數(shù)值分析常微分方程初值問題的數(shù)值方法

1、第十章第十章 常微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解第一節(jié)第一節(jié) 求解初值問題數(shù)值方法的基本原理求解初值問題數(shù)值方法的基本原理第二節(jié)第二節(jié) 高精度的單步法高精度的單步法 第三節(jié)第三節(jié) 線性多步法線性多步法第四節(jié)第四節(jié) 一階微分方程組的解法一階微分方程組的解法第五節(jié)第五節(jié) 邊值問題的打靶法和差分法邊值問題的打靶法和差分法考慮一階常微分方程的初值問題考慮一階常微分方程的初值問題 /* Initial-Value Problem */: 0)(,),(yaybaxyxfdxdy只要只要 f (x, y) 在在a, b R1 上連續(xù)，且關(guān)于上連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足滿足 Lipschitz 條條件，即存在與件

2、，即存在與 x, y 無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù) L 使使對任意定義在對任意定義在 a, b 上的上的 y1(x) 和和 y2(x) 都成立，則上述都成立，則上述IVP存存在唯一解。在唯一解。| ),(),(|2121yyLyxfyxf 要計(jì)算出解函數(shù)要計(jì)算出解函數(shù) y(x) 在一系列節(jié)點(diǎn)在一系列節(jié)點(diǎn) a = x0 x10,使得使得),(hyxhQyynnnn 111()()pO hp (, )nnQ xyh( , , )( , , )Q x y hQ x y hL yy 對一切對一切 成立成立,則該方法收斂則該方法收斂,且有且有 yy和和)(pnhOe 由該定理可知整體截?cái)嗾`差總比局部截?cái)嗾`差低一

3、階由該定理可知整體截?cái)嗾`差總比局部截?cái)嗾`差低一階 對改進(jìn)的對改進(jìn)的Euler法法, ),(,(),(),(yxhfyhxfyxfhyxQ 21于是有于是有 1( , , )( , , )( , )( , )2(,( , )(,( , )Q x y hQ x y hf x yf x yf xh yhf x yf xh yhf x y設(shè)設(shè)L為為f關(guān)于關(guān)于y的的Lipschitz常數(shù)常數(shù),則由上式可得則由上式可得( , , )( , , )(1/2)Q x y hQ x y hLhyy 限定限定h即可知即可知Q滿足滿足Lipschitz條件條件,故而改進(jìn)的故而改進(jìn)的Euler法收斂法收斂.例：考察初

4、值問題例：考察初值問題 在區(qū)間在區(qū)間0, 0.5上的解。上的解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計(jì)算數(shù)值解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計(jì)算數(shù)值解。 1)0()(30)(yxyxy0.00.10.20.30.40.5精確解精確解改進(jìn)歐拉法改進(jìn)歐拉法 歐拉隱式歐拉隱式歐拉顯式歐拉顯式 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) xixey30 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000 101 3.2000 101 1.00002.5000 10 1 6.2500 10 21.5625 10 23.9063 10 39.7656 10 41.00002.50006.25001.5626

5、1013.9063 1019.7656 1011.00004.9787 10 22.4788 10 31.2341 10 46.1442 10 63.0590 10 73. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性定義定義若某算法在計(jì)算過程中任一步產(chǎn)生的誤差在以后的計(jì)若某算法在計(jì)算過程中任一步產(chǎn)生的誤差在以后的計(jì)算中都逐步衰減，則稱該算法是絕對穩(wěn)定的算中都逐步衰減，則稱該算法是絕對穩(wěn)定的 /*absolutely stable */。一般分析時(shí)為簡單起見，只考慮試驗(yàn)方程一般分析時(shí)為簡單起見，只考慮試驗(yàn)方程 /* test equation */yy 常數(shù)，可以常數(shù)，可以是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)當(dāng)步長取為當(dāng)步長取為 h 時(shí)，將某算法應(yīng)

6、用于上式，并假設(shè)只在初值時(shí)，將某算法應(yīng)用于上式，并假設(shè)只在初值產(chǎn)生誤差產(chǎn)生誤差 ，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該算法相對于算法相對于 絕對穩(wěn)定，絕對穩(wěn)定， 的全體構(gòu)成絕對穩(wěn)定區(qū)域。的全體構(gòu)成絕對穩(wěn)定區(qū)域。我們稱算法我們稱算法A 比算法比算法B 穩(wěn)定，就是指穩(wěn)定，就是指 A 的絕對穩(wěn)定區(qū)域比的絕對穩(wěn)定區(qū)域比 B 的大。的大。000yy h h h例：考察顯式歐拉法例：考察顯式歐拉法110(1)nnnnyyhyhy 000yy 110(1)nnyhy 11110(1)nnnnyyh 由此可見，要保證初始誤差由此可見，要保證初始誤差 0 以后逐步衰減，以后逐步衰減，必

7、須滿足：必須滿足：hh 1|1| h0-1-2ReImg例：考察隱式歐拉法例：考察隱式歐拉法11nnnyyh y 111nnyyh 11011nnh 可見絕對穩(wěn)定區(qū)域?yàn)椋嚎梢娊^對穩(wěn)定區(qū)域?yàn)椋?|1| h210ReImg注：一般來說，隱式歐拉法的絕對穩(wěn)定性比同階的顯式注：一般來說，隱式歐拉法的絕對穩(wěn)定性比同階的顯式法的好。法的好。12()11()()()()()( )2!()(,),()(,)(,)(), ,nppnnnnnnxypTaylory xhhyy xy xhyxyxyxPyxfx yyxfx yfx y fx y 若若用用 階階多多項(xiàng)項(xiàng)式式近近似似函函數(shù)數(shù)有有：其其中中。但但由由于于

