則f±在a,b上也可積，且3若f、g都在a,b上可積，則f*g在a,b上也可積.4 f在a,b上可積的充要條件是：任給c（a,b）,f在a,c與c,b上都可積。此時(shí)又有等式5.設(shè)f為a,b上的可積函

7、數(shù).若f(x)0,xa,b,則. 若f與g為a,b上的兩個(gè)可積函數(shù)，且f(x)g(x),xa,b,則有6.若f在a,b上可積，則|f|在a,b上也可積，且 積分中值定理：若f在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)使得（推廣的積分第一中值定理）若f與g都在a,b上連續(xù)，且g(x)在a,b上不變號，則至少存在一點(diǎn)使得3.1微積分學(xué)的建立從微積分成為一門學(xué)科來說，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。    公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限

8、理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的莊子一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。    到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體

9、的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。    十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。    十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一

10、個(gè)是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。    牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。    牛頓在1671年寫了流數(shù)法和無窮級數(shù)，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（

11、微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。    德國的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長而且很古怪的名字一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。

12、    微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。    前面已經(jīng)提到，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。    不幸的事，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對立。英國數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的

13、“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。    其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼詞早10年左右，但是整是公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時(shí)候，由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。    應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個(gè)問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時(shí)候

14、是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。    直到世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來。    任何新興的、具有無量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西    歐氏幾何也好，上古和