8、公公式式中中各各階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)計(jì)計(jì)算算復(fù)復(fù)雜雜，不不實(shí)實(shí)用用。第二節(jié)第二節(jié) 高精度的單步法高精度的單步法在高精度的單步法中在高精度的單步法中, ,應(yīng)用最廣泛的是應(yīng)用最廣泛的是Runge-Kutta(Runge-Kutta(龍格龍格- -庫塔庫塔) )方法方法一一、Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（1）111112121 (,)11()22(,)(, )nnnnnnnnnnE ulerE uleryyhKE ulerKfxyyyhKKE ulerKfxyKfxhyhK 如如 果果 將將公公 式式 與與 改改 進(jìn)進(jìn)公公 式式 寫寫 成成 下下 列列 形形 式式 ：公公 式式 改改

9、 進(jìn)進(jìn)公公 式式Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（2）Runge-Kutta法的基本思想（法的基本思想（3）( ,)(,)( ) nnnf x yxyTaylory xxTaylor于于是是可可考考慮慮用用函函數(shù)數(shù)在在若若干干點(diǎn)點(diǎn)上上的的函函數(shù)數(shù)值值的的線線性性組組合合來來構(gòu)構(gòu)造造近近似似公公式式，構(gòu)構(gòu)造造是是要要求求近近似似公公式式在在處處的的展展開開式式與與解解在在處處的的展展開開式式的的前前面面幾幾項(xiàng)項(xiàng)重重合合，從從而而使使近近似似公公式式達(dá)達(dá)到到所所需需要要的的階階數(shù)數(shù)。即即避避免免求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)，又又提提高高了了方方法法的的精精度度，此此為為R RK K方方法法的的基基

10、本本思思想想。11111(,)(,)(2, 3,)pnniiinniininijjjyyhc KKfxyKfxa h yhb Kip 二、二階龍格庫塔方法二、二階龍格庫塔方法11111RK(,)(,)(2,3,),(,)()pnniiinniininijjjiijinnnyyhc KKfxyKfxa h yhb KipabcxyTaylory xxTaylor 一一般般地地，方方法法設(shè)設(shè)近近似似公公式式為為其其中中，都都是是參參數(shù)數(shù)，確確定定它它們們的的原原則則是是使使近近似似公公式式在在處處的的展展開開式式與與在在處處的的展展開開式式的的前前面面項(xiàng)項(xiàng)盡盡可可能能多多地地重重合合。三、三階龍格

11、庫塔方法三、三階龍格庫塔方法11231213123 (4)6(,)( ,)22(,2)nnnnnnnnpRKRKhyyKKKKf xyhhKf xyKKf xh yhKhK 類類似似地地，對對，即即三三個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，通通過過更更復(fù)復(fù)雜雜的的計(jì)計(jì)算算，可可導(dǎo)導(dǎo)出出三三階階公公式式。常常用用的的三三階階公公式式為為：四、四階龍格庫塔方法四、四階龍格庫塔方法1123412132434 (22)6(,)(,)2 2(,)22(,)nnnnnnnnnnpRKRKhyyKKKKKf xyhhKf xyKhhKf xyKKf xh yhK 對對，即即四四個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，可可導(dǎo)導(dǎo)出出四四階階公公式式。常常用用的的四四

12、階階公公式式為為： 2RK RKRK RK）方方法法的的導(dǎo)導(dǎo)出出基基于于T Ta ay yl lo or r展展開開，故故要要求求所所求求問問題題的的解解具具有有較較高高的的光光滑滑度度。當(dāng)當(dāng)解解充充分分光光滑滑時(shí)時(shí)，四四階階方方法法確確實(shí)實(shí)優(yōu)優(yōu)于于改改進(jìn)進(jìn)E Eu ul le er r法法。對對一一般般實(shí)實(shí)際際問問題題，四四階階方方法法一一般般可可達(dá)達(dá)到到精精度度要要求求。如如果果解解的的光光滑滑性性差差，則則用用四四階階方方法法解解的的效效果果不不如如改改進(jìn)進(jìn)E Eu ul le er r法法。兩點(diǎn)說明兩點(diǎn)說明:1RKRK46RK5）當(dāng)當(dāng)p p= =1 1, ,2 2, ,3 3, ,4 4時(shí)時(shí)，公公式式的的最最高高階階數(shù)數(shù)恰恰好好是是p p, ,當(dāng)當(dāng)p p 4 4時(shí)時(shí)，公公式式的的最最高高階階數(shù)數(shù)不不是是p p，如如p p= =5 5時(shí)時(shí)仍仍為為 ，p p= = 時(shí)時(shí)公公式式的的最最高高階階數(shù)數(shù)為為 。五、變步長的龍格五、變步長的龍格庫塔方法庫塔方法()1()51115(2)15(2)11(2)11()11,(),2,2()2,2()1.()16hnhnnnnhnhnnhnnhnnh